5-4 第1課時(shí) 二項(xiàng)式定理的推導(dǎo) 課件 高中數(shù)學(xué)新北師大版選擇性必修第一冊 （2023~2024學(xué)年）

5.4第1課時(shí)新授課二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)

根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果稱等式的右邊為左邊的展開式，那么如何求出(a+b)n的展開式？1.能用多項(xiàng)式法則和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理.2.會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.請計(jì)算(a+b)2，(a+b)3和(a+b)4，分析其運(yùn)算過程，并用組合數(shù)表示各項(xiàng)系數(shù).知識點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，項(xiàng)的形式：展開式共有：當(dāng)

時(shí)，2個(gè)(a+b)都不選b.a2的系數(shù)為,即a2系數(shù)為1；

3項(xiàng)當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，1個(gè)(a+b)中選a，另一個(gè)(a+b)中選b.2個(gè)(a+b)都選b.ab的系數(shù)為,即ab系數(shù)為2；

b2的系數(shù)為,即b2系數(shù)為1.展開式共有：項(xiàng)的形式：系數(shù)為系數(shù)為4項(xiàng)3個(gè)(a+b)都選a.2個(gè)(a+b)中選a，1個(gè)(a+b)中選b.系數(shù)為系數(shù)為1個(gè)(a+b)中選a，2個(gè)(a+b)中選b.3個(gè)(a+b)中都選b.a4a3bab3b4a2b2問題：根據(jù)以上分析，猜想(a+b)n的展開式是怎樣的？各項(xiàng)是從n個(gè)因式中各取一個(gè)字母相乘得到關(guān)于a,b的n次單項(xiàng)式，有項(xiàng)的形式：展開式共有：n+1項(xiàng).從n個(gè)因式中都取b，系數(shù)為從n個(gè)因式中取k個(gè)b，系數(shù)為從n個(gè)因式中取2個(gè)b，系數(shù)為從n個(gè)因式中取1個(gè)b，系數(shù)為從n個(gè)因式中都不取b，系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)：…………二項(xiàng)式定理：(a+b)n的二項(xiàng)展開式上式可簡寫成二項(xiàng)式系數(shù)概念生成式中的用Tk+1表示，稱為二項(xiàng)展開式中第（k+1）項(xiàng)，又稱為二項(xiàng)式通項(xiàng)，

記作二項(xiàng)式定理：知識點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例1

求

的展開式.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，例2

求

的展開式.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，例3

求

的展開式.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，例4

求

的展開式中x4y3的系數(shù).解：設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含x4y3的項(xiàng)，令7-k=4,得k=3,則∴x4y3的系數(shù)為

求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的系數(shù)的一般步驟：歸納總結(jié)1.寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是題目要求的項(xiàng)；2.合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)；3.根據(jù)具體要求，令字母的指數(shù)符合題目要求；4.再計(jì)算求得二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的系數(shù).求

的展開式中x3的系數(shù).練一練解：設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含x3的項(xiàng)，令9-2k=3,得k=