第六章 平面向量初步（知識梳理熱考題型）（原卷版）

第六章平面向量初步單元復習【知識梳理】一、向量的有關概念(1)向量及向量的模一般地，我們把既有大小又有方向的量稱為向量(也稱為矢量)，向量的大小也稱為向量的模(或長度).(2)向量及其模的表示法、記法、寫法我們用有向線段來直觀地表示向量，其中有向線段的長度A終點為B的有向線段表示的向量，可以用符號簡記為eq\o(AB,\s\up6(→))，此時向量的模用|eq\o(AB,\s\up6(→))|表示.通常用加粗的斜體小寫字母如a，b，c等來表示向量；在書寫時，用帶箭頭的小寫字母如eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))等來表示向量.此時，向量a的模也用|a|或|eq\o(a,\s\up6(→))|來表示.(3)零向量與單位向量①0.可以認為零向量的方向是不確定的.②單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.二、向量的相等與平行(1)相等向量一般地，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量.(2)向量平行(向量共線)如果兩個非零向量的方向相同或者相反常規(guī)定零向量與任意向量平行.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.三、向量加法法則圖示幾何意義三角形法則平面上任意給定兩個向量a，b，在該平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(AC,\s\up6(→))，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))稱為a與b的和(也稱eq\o(AC,\s\up6(→))為向量a與b的和向量)，記作a＋b，a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))平行四邊形法則平面上任意給定兩個不共線的向量a，b，在該平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，作出向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))四、向量加法的運算律及模之間的不等式(1)向量a，b的模與a＋b的模之間滿足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)向量加法的運算律①加法交換律對于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.②加法結合律對于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).五、向量的減法(1)向量的減法法則定義平面上任意給定兩個向量a，b，如果向量x滿足b＋x＝a，則稱x為向量a與b的差，記作x＝a－b向量減法的三角形法則在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(BA,\s\up6(→))，因此向量eq\o(BA,\s\up6(→))就是向量a和b的差(也稱eq\o(BA,\s\up6(→))為向量a與b的差向量)，即eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))結論||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(2)相反向量定義給定一個向量，我們把這個向量方向相反，大小相等的向量稱為它的相反向量，向量a的相反向量記作－a性質(1)零向量的起點與終點相同，于是－0＝0；(2)任何一個向量與它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0；(3)一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的相反向量六、數(shù)乘向量(1)數(shù)乘向量一般地，給定一個實數(shù)λ與任意一個向量a，規(guī)定它們的乘積是一個向量，記作λa，當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λa|＝|λ||a|，若a≠0，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反.當λ＝0或a＝0時，λa＝0.數(shù)乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.(2)數(shù)乘向量的運算律設λ，μ為實數(shù)，則①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.七、向量的線性運算(1)向量的線性運算向量的加法、減法和數(shù)乘向量以及它們的混合運算，通常叫作向量的線性運算.(2)向量共線一般地，如果存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且有公共點A，從而A，B，C三點一定共線.八、共線向量基本定理(1)共線向量基本定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa.(2)三點共線的性質已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，平面內任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數(shù)t，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，即存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1).九、平面向量基本定理(1)基底：平面內不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面內兩個向量a與b不共線，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得c＝xa＋yb.十、直線上向量的坐標及運算(1)直線上向量的坐標名稱定義數(shù)軸在直線l上指定一點O作為原點，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數(shù)軸a在軸l上的坐標如果a＝xe，則x稱為向量a在軸l上的坐標(2)直線上向量的坐標運算法則(或公式)文字語言符號語言直線上兩個向量相等直線上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標相等設a＝x1e，b＝x2e，則a＝b?x1＝x2直線上求兩個向量的和直線上兩個向量和的坐標等于兩個向量的坐標的和設a＝x1e，b＝x2e，則a＋b＝(x1＋x2)e直線上兩點間的距離設A(x1)，B(x2)是數(shù)軸上兩點，O為坐標原點AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2－x1|數(shù)軸上的中點坐標公式設A(x1)，B(x2)，M(x)是線段AB的中點x＝eq\f(x1＋x2,2)十一、平面向量的坐標及運算(1)平面向量的坐標①向量垂直：平面上兩個非零向量a與b，如果它們所在直線互相垂直，就稱向量a與b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.③向量的坐標：給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標，記作a＝(x，y).(2)向量的坐標運算向量的加、減法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即兩個向量和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差.實數(shù)與向量的積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即數(shù)乘向量的積的坐標等于數(shù)乘以向量相應坐標的積.向量的數(shù)乘、加、減混合運算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，則ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)向量的模若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2)(3)平面上兩點之間的距離公式與中點坐標公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)為平面直角坐標系中的兩點，則AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)，線段AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(4)向量平行的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1.十三、平面向量線性運算的應用(1)向量在平面幾何中的應用①證明線線平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(a≠0)?b＝λa?x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).②求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|＝eq\r(x2＋y2).③要證A，B，C三點共線，只要證明存在一實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，或若O為平面上任一點，則只需要證明存在實數(shù)λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)).(2)向量在物理中的應用①力向量力向量與自由向量不同，它包括大小、方向、作用點三個要素.在不考慮作用點的情況下，可利用向量運算法則進行計算.②速度向量一質點在運動中每一時刻都有一個速度向量，該速度向量可以用有向線段表示.【熱考題型】【考點1】平面向量及其線性運算一、單選題1．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·甘肅天水·高二天水市第一中學?？茧A段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，點分別為的中點，若以向量為基底表示向量，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高二專題練習）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，，，，則（

）A． B．C． D．4．（2023上·湖北黃石·高二陽新縣第一中學校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，設，，則等于（

）A． B．C． D．5．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學校聯(lián)考期中）在中，，，與交于點，且，則（

）A． B． C． D．16．（2023上·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？茧A段練習）如圖，在中，，E為線段AD上的動點，且，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．32 D．16二、多選題7．（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．有向線段與表示同一向量B．兩個有公共終點的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．單位向量都相等8．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校?？茧A段練習）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊，，中點，下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則是在的投影向量D．若點P是線段上的動點，且滿足，則的最大值為9．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知，若點滿足，則下列說法正確的是（

）A．點一定在內部 B．C． D．三、填空題10．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）設為實數(shù)，若向量，，且與共線，則.11．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則．12．（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為．四、解答題13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，中，AB邊的中點為P，重心為G．在外任取一點O，作向量，，，，．(1)試用，表示．(2)試用，，表示．15．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷三點是否共線.(1)已知兩個非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點共線.(2)已知任意兩個非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點之間的位置關系，并說明理由.【考點2】向量基本定理與向量的坐標一、單選題1．（2023下·廣東佛山·高一校考階段練習）若，，則（

）．A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）設為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤簦c的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2023上·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）在中，點是線段上的兩個動點，且，則的最小值為（

）．A． B． C．2 D．85．（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習）已知向量，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．26．（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考期中）如圖，與的面積之比為2，點P是區(qū)域內任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023上·高二課時練習）設一次函數(shù)（c為常數(shù)）的圖象為直線l，那么直線l的一個方向向量可以為（

）A． B．C． D．8．（2023下·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）在直角梯形中，，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（

）A．1 B． C．2 D．三、填空題9．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學校考期中）如圖，在平面四邊形中，，，延長交的延長線于點，若，則.10．（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是.11．（2023上·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，且，則.四、解答題12．（2022下·湖北荊州·高一沙市中學?？计谥校┰谥苯翘菪沃校?，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心的圓弧上運動，若，求的取值范圍．13．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學?？茧A段練習）如圖，點E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，，，與所成角是.(1)若，求實數(shù)x，y的值；(2)求線段EF的長度.14．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知是不共線的三點，且滿足，直線與交于點，若.(1)求的值；(2)過點任意作一條動直線交射線于兩點，，求的最小值.【考點3】平面向量線性運算的應用一、單選題1．（2023下·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？计谥校┮阎?，，，則此三角形為（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·江蘇·高一專題練習）若向量，與的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是（）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B．2C． D．4．（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）在等腰直角三角形中，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作，點在線段上，點在上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度）A． B． C． D．6．（2023下·廣東清遠·高一?？茧A段練習）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東A處出發(fā)，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h二、多選題7．（2023下·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┫铝忻}為真命題的是（

）A．是邊長為2的等邊三角形，為平