概率論與數理統(tǒng)計課件

§1.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質§1.4條件概率§1.5獨立性

第一章隨機事件與概率2.

隨機現象1.1.1隨機現象：自然界中的有兩類現象1.

確定性現象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內進入某超市的顧客數;

某種型號電視機的壽命;§1.1

隨機事件及其運算1.1.1隨機現象隨機現象：在一定的條件下，并不總出現相同結果的現象稱為隨機現象.特點：1.結果不止一個;2.事先不知道哪一個會出現.隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現象的各種結果會表現出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計規(guī)律性.1.

隨機試驗

(E)——

對隨機現象進行的實驗與觀察.

它具有兩個特點：隨機性、重復性.2.

樣本點

——隨機試驗的每一個可能結果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機試驗的所有樣本點構成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點的個數為有限個或可列個.

連續(xù)樣本空間

樣本點的個數為無限不可列個.（添加書本例子1.1.2）1.1.2樣本空間1.

隨機事件

——

某些樣本點組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集（添加書本例子）1.1.2）.

5.

隨機變量

表示隨機現象結果的變量.

常用大寫字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的單點集.1.1.3隨機事件表示隨機現象結果的變量.常用大寫字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機變量在試驗中，A中某個樣本點出現了，就說A

出現了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語言、用集合、用隨機變量（例子1.1.4）.事件的表示包含關系：

A

B,

A

發(fā)生必然導致

B

發(fā)生.相等關系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時發(fā)生.1.1.5

事件間的關系解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以B

A;.

2)又因為A發(fā)生必然導致B發(fā)生，所以A

B，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a個白球、b個黑球，從中一個一個不返回地取球。A=“取到最后一個是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問A

與B

的關系？并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對立：

A

不發(fā)生1.1.6

事件的運算事件運算的圖示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

記號

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點

元素

A

B

A發(fā)生必然導致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

A

B

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時發(fā)生

A與B的交集

A

B

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意點(1)注意點(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1

A2

……

An=Ω

則稱A1，A2，……，An

為Ω的一組分割.樣本空間的分割1.若A是B的子事件，則

A

B=()，AB=()2.設

A與B同時出現時

C也出現，則(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習③BA3.

設事件A=“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”，則A的對立事件為（）①甲種產品滯銷，乙種產品暢銷；②甲、乙兩種產品均暢銷；③甲種產品滯銷；④甲種產品滯銷或者乙種產品暢銷.4.設x

表示一個沿數軸做隨機運動的質點位置，試說明下列各對事件間的關系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容5.試用A、B、C表示下列事件：①A出現；②僅A出現；③恰有一個出現；④至少有一個出現；⑤至多有一個出現；⑥都不出現；⑦不都出現；⑧至少有兩個出現；

設Ω為樣本空間，F

是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點,則稱F為事件域1.1.7

事件域1.Ω

F;2.

若A

F

，則

F;3.若An

F

，n=1,2,…,

則

F.直觀定義

——

事件A出現的可能性大小.統(tǒng)計定義

——

事件A在大量重復試驗下出現的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法非負性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義從n

個元素中任取r

個，求取法數.排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式組合組合：重復組合：

求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.隨機試驗可大量重復進行.1.2.3

確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.

古典概型若一個隨機試驗(Ω,F,P)具有以下兩個特征：

(1)有限性。樣本空間的元素(基本事件)只有為有限個，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)等可能性。每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

則稱這類隨機試驗的數學模型為古典概型。則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數/樣本點總數1.2.4

確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點不等可能.注意例1.2.1

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原則直接計算所求概率為n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數：甲先坐、乙后坐，則共有n(n

1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n

2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n

2)種可能。由此得所求概率為：例1.2.31.2.5

確定概率的幾何方法幾何概型若①可度量性。樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S

；

②等可能性。落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關，而與子區(qū)域的位置無關則事件A的概率為:P(A)=SA

/S

幾何概型的例子

例1.2.3

蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.蒲豐投針問題(續(xù)1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以

表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間

滿足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一個矩形，其面積為：S

=d(

/2).

蒲豐投針問題(續(xù)2)

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

l

sin(

/2).

針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：

2lN/(dn).歷史上有一些實驗數據.

的隨機模擬蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)

一個頂點在平行線上;

2)

一條邊與平行線重合;

3)

兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為

p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d

),Pb=2b/(d

),Pc=2c/(d).

因為Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d

).

性質1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性質性質1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，則P(A

B)=P(A)+P(B).

可推廣到n個互不相容事件.性質1.3.3(對立事件公式)

P()=1

P(A).1.3.1

概率的可加性性質1.3.4

若A

B，則P(A

B)=P(A)

P(B)；若A

B，則P(A)

P(B).性質1.3.5

P(A

B)=P(A)

P(AB).1.3.2

概率的單調性(6)P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)

P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.例1.3.2解：因為P(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

例1.3.3解：因為A、B、C

都不出現的概率為=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現的概率.口袋中有n

1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”思考題

口袋中有2個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例1.3.4解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現一次6點”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現一次6點的概率.例1.3.5解：記B=“至少出現一次雙6點”，則所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現一次雙6點的概率.從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個數的乘積能被10整除的概率.利用對立事件和加法公式解：因為“乘積能被10整除”意味著：

“取到過5”(記為A)且“取到過偶數”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對立事件公式、德莫根公式和加法公式甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習題1.3第10題)求甲擲出的正面數比乙擲出的正面數多的概率.

利用對稱性解：記甲正=甲擲出的正面數，乙正=乙擲出的正面數.

甲反=甲擲出的反面數，乙反=乙擲出的反面數.因為

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反

乙反)=1

P(甲正>乙正)(對稱性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N個產品，其中M個不合格品、N

M個合格品.(口袋中有M個白球，N

M個黑球)常見模型(1)

——

不返回抽樣從中不返回任取n個,則此n個中有m個不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.口袋中有5

個白球、7個黑球、4個紅球.從中不返回任取3

個.求取出的3

個球為不同顏色的球的概率.思考題購買：從01，……，35中選7個號碼.開獎：7個基本號碼，1個特殊號碼.

彩票問題——幸運35選7中獎規(guī)則

1)7個基本號碼

2)6個基本號碼+1個特殊號碼

3)6個基本號碼

4)5個基本號碼+1個特殊號碼

5)5個基本號碼

6)4個基本號碼+1個特殊號碼

7)4個基本號碼，或3個基本號碼+1個特殊號碼

中獎概率

中所含樣本點個數：將35個號分成三類：

7個基本號碼、1個特殊號碼、27個無用號碼記pi

為中i等獎的概率。利用抽樣模型得：

中獎概率如下：不中獎的概率為：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7

N個產品，其中M個不合格品、N

M個合格品.

從中有返回地任取n個.則此n個中有m個不合格品的概率為：常見模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n個不同球放入N個不同的盒子中.每個盒子中所放球數不限.求恰有n個盒子中各有一球的概率(n

N)

常見模型(3)

——

盒子模型求n個人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個球放入N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n個人、n頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4)——

配對模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配對模型(續(xù))因為概率是事件(集合)的函數，所以先討論事件(集合)的“極限”

.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調不增事件序列，其極限事件為

設P(·)是一個集合函數，

(1)

若任對單調不減集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數的連續(xù)性

(2)若任對單調不增集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是上連續(xù)的.

性質1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個概率函數，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性性質1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負、正則的集合函數，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件問題的提出：

1)10個人摸彩，有3張中彩.

問：第1個人中彩的概率為多少？第2個人中彩的概率為多少？

2)10個人摸彩，有3張中彩.

問：已知第l個人沒摸中，第2個人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率

定義1.4.1

對于事件A、B，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現的條件下，A

出現的條件概率.1.4.1

條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：將

縮減為

B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計算10個產品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第二個又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設A={第一個取到次品}，

B={第二個取到次品}，例1.4.1條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)

P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率P(

|B)=1;P(B|

)

1;P(A|

)=P(A);P(A|A)=1.注意點(1)

設P(B)＞0，且A

B，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(A

B)=0.84,P(

B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式性質1.4.2

(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率.一批零件共有100個，其中10個不合格品。從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應用性質1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(Bi)>0，則1.4.3

全概率公式全概率公式用于求復雜事件的概率.使用全概率公式關鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間.全概率公式最簡單的形式：注意點(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意點(2)

則由可得

設10件產品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2n張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎券”，則

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式計算得P(A2)=1/n.

(3)可用歸納法計算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，記Ai

為“第i次摸到獎券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結論：不論先后，中彩機會是一樣的.摸彩模型(續(xù))

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)從中一只一只返回取球；

(2)從中一只一只不返回取球；

(3)從中一只一只返回取球，且返回的同時再加入一只同色球.思考題

罐中有b

個黑球、r

個紅球，每次從中任取一個，取出后將球放回，再加入c

個同色球和d

個異色球.(1)當c=

1,d=0時，為不返回抽樣.(2)當c=0,d=0時，為返回抽樣.(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型.(4)當c=

0,d>0時，為安全模型.波利亞罐子模型

記

pk(b,r)為“口袋中有b個黑球、r個紅球時，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)當c=

1,d=0時為不返回抽樣，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)當c=0,d=0時為返回抽樣，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型。此時pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亞罐子模型(續(xù))甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙兩口袋的球數不同，如果兩口袋裝的黑、白球個數都相同，則情況又如何？思考題要調查“敏感性”問題中某種比例p；兩個問題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問題.敏感性問題的調查乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結果”，求“原因”的概率.1.4.4

貝葉斯公式

某人從甲地到乙地，乘飛機、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機、火車、汽車的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“結果”

，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)為“先驗概率”.注意點例1.4.3某商品由三個廠家供應，其供應量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產品的次品率為2%,2%,4%.若從市場上隨機抽取一件此種商品，發(fā)現是次品，求它是甲廠生產的概率?

解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設

Ai

=“取到第i

個工廠的產品”，B=“取到次品”，由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的。現再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現是白球。試問口袋中原來的那只球是白球的可能性多大？課堂練習2/3

事件的獨立性

直觀說法：對于兩事件，若其中任何一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生，

則這兩事件是獨立的.

P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)

P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

獨立性定義1.5.1

若事件A

與B

滿足：P(AB)=P(A)P(B),

則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.結論

A、B為兩個事件，若P(A)>0,則

A與B

獨立等價于

P(B|A)=P(B).性質1.5.1

若事件A與B獨立，則

A與獨立、與B獨立、與獨立.1.5.1

兩個事件的獨立性

實際應用中，往往根據經驗來判斷兩個事件的獨立性：例如

返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復試驗等.事件獨立性的判斷1.5.2

多個事件的相互獨立性對于A、B、C三個事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨立.定義1.5.3

若事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨立、三三獨立、……、n

n獨立則稱A1,A2,……,An

相互獨立.

若A、B、C相互獨立，則A

B與C獨立,A

B與C獨立,A

B與C獨立.一些結論

例1.5.1

兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其命中率分別為0.9和0.8，求目標被擊中的概率.解:

設A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以解法i)

P(C)=P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)=0.9+0.8

0.9

0.8=0.98.解法ii)

用對立事件公式

P(C)=P(A

B)=1(10.9)(10.8)=1

0.02=0.98.

例1.5.2

甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現已知目標被擊中，求它是甲擊中的概率.。解:設A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以

P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)

P(A)P(B)]=0.6/0.88=15/22

例1.5.3

兩射手輪流對同一目標進行射擊，甲先射，誰先擊中則得勝。每次射擊中，甲、乙命中目標的概率分別為

和

，求甲得勝的概率。解:

因為P(甲勝)=

+(1

)(1

)P(甲勝)所以P(甲勝)=

/[1(1

)(1

)].

例1.5.4

口袋中有3個白球、5個黑球，甲、乙兩人輪流從口袋中有返回地取一球，甲先取.

誰先取到白球為勝，求甲勝的概率.解：P(甲勝)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲勝)所以P(甲勝)=8/13.

例1.5.5

元件工作獨立，求系統(tǒng)正常工作的概率.

記Ai=“第i個元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)兩個元件的串聯系統(tǒng)：P(A1A2)=p1p2(2)兩個元件的并聯系統(tǒng)：

P(A1

A2)=p1+

p2

p1p2=1

(1

p1)(1

p2)(3)五個元件的橋式系統(tǒng)：用全概率公式

p3(p1+

p4

p1p4)(p2+

p5

p2p5)+(1

p3)(p1p2+

p4p5

p1p2p4p5)

若試驗E1的任一結果與試驗E2的任一結果都是相互獨立的事件，則稱這兩個

試驗相互獨立，或稱獨立試驗.1.5.3

試驗的獨立性

伯努里試驗：

若某種試驗只有兩個結果

(成功、失?。缓谇?、白球；正面、反面)，則稱這個試驗為伯努里試驗.

在伯努里試驗中，一般記“成功”的概率為p.

n重伯努里試驗：

n次獨立重復的伯努里試驗.n

重伯努里試驗§2.1

隨機變量及其分布(1)

擲一顆骰子，出現的點數X1，2，……，6.(2)n個產品中的不合格品個數Y0，1，2，……，n(3)某商場一天內來的顧客數Z0，1，2，……(4)某種型號電視機的壽命T:

[0,+)2.1.1隨機變量的定義定義2.1.1

設

={}為某隨機現象的樣本空間，稱定義在上的實值函數X=X()為隨機變量.注意點(1)(1)隨機變量X()是樣本點的函數，

其定義域為，其值域為R=(，)若X表示擲一顆骰子出現的點數，則{X=1.5}

是不可能事件.

(2)若X

為隨機變量，則

{X=k}、{a

<

X

b}、……

均為隨機事件.即{a

<

X

b}={

；a

<

X()b

}

注意點(2)(3)注意以下一些表達式：

{X=k}={X

k}

{X<k}；{a

<

X

b}={X

b}

{X

a}；{X>b}=

{X

b}.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機變量.若隨機變量X可能取值的個數為有限個或

可列個，則稱X為離散隨機變量.若隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間

[a,b]，則稱X為連續(xù)隨機變量.前例中的X,Y,Z為離散隨機變量；而T為連續(xù)隨機變量.兩類隨機變量定義2.1.2

設X為一個隨機變量，對任意實數

x，稱F(x)=P(X

x)為

X的分布函數.基本性質：

(1)F(x)

單調不降；

(2)有界：0

F(x)

1，F(

)=0，F(+)=1；

(3)右連續(xù).2.1.2

隨機變量的分布函數2.1.3

離散隨機變量的分布列設離散隨機變量X的可能取值為：x1，x2，……，xn，……

稱pi=P(X=xi)，i=1,2,……

為X的分布列.分布列也可用表格形式表示：X

x1

x2

……

xn

……

P

p1

p2

……

pn

……

分布列的基本性質(1)pi

0，

(2)(正則性)(非負性)注意點(1)求離散隨機變量的分布列應注意：

(1)確定隨機變量的所有可能取值;

(2)計算每個取值點的概率.

注意點(2)

對離散隨機變量的分布函數應注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數;

(2)其間斷點均為右連續(xù)的;(3)其間斷點即為X的可能取值點;(4)其間斷點的跳躍高度是對應的概率值.例2.1.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函數.解：X012P0.40.40.2解：例2.1.2已知X的分布函數如下,求X的分布列.2.1.4

連續(xù)隨機變量的密度函數連續(xù)隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間(a,b).因為對連續(xù)隨機變量X，有P(X=x)=0，所以無法仿離散隨機變量用P(X=x)來描述連續(xù)隨機變量X的分布.注意離散隨機變量與連續(xù)隨機變量的差別.定義2.1.4設隨機變量X的分布函數為F(x),則稱X為連續(xù)隨機變量，若存在非負可積函數p(x)，滿足：稱p(x)為概率密度函數，簡稱密度函數.密度函數的基本性質滿足(1)(2)的函數都可以看成某個連續(xù)隨機變量的概率密度函數.(非負性)(正則性)注意點(1)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的連續(xù)函數;(3)P(X=x)=F(x)

F(x

0)=0;

(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)

F(a).注意點(2)(5)當F(x)在x點可導時,

p(x)=當F(x)在x點不可導時,

可令p(x)=0.連續(xù)型密度函數

X~p(x)

(不唯一

)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<X

b)=F(b)

F(a).4.點點計較5.F(x)為階梯函數。

5.F(x)為連續(xù)函數。

F(a

0)=F(a).F(a

0)

F(a).例2.1.3設

X~求(1)常數k.(2)F(x).(1)k=3.(2)解：例2.1.4設

X~求

F(x).解：設X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨立，解:

因為P(A)=P(B),P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)從中解得且P(A

B)=3/4,求常數a.且由A、B獨立，得=2P(A)

[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.5

設X~p(x)，且p(

x)=p(x)，F(x)是X的分布函數，則對任意實數a>0，有()

①F(

a)=1

②F(

a)=③F(

a)=F(a)④F(

a)=2F(a)

1課堂練習②§2.2

隨機變量的數學期望分賭本問題(17世紀)甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?兩種分法

1.按已賭局數分：

則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局數和再賭下去的“期望”分：

因為再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/42.2.1數學期望的概念

若按已賭局數和再賭下去的“期望”分，

則甲的所得X是一個可能取值為0或100

的隨機變量，其分布列為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.2.2.2

數學期望的定義定義2.2.1

設離散隨機變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...

若級數絕對收斂，則稱該級數為X的數學期望，記為連續(xù)隨機變量的數學期望定義2.2.2

設連續(xù)隨機變量X的密度函數為p(x),

若積分絕對收斂，則稱該積分為X的數學期望，記為例2.2.1則E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3數學期望簡稱為期望.數學期望又稱為均值.數學期望是一種加權平均.注意點2.2.3

數學期望的性質定理2.2.1

設Y=g(X)是隨機變量X的函數，若E(g(X))存在，則例2.2.2

設隨機變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4數學期望的性質(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))例2.2.3設X~

求下列X

的函數的數學期望.(1)2X

1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.§2.3

隨機變量的方差與標準差數學期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的離散程度.2.3.1方差與標準差的定義定義2.3.1

若

E(X

E(X))2存在，則稱

E(X

E(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(X

E(X))2(2)稱注意點

X

=

(X)=(1)

方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.

方差越大,則隨機變量的取值越分散.為X的標準差.標準差的量綱與隨機變量的量綱相同.2.3.2

方差的性質(1)Var(c)=0.性質2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性質2.3.3(3)Var(X)=E(X2)

[E(X)]2.性質2.3.1例2.3.1

設X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)

[E(X)2]=7/6

1=1/6課堂練習

設則方差

Var(X)=()。問題：Var(X)=1/6,為什么？隨機變量的標準化

設Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X

的標準化.2.3.3

切比雪夫不等式

設隨機變量X的方差存在(這時均值也存在),

則對任意正數ε，有下面不等式成立

例2.3.2設X~證明證明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)

(EX)2=n+1,(這里,

=n+1)由此得定理2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1§2.4

常用離散分布

2.4.1

二項分布記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數,當n=1時，稱b(1,p)為0-1分布.

試驗次數為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,

所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y為不合格品件數，Y

？Y~b(4,0.2)

一批產品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,則取得合格品件數X服從二項分布.

例2.4.1設X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9

，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.若隨機變量X的概率分布為則稱X服從參數為

的泊松分布,

記為X~P(

).2.4.2泊松分布泊松定理定理2.4.1(二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記pn

為一次試驗中成功的概率.若npn

，則記為X~h(n,N,M).超幾何分布對應于不返回抽樣模型

：N個產品中有M個不合格品，

從中抽取n個，不合格品的個數為X.2.4.3超幾何分布記為X~Ge(p)

X為獨立重復的伯努里試驗中，“首次成功”時的試驗次數.

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4幾何分布負二項分布(巴斯卡分布)記為X~Nb(r,p).X為獨立重復的伯努里試驗中，“第r次成功”時的試驗次數.注意點

(1)二項隨機變量是獨立0-1隨機變量之和.

(2)負二項隨機變量是獨立幾何隨機變量之和.常用離散分布的數學期望

幾何分布Ge(p)的數學期望=1/p

0-1分布的數學期望=p

二項分布b(n,p)的數學期望=np

泊松分布P(

)的數學期望=

常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1

p)

二項分布b(n,p)的方差=np(1

p)

泊松分布P(

)的方差=

幾何分布Ge(p)的方差=(1

p)/p2§2.5

常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數分布、伽瑪分布、貝塔分布。記為X~N(

,

2),其中

>0，

是任意實數.

是位置參數.

是尺度參數.2.5.1正態(tài)分布yxOμ正態(tài)分布的性質(1)

p(x)關于

是對稱的.p(x)x0μ在

點p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改變,(3)若

固定,

改變,σ小σ大p(x)左右移動,

形狀保持不變.

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.p(x)x0x

x標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數記為

(x),分布函數記為

(x).

(x)的計算(1)x

0時,查標準正態(tài)分布函數表.(2)x<0時,用若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

例2.5.1

設X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.97