中國(guó)民航大學(xué)大學(xué)物理學(xué)第05章剛體力學(xué)基礎(chǔ)

第五章剛體力學(xué)基礎(chǔ)FoundationofRigidBodyMechanics.§5-1剛體的運(yùn)動(dòng)§5-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律§5-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能§5-5進(jìn)動(dòng)§5-4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律.§5-1剛體的運(yùn)動(dòng)MotionofaRigidBody.1.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生形變的物體。剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型剛體可視為由無(wú)限多個(gè)彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系。.2.1平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持方向不變。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。2.剛體的運(yùn)動(dòng).2.2轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。假設(shè)轉(zhuǎn)軸固定不變，那么稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。O.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述3.1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述角位置：

角位移：

角速度：角加速度：

xOP

rv角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定那么。.角量的單位為rad,rad/s,rad/s2。質(zhì)點(diǎn)作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角量的變化規(guī)律與勻變速直線運(yùn)動(dòng)中線量的規(guī)律相似，表示如下：.3.2角量和線量的關(guān)系xOP

rv質(zhì)元轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧長(zhǎng)：.§5-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律LawofFixed-AxisRotation.1.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)O的力矩矢量:zrOP

dF大?。悍较颍?力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩矢量zFrOP

dF//F

一般情況平行轉(zhuǎn)軸

垂直轉(zhuǎn)軸

.結(jié)論：z

dPOrFFzF

力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力F的大小和F與軸之間的垂直距離d的乘積。.2．剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量2.1質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)O的角動(dòng)量矢量:z

mOrp大?。悍较颍?z

dmOrpP//p

對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量一般情況平行轉(zhuǎn)軸

垂直轉(zhuǎn)軸

.結(jié)論：z

dmOrpP//p

對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的動(dòng)量p的大小和p與軸之間的垂直距離d的乘積。.2.2剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量zOri

組成剛體的所有質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的和:剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：.3．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律若，則簡(jiǎn)寫(xiě)為：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律.連續(xù)體：4.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。

分立體：計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置.(1)I與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如兩根等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdxM4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(2)I與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dlOmRROmrdr.OLxdxMzLOxdxMz(3)I與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān).4.3平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：COz'zd.垂直軸定理:Ozxyxiyiri.解：〔1〕對(duì)對(duì)稱(chēng)軸[例]求質(zhì)量均勻分布的半圓形薄板對(duì)（1）它的對(duì)稱(chēng)軸；（2）它的直邊；（3）通過(guò)質(zhì)心平行于直邊的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓弧直徑為，質(zhì)量為。取半圓上窄條為。.〔2〕對(duì)直邊設(shè)為整圓對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因和故有〔3〕對(duì)通過(guò)C且平行于直邊〔2〕應(yīng)用平行軸定理：，先求質(zhì)心位置：.5.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解題要點(diǎn):.m2m1RR

m1gFm2gT1MgT2a.O

.CO

mg.(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區(qū)別例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，(見(jiàn)圖).圓盤(pán)以

0

在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng),受摩擦力而靜止解例求到圓盤(pán)靜止所需時(shí)間取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩

R.例一個(gè)剛體系統(tǒng)，如下圖，，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為

l'

處求軸對(duì)棒的作用力〔也稱(chēng)軸反力〕。解設(shè)軸對(duì)棒的作用力為N由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理打擊中心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)用質(zhì)點(diǎn)系由轉(zhuǎn)動(dòng)定律.§5-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能WorkandEnergyofFixedAxisRotation.1.力矩的功和功率1.1力矩的功

d

O

zP0PFrdl.2.2力矩的功率.2．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能2.1剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能O

z

ri

mivi.2.2剛體的重力勢(shì)能hi

mi.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量

.O

.解：.Mmk

R

..§5-4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律TheoremofAngularMomentumandLawofConservationofAngularMomentumforFixedAxisRotation.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律簡(jiǎn)寫(xiě)為——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律.角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例.例如圖，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以初速v0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求〔1〕碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度；〔2〕兩者一起上擺的最大角度。Olm

v0..例:半徑R、質(zhì)量M的水平均勻圓盤(pán)可繞通過(guò)圓心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，其邊緣有一質(zhì)量m的人，二者最初相對(duì)地面靜止求:當(dāng)人繞盤(pán)一周時(shí)，盤(pán)對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度？解：〔人+盤(pán)〕關(guān)于轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，〔人+盤(pán)〕角動(dòng)量守恒xO以逆時(shí)針為正方向，在地面參照系且.§5-5進(jìn)動(dòng)Procession.進(jìn)動(dòng):高速自旋的物體的自轉(zhuǎn)軸在空間旋進(jìn)的運(yùn)動(dòng)高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對(duì)支點(diǎn)O的力矩作用下發(fā)生進(jìn)動(dòng)陀螺的角