專題6.4 多邊形的內(nèi)角和與外角和（學生版）

專題6.4多邊形的內(nèi)角和與外角和1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，并應用他們解決基本的幾何問題；知識點01多邊形的內(nèi)角和與外角和【知識點】1）多邊形定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2）相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°．對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為．【知識拓展1】多邊形的內(nèi)角和例1．（2023春·北京昌平·八年級校聯(lián)考期中）下列多邊形中，內(nèi)角和為的是（

）A． B． C． D．【即學即練】1．（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）十邊形的內(nèi)角和是（

）A．1440° B．1260° C．1080°

D．900°【知識拓展2】多邊形的外角和例2．（2023·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）若一個多邊形的每一個外角都是，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【即學即練】1．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）正七邊形的外角和是（

）A．900° B．700° C．360° D．180°【知識拓展3】多邊形的內(nèi)（外）角和綜合例3．（2023春·江蘇·七年級期末）若正多邊形的內(nèi)角和是，則該正多邊形的一個外角是（

）A． B． C． D．【即學即練】1．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，這個多邊形是（

）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．十邊形2．（2023春·全國·八年級專題練習）如果一個多邊形的每一個外角都相等，并且它的內(nèi)角和為，那么它的一個內(nèi)角等于（

）A． B． C． D．【知識拓展4】多邊形的截角問題例4．（2023春·江蘇·七年級?？贾軠y）將一個多邊形截去一個角后，得到一個新的多邊形的內(nèi)角和為，則原來多邊形的邊數(shù)為___________．（用阿拉伯數(shù)字表示）【即學即練】1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）在計算某n邊形的內(nèi)角和時，不小心少算了一個內(nèi)角，得到和為，這個角的大小是_____________．2．（2023春·全國·八年級專題練習）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是，這個多邊形是幾邊形？【知識拓展5】多邊形的對角線例5．（2023春·廣東·九年級專題練習）已知一個正多邊形的每個外角的度數(shù)都是，則該多邊形的對角線條數(shù)為（）A． B． C． D．【即學即練】1．（2022秋·河南·八年級?？茧A段練習）一個多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的4倍多，求這個多邊形的邊數(shù)？并求出該多邊形共可以引出幾條對角線？2．（2022秋·湖北恩施·八年級校考階段練習）若過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，邊形一共有條對角線，正邊形的內(nèi)角和與外角和相等，求代數(shù)式的值．題組A基礎過關練1．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若干個一模一樣的正六邊形（各邊相等，各角也相等）排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個六邊形，要完成這一圓環(huán)，還需這樣的六邊形的數(shù)量為（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個2．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在正六邊形中，以為邊向內(nèi)作正方形，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，邊長相等的正五邊形、正六邊形的一邊重合，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京豐臺·九年級?？茧A段練習）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正三角形、正五邊形的一邊重合，則（

）A． B． C． D．5．（2023·四川成都·模擬預測）永祚寺雙塔，又名凌霄雙塔，是山西省太原市現(xiàn)存的古建筑中最高的建筑，十三層均為正八邊形樓閣式空心磚塔，如圖1所示．如圖2所示的正八邊形是雙塔其中一層的平面示意圖，則其每個內(nèi)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）正十邊形的外角和是（）A． B． C． D．7．（2022秋·江西宜春·八年級校考階段練習）正多邊形的一個外角是，則這個正多邊形是（

）A．正七邊形 B．正八邊形 C．正九邊形 D．正十邊形8．（2023年河北省石家莊市中考一模數(shù)學試卷）如圖1，將兩條重合的線段繞一個公共端點沿逆時針和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，所得的兩條新線段夾角為，以為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當時，得到兩個正六邊形．邊數(shù)n456…旋轉(zhuǎn)角90°108°120°…夾角180°m120°…（1）用含的代數(shù)式表示，__________；（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角，夾角的部分對應值如表格所示，其中__________；（3）若，則n的最小值是__________．9．（2023春·江蘇·七年級期末）一個多邊形的內(nèi)角和與它的外角和之比為，則這個多邊形的邊數(shù)是_______．10．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如果一個多邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角是外角的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)為________．11．（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）一個多邊形除了一個內(nèi)角之外，其余各內(nèi)角的度數(shù)和為1510°，則這個多邊形的邊數(shù)為_____．12．（2023春·全國·八年級專題練習）（1）若n邊形的內(nèi)角和是，求n的值；（2）若n邊形的外角都相等，且內(nèi)角與相鄰外角的度數(shù)之比為，求n的值13．（2022秋·湖北恩施·八年級校考階段練習）某同學采用把多邊形內(nèi)角逐個相加的方法計算多邊形的內(nèi)角和，求得一個多邊形的內(nèi)角和為，當他發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個內(nèi)角．請問：漏加的這個內(nèi)角是多少度？他求的這個多邊形的邊數(shù)是多少？題組B能力提升練1．（2023·江西·模擬預測）如圖，七邊形中，，的延長線交于點，若，，，的外角和等于，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級景德鎮(zhèn)一中校考階段練習）我們知道：五邊形具有不穩(wěn)定性，小文將正五邊形沿箭頭方向向右推，使點B在線段AC上，若，則（

）A．減小了 B．增加了 C．減少了 D．增加了3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學?？家荒＃┤鐖D，五邊形中，，、、是外角，則等于（

）A． B． C． D．4．（2023春·河北石家莊·八年級石家莊二十三中?？茧A段練習）如圖，將矩形沿著裁剪得到一個四邊形和一個三角形，設四邊形的外角和與的外角和分別為，則（

）A． B． C． D．無法比較與5．（2023春·上?！ぐ四昙壠谥校┮粋€多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是，則原多邊形的邊數(shù)是__．6．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若在同一平面內(nèi)將邊長相等的正五邊形徽章和正六邊形模具按如圖所示的位置擺放，連接并延長至點，則______．7．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，點在正六邊形的邊上運動．若，寫出一個符合條件的的值_________．8．（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，小明從點O出發(fā)，前進3米后到達點A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進3米后到達點B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點O處．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為_________．(2)小明走出的這n邊形的周長為__________米．(3)若一個正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)．9．（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）看圖回答問題：(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說不可能？(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？10．（2023春·江蘇·七年級期中）一個多邊形如果內(nèi)角都相等，并且滿足其一個內(nèi)角的度數(shù)是其相對應外角度數(shù)的整數(shù)倍，就稱這個多邊形為“整數(shù)多邊形”，已知一個“整數(shù)多邊形”一個內(nèi)角的度數(shù)是其相對應外角度數(shù)的5倍，求這個“整數(shù)多邊形”的邊數(shù)．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2023秋·八年級課時練習）如圖，四邊形中，，與，相鄰的兩外角的平分線交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，等于（

）A． B． C． D．4．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）一個正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)都是其相鄰外角度數(shù)的5倍，則該正多邊形的邊數(shù)為______．5．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）“花影遮墻，峰巒疊窗”，蘇州園林空透的窗欞中蘊含著許多的數(shù)學元素．圖①中的窗欞是冰裂紋窗欞，圖②是這種窗欞中的部分圖案．若，則______°．6．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則______．7．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）如圖，正十邊形與正方形共邊，延長正方形的一邊與正十邊形的一邊交于點，則_______.8．（2022·全國·八年級專題練習）閱讀材料：解決問題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個角之間的等量關系．小明得出的結(jié)論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請你將小明的證明過程補充完整．證明：連接AD并延長AD到點E．聯(lián)系拓廣：（2）下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的(即從圖形上的某一頂點出發(fā)，找出一條路線，用筆不離開紙，連續(xù)不斷又不重復經(jīng)過圖形上所有部分畫成的)．請你根據(jù)上述解決問題的思路，解答下列問題：①圖2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為°；②圖3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為°．9．（2023春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）【閱讀?領會】怎樣判斷兩條直線否平行？如圖①，很難看出直線a、b是否平行，可添加“第三條線”（截線c），把判斷兩條直線的位置關系轉(zhuǎn)化為判斷兩個角的數(shù)量關系．我們稱直線c為“輔助線”．在部分代數(shù)問題中，很難用算術(shù)直接計算出結(jié)果，于是，引入字母解決復雜問題，我們稱引入的字母為“輔助元”．事實上，使用“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”可以更容易地解決問題．【實踐?體悟】(1)計算：，這個算式直接計算很麻煩，請你引入合適的“輔助元”完成計算．(2)如圖②，已知，求證：，請你添加適當?shù)摹拜o助線”，并完成證明．(3)【創(chuàng)造?突破】如圖③，，，，我們把大于平角的角稱為“優(yōu)角”，若優(yōu)角，則優(yōu)角______．10．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）(1)如圖1，