廣西玉林市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含解析）

玉林市2022年秋季期高二年級期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷總分150分，考試時長120分鐘注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級?考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.第I卷（選擇題，共60分）一?單選題（共8小題，每小題5分，共40分，請把答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置上）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】一個點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)改變成原來的相反數(shù)，即可選出答案.【詳解】一個點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)改變成原來的相反數(shù)，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為.故選：C.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3.已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為.故選：A.4.在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5 C. D.9【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的項求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴．故選：D5.已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，則實數(shù)的值是（）A. B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式求，再代入點求值.【詳解】拋物線上點到其焦點的距離為5，，解得點在拋物線上，，又.故選：C.6.如圖，空間四邊形中，，點在上，且，點為中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運算求解即得.【詳解】依題意，.故選：B7.在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.7 C. D.8【答案】A【解析】【分析】先判斷數(shù)列單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性去絕對值進(jìn)行計算即可.【詳解】數(shù)列中，，則，則當(dāng)時，在數(shù)列中；當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，則，.故選：A.8.已知雙曲線的左?右焦點分別為與是雙曲線的左頂點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)得到一個關(guān)于的等式，最后根據(jù)的關(guān)系求出離心率即可.【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，又由雙曲線易得雙曲線的漸近線為，如圖，聯(lián)立，解得或，，又軸，由得，，即.故選：D.二?多選題（共4小題，每小題5分，部分答對得2分，共20分，請把答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置上）9.已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則以下幾個命題正確的有（）A.直線l恒過定點(3，1)B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C恒相交D.直線l與圓C相離【答案】AC【解析】【分析】求出直線所過的定點，確定點在圓內(nèi)，從而確定直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】將直線l的方程整理為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得：則無論m為何值，直線l過定點(3，1)，因為，所以點在圓內(nèi)，故直線l與圓C恒相交，故AC正確.故選：AC10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.已知任意非零向量，若，則B.若對空間中任意一點，有，則四點共面C.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D.若空間四個點，則三點共線【答案】BD【解析】【分析】由向量平行的性質(zhì)判斷A；根據(jù)空間向量共面定理即可判斷選項B；用向量運算法則判斷C；由共線向量定理判斷D.【詳解】對于：若，則，且，故錯誤；對于，若對空間中任意一點，有，，四點共面，故B正確；對于，是空間中的一組基底，且，共面，不可以構(gòu)成空間的一組基底，故C錯誤；對于，若空間四個點，，，三點共線，故D正確.故選：BD11.已知數(shù)列滿足：，，，3，4，…，則下列說法正確的是（）AB.對任意，恒成立C.不存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列D.數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】首先判斷D，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，通過D構(gòu)造等差數(shù)列的定義，即可判斷；根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的通項公式，再通過代入的方法，判斷ABC.【詳解】因為，（）,所以,（）,即，因為，所以，得，，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即，得，故D正確；A.，故A正確；B.，所以，故B正確；C.若存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列，則，即，得，令，滿足等式，所以C錯誤；故選：ABD12.拋物線的焦點為F，P為其上一動點，當(dāng)P運動到時，，直線與拋物線相交于A，B兩點，點，下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為B.存在直線，使得A、B兩點關(guān)于對稱C.的最小值為6D.當(dāng)直線過焦點F時，以AF為直徑的圓與y軸相切【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點在拋物線上，B錯誤,，C正確，計算D正確，得到答案.【詳解】,故，,故,A正確；設(shè),設(shè)中點，則，相減得到,即,因為A、B兩點關(guān)于對稱，所以,故,故,點在拋物線上，不成立，故不存在，B錯誤；過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時等號成立，故C正確；如圖所示：為中點，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（共4小題，每小題5分，共20分，請把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知直線與垂直，則__________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】由題可得，解得.故答案為：9.14.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則______.【答案】70【解析】【分析】利用等比數(shù)列的求和公式的基本量運算即得，或利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可知，方法一：由已知條件可列出方程組兩式作商得，∴，∴.方法二：由性質(zhì)得，，即，∴，∴.方法三：運用性質(zhì).由已知條件，，易得，∴，即，∴.由，解得.方法四：運用性質(zhì)，，，，…成等比數(shù)列解答.∵，，成等比數(shù)列，而，，∴，即，∴.故答案為：70.15.如圖所示，二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長______．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長．【詳解】二面角為，是棱上兩點，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長．故答案為．【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則以及數(shù)量積的運算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，是中檔題．16.已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】過圓心作，由已知求得，再求出圓心到直線的距離，求得的最小值，再由求解.【詳解】如圖，為直線上的任意一點，過圓心作，連接，由，可得，由，當(dāng)共線時取等號，又是的中點，所以，所以.則此時，的最小值為.故答案為：四?解答題（本大題共6小頊，第17題10分，其他每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步?。?7.在中，，，.（1）求的中線所在直線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由中點坐標(biāo)公示求得的中點，寫出的斜率，用點斜式得到方程.(2)求出所在直線的方程，由點到直線的距離求出三角形的高，求出的距離，代入面積公示得到答案.【小問1詳解】由，，得的中點為，又，所以，所以中線所在直線的方程為，即.【小問2詳解】由，，得，直線的方程為，即，點到直線的距離為，又，所以的面積為.18.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為，的中點，點在上，且．（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)空間向量證明垂直關(guān)系即可證明結(jié)果；(2)根據(jù)空間向量求線線夾角的方法求解.【小問1詳解】建立以點為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，所以，即，所以.【小問2詳解】由（1）知，則，因為與所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.19.設(shè)數(shù)列的前項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計算，根據(jù)公式計算得到答案.（2）確定，利用裂項相消法計算得到答案.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；經(jīng)檢驗：滿足；綜上所述：【小問2詳解】，.20.已知曲線C是到兩個定點，的距離之比等于常數(shù)的點組成的集合．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)過點B的直線l與C交于M，N兩點；問在x軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在定點，使得為定值【解析】【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)距離之比等于常數(shù)列出等式，即可得到曲線方程；（2）設(shè)直線l方程為，點，聯(lián)立曲線C的方程，利用韋達(dá)定理可以求出，由于為定值可知，可求出參數(shù)t的值，即可得定點坐標(biāo)和定值，當(dāng)斜率不存在時，也符合題意.【小問1詳解】設(shè)點，由題意可知，則有，整理得，故曲線C的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線l方程為，點，，聯(lián)立，得，所以，因此若，即時，，所以定值為，當(dāng)斜率不存在時，直線l為，聯(lián)立可求得，，所以，符合題意.故存在定點，使得為定值.21.如圖，在四邊形中，于交點，.沿將翻折到的位置，使得二面角的大小為.（1）證明：平面平面；（2）在線段上（不含端點）是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，為上靠近點的三等分點，理由見解析【解析】【分析】（1）先由題設(shè)條件證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直.（2）由已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，通過三點共線設(shè)出點的坐標(biāo)，然后求出二面角對應(yīng)的兩個平面的法向量，再通過二面角的余弦值的絕對值等于其法向量所成角的余弦值的絕對值求解.【小問1詳解】因為，所以，平面,平面,又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】過作，因為平面，所以，因為，平面,平面所以平面，如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸，與過點作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因為，所以二面角的平面角為，即則，，.設(shè)，則.設(shè)是平面的一個法向量，則，取因為是平面的一個法向量.所以，解得或（舍）.所以為上靠近點的三等分點，即.故：存在點為上靠近點的三等分點滿足條件.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長是18，，是軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若，動點滿足.（1）求動點的軌跡方程；（2）設(shè)動直線過定點與曲線交于不同兩點A，（點在軸上方），在線段上取點使得，證明：當(dāng)直線運動過程中，點在某定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由知點G是的重心，取點，，不妨設(shè)，，由幾何關(guān)系得，符合橢圓定義，按橢圓定義求方程即可；（2）設(shè)，，，（，且），所以，，由向量與坐標(biāo)關(guān)系可整理得①，②，由結(jié)合點A，B在橢圓上的兩方程消元可得，即可證點Q總在定直