【教案】等比數列的概念第1課時+教學設計高二上學期數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

.3.1等比數列的概念（第1課時）教學設計一、本課在教材中的地位《等比數列》是人教A版（2019）數學選擇性必修第二冊第四章的內容。本節(jié)是數列這一章的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，而且公式推導過程中蘊涵的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養(yǎng).等比數列是另一個常見的簡單數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，給出等比中項的概念.二、教學目標1.通過類比和歸納的方法得到等比數列的定義和通項公式，能夠應用等比數列的通項公式解決簡單的問題;2.學生通過觀察、抽象、推理、應用的過程，獲得用數學的眼光觀察現實世界，用數學的語言描述現實世界的實際感受，提高其數學抽象、邏輯推理和數學建模的核心素養(yǎng).三、核心素養(yǎng)1數學抽象：等比數列的概念2邏輯推理：等比數列通項公式的推導3數學運算：等比數列通項公式的運用4數據分析：學習等比數列的概念，同時探究等比數列通項公式的推導方法，提高學生數學判斷的能力，以及參與數學活動的能力.四、教學重點、難點1、重點：等比數列、等比中項的概念、等比數列的通項公式2、難點：等比數列通項公式的推導和運用五、教學過程設計（一）復習引入問題1：如何說明一個數列是等差數列？從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數。具體實例等差數列的概念具體實例等差數列的概念代數運算歸納法通項公式函數角度數數一次函數形形抽象概念累加法累加法（二）觀察分析，感知概念引導探究1等比數列及等比中項的概念問題2：類比等差數列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，觀察以下幾個數列，思考它們有何共同特征？1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數列:①,,,...,;②,,,...,;③,,,...,.2.《莊子?天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”,那么從第1天開始,各天得到的“棰”的長度依次是④3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產生的后代個數依次是2,4,8,16,32,64,....⑤【師生活動】學生獨立思考、討論交流．教師提示，類比已有的學習經驗是一個好方法，比如“等差數列”；然后指引學生回顧等差數列相鄰兩項的關系，確定新數列的研究問題：相鄰兩項比是固定常數．【設計意圖】意在引導學生從運算的角度，類比已有研究對象的主要特征，發(fā)現一個新的特殊數列作為研究對象，這樣的過程有利于培養(yǎng)學生發(fā)現問題和提出問題的能力．（三）抽象概括，形成概念追問：（1）類比等差數列的概念，從上述幾個數列的規(guī)律中，你能抽象出等比數列的概念嗎？可以用符號語言表示嗎？一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個不為零的常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等差數列的公比，通常用字母表示.（2）從等比數列的符號語言可以發(fā)現等比數列的每一項和公比應滿足什么條件？注:①從第二項起每一項與它的前一項之比為常數;②任意一項且;③時，為非零常數列.【師生活動】教師引導學生觀察、分析，等比數列的每一項，公比．【設計意圖】讓學生充分經歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，其中包括獨立思考和交流討論．同時增強學生對數列的每一項和公比均不等于0的了解和記憶，這是一個提升學生數學抽象素養(yǎng)的時機．例1判斷下列數列是否是等比數列，如果是，寫出它的公比．．（1）1，，，，，…；不是（2）10,10,10,10,10，…；是，公比是1（3），，，，…；是，公比（4）1，0，1，0，1，…不是（5）1，-4，16，-64，256，…是，公比是-4（6）-1，-4，-16，-64，-256，…是，公比是4【師生活動】請學生根據所學的等比數列的概念判斷數列是否為等比數列．【設計意圖】進一步鞏固等比數列的概念．追問：（1）觀察題（2）是公比為1的等比數列，那么它是等差數列嗎？數列“0,0,0,0,0...”是等差數列嗎？（2）觀察（2）、（3）、（6）它們有什么共同特征？（5）這個數列跟前3個相比有什么區(qū)別？結論：①非零常數列既是等差數列又是等比數列；②q＞0時，等比數列各項符號相同；q＜0時，等比數列正負交替，是擺動數列.問題4：回憶等差中項的概念和關系，類比等差中項的定義，如果在與中間插入一個數，使，，成等比數列，則G可以叫與做的等比中項嗎？如果可以，他們有什么關系？ 如果三個數,G,組成等比數列，那么G叫做和的等比中項.，那么叫做與的等比中項．此時，．【師生活動】【師生活動】根據學生探究的情況，教師引導，幫助學生建立等比中項的定義．【設計意圖】對于難度不大的內容，引導學生通過類比的方法去找到等比數列中相鄰三項的關系，并抽象概念得到等比數列的定義．例2（1）2與8的等比中項為；答案：（2）?9和?4的等比中項為；答案：（3）1和?4的等比中項為；答案：（4）1，，4，-8是等比數列，則．答案：注意：同號兩數有兩個等比中項，它們互為相反數；異號兩數沒有等比中項.【師生活動】請學生根據等比中項的概念填空．【設計意圖】進一步鞏固等比中項的概念．四、辨析理解深化概念探究：你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？設一個等比數列的公比為．根據等比數列的定義，可得．不完不完全歸納法由此可得又，這就是說，當時上式也成立．因此，首項為，公比為的等比數列的通項公式為．問：在學習等差數列的通項公式是除了應用了不完全歸納法，還利用了累加法，類比等差數列的這個推導方法，等比數列還可以用什么方法推導它的通項公式？設等比數列，首項為，公比為累乘法，共有（n-1）個等式將這（n-1）個等式左右兩邊相乘得到，即思考：已知等比數列的公比為，試用的第項表示.結論：等比數列的通項公式為【師生活動】讓學生先獨立思考，教師展示學生推導并規(guī)范解答．【設計意圖】內容難度不大，引導學生類比等差數列通項公式的推導過程進行推導，并得到等比數學的通項公式．這是一個提升學生數學抽象的時機．例3若等比數列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項.【師生活動】帶領學生完成第一個通項公式的尋找，后面三個數列的通項公式由學生獨立完成，最后教師組織學生訂正．【設計意圖】通過以上四個數列的通項