隨機(jī)變量及其分布課件

第二章隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征§2.1隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念擲一顆骰子,任選一個(gè)人,記錄某交叉路口在一批燈泡中任取一個(gè),發(fā)射炮彈,觀察其點(diǎn)數(shù).測(cè)量其身高.在任意一個(gè)小時(shí)內(nèi)通過的車輛數(shù).測(cè)試其使用壽命.記錄彈著點(diǎn)與目標(biāo)的距離.有些隨機(jī)試驗(yàn)，例如,Ω={正面,反面}于是事件

“硬幣出現(xiàn)反面”就表示為雖然其結(jié)果但通過適當(dāng)?shù)囊?guī)定，令ω=“反面”ω=“正面”就表示為沒有直接表現(xiàn)為數(shù)量,拋擲一枚硬幣一次,“硬幣出現(xiàn)正面”也可以用數(shù)量表示.拋擲一枚硬幣,反正,事件“反反反正”直到首次出現(xiàn)正面為止.正,反反正,反反反正,反反反反正,令X為則的取值范圍為就表示為樣本空間為拋擲的次數(shù),定義2.1某一隨機(jī)試驗(yàn)的如果對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)樣本空間,這樣就定義了一個(gè)定義域?yàn)棣傅姆Q之為隨機(jī)變量.有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),例如,令ω=“反面”ω=“正面”Ω={正面,反面}，為隨機(jī)變量.實(shí)值函數(shù)拋擲一枚硬幣,設(shè)Ω為例如為隨機(jī)變量.擲一顆骰子,令“擲出1點(diǎn)”“擲出2點(diǎn)”“擲出6點(diǎn)”例可以統(tǒng)一表示為有3個(gè)次品,從中任取2個(gè),其中的次品數(shù)為是隨機(jī)變量.的取值范圍是10個(gè)產(chǎn)品中二、離散型隨機(jī)變量的概率分布定義2.2離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)是如“取到次品的個(gè)數(shù)”“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”

“某電話交換臺(tái)只可能取有限個(gè)如果隨機(jī)變量或可數(shù)無窮多個(gè)值,離散型隨機(jī)變量.則稱是它的所有取值可以逐個(gè)一一列舉出來.任一小時(shí)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”定義2.3稱(2.1)式它的一切可能設(shè)X取值為且取各個(gè)值的概率為的概率分布,的分布.有時(shí)也寫成X的概率分布為簡稱記也可以用列表法表示：是離散型隨機(jī)變量,證(1)概率分布的性質(zhì)：1.非負(fù)性2.歸一性例已知求c.解隨機(jī)變量X的取值范圍為且求p.解其中例已知隨機(jī)變量X的取值范圍為所有正偶數(shù)，且若離散型的概率分布為則對(duì)于集合的任一子集事件

“在中取值”,即“”的概率為例相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè)表示求的概率分布.設(shè)表示“第

次投中籃框”，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，例相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè)表示求的概率分布.設(shè)表示“第

次投中籃框”，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，例相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè)表示求的概率分布.設(shè)表示“第

次投中籃框”，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，或?yàn)榕紨?shù)令X表示只有兩種對(duì)立結(jié)果：“A發(fā)生”對(duì)于貝努利試驗(yàn)，與“A不發(fā)生”一次貝努利試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)事件A發(fā)生的概率為則事件發(fā)生的概率為則即A不發(fā)生A發(fā)生稱X服從0—1分布.例從中隨機(jī)抽取一個(gè)抽到正品抽到次品用X表示即抽到的次品的個(gè)數(shù)，一批產(chǎn)品，抽取一次，次品率為例一般地,即具有離散均勻分布.編號(hào)為隨機(jī)取一個(gè)設(shè)對(duì)應(yīng)的號(hào)碼為則的概率分布為若的概率分布是則稱將26個(gè)英文字母字母,如擲一顆骰子五支簽中有一支“好簽”,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)具有離散均勻分布.五個(gè)人依次抽取,不放回,表示第

個(gè)人抽到“好簽”設(shè)服從離散均勻分布.三、分布函數(shù)定義2.4設(shè)

是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).任意一個(gè)隨機(jī)變量,記為定義2.4設(shè)

是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).任意一個(gè)隨機(jī)變量,如,電臺(tái)每到整點(diǎn)報(bào)時(shí),某人午覺醒來,X為他打開收音機(jī),他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間.[)[)記為解設(shè)服從0-1分布例求的分布函數(shù).例求的分布函數(shù).解已知隨機(jī)變量X的概率分布為證（1）隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是

的即時(shí),（2）即單調(diào)不減函數(shù).時(shí),隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是

的即時(shí),單調(diào)不減函數(shù).至多有可數(shù)多個(gè)間斷點(diǎn),且在其間斷點(diǎn)處,即對(duì)任何實(shí)數(shù)有是右連續(xù)的,設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知,則若隨機(jī)變量的分布函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則四、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為求的分布函數(shù).解123456

123456擲一顆骰子,

123456是一個(gè)階梯形函數(shù),它在X的可能取值點(diǎn)1,2,3,4,5,6處發(fā)生跳躍,跳躍的高度等于X取相應(yīng)值的概率.任一離散型隨機(jī)變量都具有這個(gè)特征.反之,若一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是階梯型函數(shù),則X一定是離散型隨機(jī)變量.的全部跳躍點(diǎn)而且就是X的全部取值點(diǎn).在跳躍點(diǎn)處跳躍的高度等于X在相應(yīng)取值點(diǎn)處的概率.的分布函數(shù),例已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解求X的分布.五、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義2.5對(duì)于隨機(jī)變量如果存在一個(gè)非負(fù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)有則稱是稱為的概率密度簡稱密度函數(shù).記為的概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì):可積函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量,函數(shù),此時(shí)，即為X的密度函數(shù)，記為例在區(qū)間等可能地投入點(diǎn)，落點(diǎn)的坐標(biāo)X是隨機(jī)變量，設(shè)則X落在區(qū)間的概率為稱隨機(jī)變量X服從區(qū)間上的均勻分布.例在區(qū)間等可能地投入點(diǎn)，落點(diǎn)的坐標(biāo)X令其它則X為連續(xù)型隨機(jī)變量,為X的密度函數(shù).對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)是任一實(shí)數(shù),由于或或或連續(xù)型隨機(jī)變量取值落入某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開或閉無關(guān).或例如,拋擲一枚硬幣一次,出正面記為1,出反面出正面的次數(shù),即用表示對(duì)離散型隨機(jī)變量,此結(jié)論不成立.記為0牛頓—萊布尼茲公式由是的原函數(shù)當(dāng)連續(xù)時(shí)由于連續(xù)型隨機(jī)變量故對(duì)任一實(shí)數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量在任一單