2.2-算數(shù)平均值與幾何平均值的性質(zhì)公開課

數(shù)學(xué)第一冊（修訂版）觀察如圖24所示的是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖而設(shè)計(jì)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的繼承和發(fā)展.2.2算術(shù)平均值與幾何平均值的性質(zhì)觀察如圖2-5所示的正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，直角三角形兩條直角邊長分別為a，b.求：正方形ABCD的面積S＝__________；四個(gè)直角三角形的面積之和S′＝__________；當(dāng)a≠b時(shí)，S和S′的大小關(guān)系是__________；當(dāng)a＝b時(shí)，S和S′的大小關(guān)系是__________.通過上面的觀察過程，我們得到一個(gè)重要不等式：觀察如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)).證明a2＋b2－2ab＝(a－b)2，當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2>0；當(dāng)a＝b時(shí)，(a－b)2＝0.所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.探究如果用分別替代上面不等式中的a，b，那么能得到什么結(jié)論？此時(shí)的a，b需要滿足什么條件？均值定理：若a>0，b>0，則(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立).證明因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b＝所以思考此定理用作差比較法該如何證明？結(jié)論我們把叫作正數(shù)a，b的算術(shù)平均值，叫作正數(shù)a，b的幾何平均值．均值定理說明，任何兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.不難發(fā)現(xiàn)，a2＋b2≥2ab和成立的條件是不同的，前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).應(yīng)用例1已知x，y都是正數(shù)，求證：(1)如果xy是定值9，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值6；(2)如果x＋y是定值2，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值1.證明(1)因?yàn)閤y＝9，所以所以x＋y≥6.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時(shí)，x＋y有最小值6.應(yīng)用(2)因?yàn)閤＋y＝2，所以所以xy≤1.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，xy有最大值1.應(yīng)用例2當(dāng)x取何值時(shí)，x＋＋1(x>0)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？?解因?yàn)閤>0，所以>0，所以x＋≥＝2，所以x＋＋1≥3.當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝1時(shí)，取到等號(hào)，所以，當(dāng)x＝1時(shí)，x＋＋1的最小值為3.?因?yàn)閮蓚€(gè)正數(shù)x和的積是定值，所以根據(jù)均值定理，它們的和x＋就應(yīng)該有最小值.應(yīng)用例3已知0<x<1，求y＝的最大值．?解因?yàn)?<x<1，所以1－x>0，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)，取到等號(hào)，所以，當(dāng)x＝時(shí)，y＝的最大值為.?因?yàn)閮蓚€(gè)正數(shù)x和1