經(jīng)典奧數(shù)動點問題

一次函數(shù)動點問題1如圖，直線的解析表達式為，且與軸交于點，直線經(jīng)過點，直線，交于點．（1）求點的坐標；（2）求直線的解析表達式；（3）求的面積；（4）在直線上存在異于點的另一點，使得與的面積相等，請直接寫出點的坐標．2如圖,以等邊△OAB的邊OB所在直線為x軸,點O為坐標原點,使點A在第一象限建立平面直角坐標系，其中△OAB邊長為6個單位，點P從O點出發(fā)沿折線OAB向B點以3單位/秒的速度向B點運動,點Q從O點出發(fā)以2單位/秒的速度沿折線OBA向A點運動，兩點同時出發(fā)，運動時間為t（單位：秒），當(dāng)兩點相遇時運動停止.xyOABxxyOABxyOABxyOAB點A坐標為_____________，P、Q兩點相遇時交點的坐標為________________;當(dāng)t=2時，____________;當(dāng)t=3時，____________;設(shè)△OPQ的面積為S，試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)△OPQ的面積最大時，試求在y軸上能否找一點M，使得以M、P、Q為頂點的三角形是Rt△，若能找到請求出M點的坐標，若不能找到請簡單說明理由。3如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點O為坐標原點建立坐標系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動點它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為1cm/秒，設(shè)P、Q移動時間為t（0≤t≤4）（1）過點P做PM⊥OA于M，求證：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P點的坐標（用t表示）（2）求△OPQ面積S（cm2），與運動時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時，S有最大值？最大是多少？（3）當(dāng)t為何值時，△OPQ為直角三角形？（4）證明無論t為何值時，△OPQ都不可能為正三角形。若點P運動速度不變改變Q的運動速度，使△OPQ為正三角形，求Q點運動的速度和此時t的值。4己知，如圖在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線的解析式為。第33題圖（1）求線段AC的長和第33題圖（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒個單位長度的速度向點O移動，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒個單位長度的速度向點A移動，（P、Q兩點同時開始移動）設(shè)P、Q移動的時間為t秒。①設(shè)的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時，S有最小值。②是否存在這樣的時刻t，使得與相似，并說明理由？（3）在坐標平面內(nèi)存在這樣的點M，使得為等腰三角形且底角為30°，寫出所有符合要求的點M的坐標。（直接寫出結(jié)果，每漏寫或?qū)戝e一點坐標扣一分，直到扣完為止。）5如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動,設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．(1)求直線AB的解析式；(2)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(3)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為個平方單位？6如圖，在平面直角坐標系中．四邊形OABC是平行四邊形．直線經(jīng)過O、C兩點．點A的坐標為(8，o)，點B的坐標為(11．4)，動點P在線段OA上從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O一C—B相交于點M。當(dāng)P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒()．△MPQ的面積為S．（1）點C的坐標為___________，直線的解析式為___________．(每空l分，共2分)（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍。（3）試求題(2)中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值。（4）隨著P、Q兩點的運動，當(dāng)點M在線段CB上運動時，設(shè)PM的延長線與直線相交于點N。試探究：當(dāng)t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．78答案1答案：解：（1）由，令，得．．．-------2分（2）設(shè)直線的解析表達式為，由圖象知：，；，．直線的解析表達式為．----------------------5分（3）由解得．-------------------------------------------6分，．-------------------------------------------------------7分（4）．2解：①，過P作PM⊥PQ交y軸于M點，過M作MN⊥AC于N，則MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，有即，得PN=，MO=NC=故M點坐標為過Q作MQ⊥PQ交y軸于M點，通過△MOQ∽△QCP，求得M坐標為以PQ為直徑作⊙D，則⊙D半徑r為，再過P作PE⊥y軸于E點，過D作DF⊥y軸于F點，由梯形中位線求得DF=，顯然r＜DF，故⊙D與y同無交點，那么此時在y軸上無M點使得△MPQ為直角三角形.綜上所述，滿足要求的M點或34答案：（1）令得∴A點坐標為（0，1）令得∴C點坐標為（，0）∴在中，∵∴（2）P、Q兩點同時開始移動t秒時①∵，t∴t∵∴∴當(dāng) 時，最大為②ⅰ假設(shè)存在∽∴∴ⅱ∽∴∴（3），，，，，5答案：（1）；（2）；（3）.解：（1）(3,4)；（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t．分三種情況討論：①當(dāng)時，如圖l，M點的坐標是（）．過點C作CD⊥x軸于D，過點Q作QE⊥x軸于E，可得△AEO∽△ODC∴，∴，∴，∴Q點的坐標是（），∴PE=∴S=②當(dāng)時，如圖2，過點q作QF⊥x軸于F，∵，∴OF=∴Q點的坐標是（），∴PF=∴S=③當(dāng)點Q與點M相遇時，，解得。③當(dāng)時，如圖3，MQ=，MP=4.S=①②③中三個自變量t的取值稹圍．……(8分)評分說明：①、②中每求對l個解析式得2分，③中求對解析式得l分．①②③中三個自變量t的取值范圍全對才可得1分．(3)試求題(2)中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值。解：①當(dāng)時，∵，拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，S隨t的增大而增大?！喈?dāng)時，S有最大值，最大值為．②當(dāng)時，?！?，拋物線開口向下．∴當(dāng)時，S有最大值，最大值為．③當(dāng)時，，∵．∴S隨t的增大而減小．又∵當(dāng)時，S=14．當(dāng)時，S=0．∴．綜上所述，當(dāng)時，S有最大值，最大值為。評分說明：①②③各1分，結(jié)論1分；若②中S與t的值僅有一個計算錯誤，導(dǎo)致最終結(jié)論中相應(yīng)的S或t有誤，則②與結(jié)論不連續(xù)扣分，只扣1分；③中考生只要答出S隨t的增大而減小即可得分．（4）隨著P、Q兩點的運動，當(dāng)點M在線段CB上運動時，設(shè)PM的延長線與直線相交于點N。試探究：當(dāng)t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．解：當(dāng)時，△QMN為等腰三角形．78初二動點問題如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動．P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts．

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？

（3）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？分析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ．

（2）四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE．

（3）四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC．

所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可．解答：解：（1）∵四邊形PQCD平行為四邊形

∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：t=6

即當(dāng)t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形．

（2）過D作DE⊥BC于E

則四邊形ABED為矩形

∴BE=AD=24cm

∴EC=BC-BE=2cm

∵四邊形PQCD為等腰梯形

∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4

解得：t=7（s）

即當(dāng)t=7（s）時，四邊形PQCD為等腰梯形．

（3）由題意知：QC-PD=EC時，

四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2

解得：t=6.5（s）

即當(dāng)t=6.5（s）時，四邊形PQCD為直角梯形．點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中．如圖，△ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E．

（1）試說明EO=FO；

（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；

（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．

（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）當(dāng)點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形．

如圖AO=CO，EO=FO，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ACB，

同理，∠ACF=∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

∵四邊形AECF是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°，

∴△ABC是直角三角形．點評：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對（3）進行判斷．解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運用．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D出發(fā)，沿線段DA向點A作勻速運動．過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N．P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度．當(dāng)Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點Q運動的時間為t秒．

（1）求NC，MC的長（用t的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；

（3）是否存在某一時刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（4）探究：t為何值時，△PMC為等腰三角形．分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5，即可表示CM；

四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；

（3）可先根據(jù)QN平分△ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來求出t的值．然后根據(jù)得出的t的值，求出△MNC的面積，即可判斷出△MNC的面積是否為△ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值．

（4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進行討論：

①當(dāng)MP=MC時，那么PC=2NC，據(jù)此可求出t的值．

②當(dāng)CM=CP時，可根據(jù)CM和CP的表達式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值．

③當(dāng)MP=PC時，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值．

綜上所述可得出符合條件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t

∴CN=4-（3-t）=1+t

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42

∴AC=5

在Rt△MNC中，cos∠NCM==，CM=．

（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形

∴PC=QD，即4-t=t

解得t=2．

（3）如果射線QN將△ABC的周長平分，則有：

MN+NC=AM+BN+AB

即：（1+t）+1+t=（3+4+5）

解得：t=（5分）

而MN=NC=（1+t）

∴S△MNC=（1+t）2=（1+t）2

當(dāng)t=時，S△MNC=（1+t）2=≠×4×3

∴不存在某一時刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分．

（4）①當(dāng)MP=MC時（如圖1）

則有：NP=NC

即PC=2NC∴4-t=2（1+t）

解得：t=

②當(dāng)CM=CP時（如圖2）

則有：

（1+t）=4-t

解得：t=

③當(dāng)PM=PC時（如圖3）

則有：

在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2

而MN=NC=（1+t）

PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3

∴[（1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2

解得：t1=，t2=-1（舍去）

∴當(dāng)t=，t=，t=時，△PMC為等腰三角形點評：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)．考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；

（2）當(dāng)x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；

（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．分析：以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值．以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側(cè)．當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，AP=MC，BQ=ND；當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，AN=MC，BQ=PD．所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式．如果以P，Q，M，N為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形．解答：解：（1）當(dāng)點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形．

①當(dāng)點P與點N重合時，由x2+2x=20，得x1=-1，x2=--1（舍去）．

因為BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此時點Q與點M不重合．

所以x=-1符合題意．

②當(dāng)點Q與點M重合時，由x+3x=20，得x=5．

此時DN=x2=25＞20，不符合題意．

故點Q與點M不能重合．

所以所求x的值為-1．

（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側(cè)，

①當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，

由20-（x+3x）=20-（2x+x2），

解得x1=0（舍去），x2=2．

當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形．

②當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，

由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，

解得x1=-10（舍去），x2=4．

當(dāng)x=4時四邊形NQMP是平行四邊形．

所以當(dāng)x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．

由于2x＞x，

所以點E一定在點P的左側(cè)．

若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，

則點F一定在點N的右側(cè)，且PE=NF，

即2x-x=x2-3x．

解得x1=0（舍去），x2=4．

由于當(dāng)x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

所以以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形．點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點M從點A開始，沿邊AD向點D運動，速度為1cm/s；點N從點C開始，沿邊CB向點B運動，速度為2cm/s、點M、N分別從點A、C出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，求得t值；

（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底減去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，當(dāng)MD=NC，即15-t=2t，t=5時，四邊形MNCD是平行四邊形；

（2）作DE⊥BC，垂足為E，則CE=21-15=6，當(dāng)CN-MD=12時，即2t-（15-t）=12，t=9時，四邊形MNCD是等腰梯形點評：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動點問題是中考的重點內(nèi)容．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）當(dāng)t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？分析：（1）若過點P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s=PM×QB=96-6t；

（2）本題應(yīng)分三種情況進行討論，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；

③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出．解答：解：（1）過點P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16-t，

∴s=?QB?PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．

（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程無解，∴BP≠PQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合題意，舍去）．

綜上所述，當(dāng)或時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．點評：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理．在解題（2）時，應(yīng)注意分情況進行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．直線y=-34x+6與坐標軸分別交于A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發(fā)，同時到達A點，運動停止．點Q