計量濟學(xué)chap6平穩(wěn)時間序列分析

（給出兩個時間需類數(shù)據(jù)的例子，畫出圖形，一個是宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)GDP（4.1設(shè)時點t1,2,,Ty1（給出兩個時間需類數(shù)據(jù)的例子，畫出圖形，一個是宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)GDP（4.1設(shè)時點t1,2,,Ty1y2yT列，可以表示為{ytt1,2,,T或者{y}T。yy,ytt T（realization1）相關(guān)性和自相關(guān)函關(guān)函數(shù)（AC:Autocorrelationfunction）cov(ys,ytr(s,t)Var(ys)Var(yt，其中cov(ysytysyt的協(xié)方差，Varys和Varytysyt的方差。這種表示方法十分有用。例r(ss10.4r(ssk)0,k2，表明時間上相鄰的兩個變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，而時間間隔大于12）平穩(wěn)粗略地將，平穩(wěn)性是指時間序列的分布規(guī)律不隨時間的推移而改變?？紤]如果對任何的時間間隔kkT￠￡Ty1,y2yT￠的聯(lián)合分布函數(shù)y1ky2+k,yT￠+kstationaryE(yt)=2Var(y)=,s,t=tr(s,t)=r(t-stationary設(shè)y1,y2,yT為平穩(wěn)時間序列的一組樣本，則時間序列的數(shù)學(xué)期望、方差和自stationary設(shè)y1,y2,yT為平穩(wěn)時間序列的一組樣本，則時間序列的數(shù)學(xué)期望、方差和自相關(guān)函T1m?=Tts?2=1(yt-T-1t T(yt-y)(yt-k-T-t=kT1(-tT-t3）滯后和滯后算將{yt,t1,2,,T}沿時間后移得到的時間序列{yt,tk,k+1,,T}稱為滯后（lag，如果后移k個時間間隔，則稱為kytkytk階滯，例如yt-11節(jié)滯后時間序列后移的操作稱為滯后運滯后運算可以用滯后算子表示。滯后算子L定義為：Lky=,k=0tt算2yt-35yt-23yt-12yt用滯后算子多項式表示為(2L35L23L2yt(2L3+5L2+3L+2)y=2+5++2tt- 4.21）白噪聲（1）E(e)=0，Var(e)=stte（2）對任意兩個不同時stet和es不相關(guān)E(etes)2）自回歸模型2）自回歸模型yt=c+j1yt-1+不相關(guān)。從模型中看出，除了常數(shù)項c之外，y在t時刻的值分為兩是由前期值確定的部分，第二部分 是不能從前期值推出的部分，是白噪聲序列，分，第一部分（innovation型，很多時間序列模型都可以用自回歸模型表示。在一階自回歸模型中，回歸系數(shù)j1的大小和3）移動平均模型（MA：Movingyt=c+j1yt-1+=c+j(c+j+e)=c+jc+yt=c+j1yt-1+=c+j(c+j+e)=c+jc+j2+je+11t- 1t- 1t- ==c(1+j+j2+jk+j)+e+j++j 1 1t- t- 1t-。如果序列為無限時間的時間序列，則kfi￥jkfi0，得1cy+e+j++j+t 1t- t-1-1。由此看出，除常數(shù)項外，y可以用白噪聲序列的無窮和式表示?？紤]到j(luò)kfi0，只t1 yt=c1+(1+q1L++qkLk-4）自回歸移動平均模型（ARMA：AutoRegressionMoving+qkyt-以轉(zhuǎn)化為AR模型，也可以轉(zhuǎn)化為MA模型。4.21）0均值yt=c+j1yt-1+jkyt-k+，其中c為常數(shù)，回歸系數(shù)j1,,jk稱為自回歸系數(shù)，{et為白噪聲序列。用AR(k)表示如果{yt}為平穩(wěn)時間序列，則不同時點隨機變量數(shù)學(xué)期望相等，即EytEyt-km，對（4.6）兩邊取數(shù)學(xué)期望得出mcj1mjkm，由此c=(1-j1jk)m，帶入（4.6）yt-m=j1(yt-1-c=(1-j1jk)m，帶入（4.6）yt-m=j1(yt-1-m)+jk(yt-k-m)+0yt0均值化后的時間序列，此時的模型相當(dāng)于?。?.6）中的c0yt=j1yt-1+jkyt-k+482）平穩(wěn)性回歸系數(shù)必須滿足一定的條件。采用滯后算子L將模型（4.8）表示為其中F(L1j1LjkLkAR(k)模型的滯后多項式。自回歸過程平穩(wěn)的充分必要F(L)=L滿足|L|1。其中當(dāng)L為實根時|L|表示絕對值，當(dāng)L為虛根時|L|表示虛數(shù)的模。例如，如果j11L1為（4.9）的根（單位根）1位于單位圓上，不滿足模型平穩(wěn)條件，對應(yīng)的時間序列是非平穩(wěn)的。此時的時間序列稱為單位根過程（unitrootprocess。因此常常把模型是否平穩(wěn)的檢驗稱為單位根檢驗。再如，如果j1+jk1L1jk1是模型平穩(wěn)的必要條件（4.9）的根，模型是非平穩(wěn)的?？梢宰C明j13）自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函（1）AR(1)模型的自相關(guān)首先計算AR(1模型中變量的方差。用g0表示變量的方差?？紤]0均值化模型g=E(y2)=E(j+e)2=j2E( )+E(e2)=j2g+s0t1t- 1 sg0=Var(yt)=e1-ytyt-1的協(xié)方差（用g1表示）為（etyt-1不相關(guān)e2g1=cov(y )=E[(je) ]=jt-1 01t1tt-1-。采用同樣的推導(dǎo)可以得出ytyt-k的協(xié)方差（用gk表示）jksk1gk=cov(y,)=jge,k= t- 11-1jksk1gk=cov(y,)=jge,k= t- 11-1r(k)=gk=jk,k=10。由于平穩(wěn)性要求|j1|1，因此當(dāng)kfi￥r(k)fi0，即自相關(guān)系數(shù)隨時間間隔的增（2）AR(2)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函（i）自相關(guān)函0均值化的AR(2)模型ytb1yt-1b2yt-2et。同AR(1)模型的計算和所有符號相同有g(shù)=E(y2)=E(y(j+e))=jg+jg+s+j0t 1t- 2t- 1 2 (1-j2g 0(1+j)[(1-j)2-j2221r(1)=j11-j1r(2)=j2r(k)=j1r(k-1)+j2r(k-2),k>可得出自回歸系數(shù)j1和j2的估計值?？梢宰C明，二階自回歸模型的自相r(k)k的（ii）偏自相關(guān)函+jkyt-k+et則自回歸系數(shù) ,jk稱為Correlation)偏自相關(guān)函數(shù)。AR(k)模型的偏自相關(guān)函偏自相關(guān)函數(shù)。AR(k)模型的偏自相關(guān)函數(shù)的l￡lf(l)=jl0,l>=4.31）模型識AR模型的功能來對模型進行定階：在主菜單中點擊>SeriesStatistics——（leveldifferenceEviews先將原始數(shù)據(jù)差分，再對差分后include。選擇后include。選擇后點OK，屏幕顯示計算結(jié)果及其圖示inc210沒有顯著差異，因此可以AR模型對數(shù)據(jù)建模。而從偏自相關(guān)函數(shù)看，數(shù)據(jù)的偏自相關(guān)函數(shù)的截尾特征十分明顯：2）模型估（1）最小二乘從（4.6）看出，自回歸模型是一種線性回歸模型的形式，誤差項etyt-2yt-假設(shè)，并且與解釋變不相關(guān)，因此采用最小二乘法得出的估計具有一AR(k)y1k（2）極大似然方如果假定誤差項服從正態(tài)分布，則可以采用極大似然方法估計模型。由于e~N(0,s2)，因此以 ,,tet-t+j ,s2y~N(c+j+t1t-kt- yt-1,,yt-，條件分布密度k)21(y-c-jy1-+j ,s2y~N(c+j+t1t-kt- yt-1,,yt-，條件分布密度k)21(y-c-jy1--jkft1t-y|y,, (y| ,,)tt- t-2ee。給定樣本y1,,yT，則似然函T/(y-c-j --j)21Texp 1t- kt- L(y ,y|c,j1,,jk)= 2 et=ke，取自然對數(shù)得到對數(shù)似然函TT2lnL(y ,y|c,j,,j)=-ln(2p)-ln(s1 e22T(y-c-j-j+-t1t-kt-et=k。極大化似然函數(shù)，可以得出與最小二乘相同的估計結(jié)果自回歸模型的估計可以很容易地在Eviews中實現(xiàn)。以文件c:\program在打開的工作文件界面中點擊主菜單的Quick—>EstimateEquation，進入模型設(shè)定對話框設(shè)定模型時，首先寫出要建立AR模型的時間序列變量名字，空格后寫出ar(1)ar(2)等，y2ar(1)ar(2)表示要估計的模型為形如y2tcj1y2t-1j2y2t-2et的自回歸模型。如果模型設(shè)定y2ar(2)ar(4) 估計初值進行設(shè)定，然后點 OK，得出如下結(jié)果合效果。調(diào)R2、AIC準(zhǔn)則SC準(zhǔn)則都是選擇模型的重要標(biāo)準(zhǔn)。選擇不同的滯后階數(shù)時顯然，0.75位于單位圓之內(nèi)，因此對應(yīng)的時間序列平穩(wěn)3）模型檢（1）白噪聲檢驗的Q統(tǒng)計量（Q-聲檢驗。設(shè)時間序yt的自相關(guān)系數(shù)為r(3）模型檢（1）白噪聲檢驗的Q統(tǒng)計量（Q-聲檢驗。設(shè)時間序yt的自相關(guān)系數(shù)為r(kyt為白噪聲，則對所有的kr(k)H1k使得r(kH0:r(k)=0,k=1,2,,M (y-y)(-tt-r?(k)=T-k-t=k,k=1,2,,1 (y-T-tBoxPierce（1970）證明，如果原假設(shè)成樣本量Tfi￥時，樣本自相關(guān)函數(shù)r?(kMQ=Tr?2k好的漸進效果，Ljung和Box（1978）將Q統(tǒng)計量改進為如下形式：MQ=T(T+T-k（3）回歸模型誤差項的白噪聲檢相關(guān)函數(shù)為r(k，待檢驗假設(shè)為：H1k使得r(kH0:r(k)=0,k=1,2,,M設(shè)e?1,,e?T為回歸的殘差序列，類似與（4.17，定義殘差的樣本自相關(guān)系數(shù)為（殘差均0 Tt-tT-k-t=kr?(k),k=1,2,,1 T-tMQ=MQ=T(T+2)k=1T-，則在原假設(shè)成Q漸進服從自由度為Mp的c2分布，p為自回歸模型的階數(shù)。給定顯著水平表得c2分布的臨界值c2(a)將實際計算出的Q值和臨界值c2(a)比較，如果Qc2(a，則拒絕原假設(shè)，即不能認(rèn)為誤差項為白噪聲。反之，不能拒絕誤差項為白噪聲。Eviews殘差檢驗采用殘差Q統(tǒng)計量。p（2）用Eviews進行殘差項白噪聲檢當(dāng)模型估計完成后，在Eviews彈出的估計結(jié)果界面，點擊（ProbProb值小于0.01，則在0.01水平上拒絕原假設(shè)。y2ar(1)ar(2)c，估計結(jié)果輸出，滯后多項式根的倒數(shù)表明，AR(2)是平穩(wěn)的。再次對殘差進行白噪聲檢驗，的如下結(jié)Q統(tǒng)計值及顯著水平看出，當(dāng)最大相關(guān)階3時0.05水平上拒絕原假設(shè)，即殘和8階滯后變量。需要重新設(shè)定模型。采用類似的方法可以驗證，用AR(3)對原數(shù)據(jù)建模模型殘差為白噪聲序列。因此，AR(3)為合適的模型3）用AR模型進行預(yù)自回歸模型將時間序列在t時的值表示為歷史值的線性組合加上一個新息，這種遞推結(jié)設(shè)時間yt的樣本區(qū)間為t1,2,,T，往前l(fā)期的時間序列值yT+l,l1,2。我（1）一期差，數(shù)學(xué)期望E[e2(1)]=E[ error （4.6一期最優(yōu)預(yù)+jpy(T+1)-+jpyT-(kE[e(1)]2=E(e2)=sTTE[e(1)]2=E(e2)=sTT 。（2）多期+jpy(T+l)-yT+l-1,yT+l-2yT+1未知，不能直接進行l(wèi)yT+1step1：用一步預(yù)測yT+1的預(yù)測值y?T(1)step2y?T(1)yT+1用一步預(yù)測計yT+2的預(yù)測y?T(2，+jpy(T+l)-+stepl：用y?T(1),y?T(2), y?T(l)=c+j1y?T(l-1)+j2y?T(l-2)++jpy?T(l-，如果lk￡0y?T(lk)yT+l-kytcj1yt-1ety1,yT，則一期預(yù)測和二期預(yù)測為T1 1，依此類推得出l期預(yù)測y?(l)=c(1+j+j2l+j)+jT 11=c(1+j)+j2+j -y?+ 1T+l- T 1T