福建船政職院航海數(shù)學(xué)習(xí)題庫及部分答案

航海數(shù)學(xué)習(xí)題庫

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

一、單項(xiàng)選擇題

1、函數(shù)y=-Jx—l的反函數(shù)為().答案：A.

A、y=l+x2(x<0)B、y=\+x2(x>l)

C、y=l+f(-oo<x<+oo)D、不存在

1一2/

2、數(shù)列極限lim「------=().答案：B.

〃T°02n+〃+1

A、-2—1C^—1.

2

3、當(dāng)x-0時，下列變量()與Jl+x—Jl-x是等價無窮小.答案：A.

A、xB、2xC、x21)、2x2.

4、當(dāng)Xf0時,與X不等價的無窮小量是().答案：D.

A.sinxB.tanxC.J1+犬-J1-xD.ln2(x+l).

則同也=(

5、設(shè)0<a，).答案：D.

2x-x

nsina

A.0B.1C.不存在D.----.

a

6、函數(shù)“X)在x=x0處有定義，是lim/(x)存在的().答案：C.

X—>與

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.非充分非必要條件D.充分且必要條件.

7、數(shù)列極限-".答案：B.

"廿n

A、-1B>0C>1D、oo.

8、下列變量在給定變化過程中是無窮小量的有().答案：D.

A、2-v+l(x.())B、色”(%.0)

C、/*=(xf+8)D、——f3-sin—(x.0).

&_2尤+1')x+ll幻')

9、當(dāng)Xf1時，無窮小量（1一力是2（1-4）的（).答案：C.

A.高階無窮小B.低階無窮小C.等價無窮小D.同階但不等價無窮小.

10.下列函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)的有（).答案：D.

Ic

cos-xwOB./(x)=<N

A./(x)=<X

Ix=00x=0

x+sinx八

----；-xw0x+1x<0

C./(x)=<x-sinxD./(%)=

1x=0x—\x>0

IE下列各式中，正確的是（）答案：D.

_i_

A.lim(l+-)x=eB.lim(l-x)x=eC.lim(l--)x=-eD.lim(l--)x=e-'

x->0+Xx->0XT8XxeX

12、函數(shù)/（x）在x=x0處有定義，是lim〃x）存在的（）.答案：C.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.非充分非必要條件D.充分且必要條件.

13、下列極限中正確是（）.答案：C.

「vsinx1八vsinx1sinx.

A.lim-sin-=lB.hm----=IC.lim----=lD.lim--------=1.

A->Xxxi汗x?s°x.r->ooX

14、下列極限中為無窮小量的是（）.答案：D.

sinxsinxsinx

A.limxsinxB.limC.limD.lim

XT8冗XXTOxX->8x

2

函數(shù)y=

15、即2、-3)的定義域?yàn)椋?.答案：C.

x—3x+2

33

A.x>3B.%。1且工工2C.尤,一且xw2D.x>一且xH1.

22

_]

16、求極限：linif--------二().答案：B.

fx-4x+3

A.~2B.-lC.1D.以上都不對.

17、下列函數(shù)中，（）為偶函數(shù).答案：A.

xxD./(x)=?

、a+a~B.f(x)二上^

A./(%)=---C.〃幻=產(chǎn)

l-xX

18、已知y=Jlg?x+2,則下列復(fù)合過程正確的是().答案：B.

A.y=Vw,u=1g2x+2B.y=Vw,u=v2+2,v=lgx

C.y=7w,u=lgx2+2D.y=Vw+2,u=1g2x.

19、當(dāng)xf0時，變量()是無窮小量.答案:I).

A.—B.sin—C.cosxD.sinx.

XX

二、填空題

1、/(x)=j2x—l的定義域是

2、/(X)=正的定義域是

1

3、/(X)=r----的定義域是

VI-x

4、/(%)=|的定義域是.

5、設(shè)/(無)=廠—：‘則/(—痣)=______,/(i)=_________.

x+1,x>0,x

6、函數(shù)y=sin2(1+2x)的復(fù)合過程是.

7、若/(x)=l(T,g(x)=lgx,則g(7(3))=.

8、f(x)=cos(x2+1)的復(fù)合過程是.

9、函數(shù)y=Insin2》的復(fù)合過程是.

10、/(x)=(l+x)2的復(fù)合過程是.

11、函數(shù)/(%)=yjsinx的復(fù)合過程是.

3X2+2

12、lim

x->oo4x2-1

x+l,X<1

13、設(shè)/(x)=《，則lim/(x)=

2x,x>\e

..知.sin3x

14、設(shè)hm------=___________________.

10X

x2+2x-3x<1

15、設(shè)/(x)=，X1cx<2,則lim/(x)=_______；lim/(%)=_

X->1x->4

2x-2x>2

\-xx<0

16、設(shè)/(x)=<,則lim/(x)=

14-XX>0XTO

1.\/x-\

17、lim------

XT1l-X

..1+x

18、hm----=

isi-x

e'x<0

19、設(shè)/(x)=<則lim/(x)=

1+xx>0XTO

X2+2X-2x<\

20、設(shè)/(x)=X1<x<2,則lim/(x)=_____；lim/(x)=_

3x+lx>2

i

￡

Q(l-X)rx<0

21、函數(shù)/（x）：=<2x=0，在X=0處連續(xù)，則4=____,b-_____

sinbx

x>0

、x

ax2+bx+5_

22、已知。、h為常數(shù)，lim-5,ci=b=

XT83x+2

，（x）=kl

23、的連續(xù)區(qū)間是_____________

￡/、X+l

24、/W=X-1,x—>____時為無窮大,x—>__時__為無窮小.

1

25、/U)-r=的連續(xù)區(qū)間為________—

7。.2-1

26、'=14-的連續(xù)區(qū)間是__________—

1_

27、f(r)-..一的迎綠反向?qū)?/p>

八）aXK

3''問a=_

28、設(shè)f(x)=_____時，/（X）在x=O處連續(xù).

x-a,xNO,

fax<i

29、設(shè)/(%)=[2x-lx>l向"_______時,/（x）在x=l處連續(xù).

[1，X<1

30、設(shè)/(%)=1%+a,x>l問"=-------______時，/（X）在X=1處連續(xù).

5%-3x<-2

31、設(shè)/（X）=<,問。=_?時，/（X）在x=-2點(diǎn)處連續(xù).

cix>-2—

..Yl-\

32、lim------sin〃二.答案：0.

"T8〃十幾

33、設(shè)/(")=<（1一以），,工WO在（_8,+8）內(nèi)連續(xù)，則。=答案：T.

e,x=O

y]X—3

——r的連續(xù)區(qū)間是______

34、函數(shù)y=丁—答案：

（X+2)(1)

35、函數(shù)y=--------+ln(x+4)的定義域?yàn)楱D_答案：一IWxWl.

V1-%2

-11、

36、hm(Xsm_+—smx)=_________________答案：1.

「0XX

x+1

37、已知lim(一-------\-ax+h)=0,則。=b-.答案：ci=-l,b=1.

XT8Y+1

1

38>limx20sin—=________________.答案：0.

XTOX

39、已知lim'-----公+"=5,則〃=_______,b-_______.答案：a=-3,b=-4.

xfix-1

x_]<X<]

40、函數(shù)y=4一--的間斷點(diǎn)是__________.答案：x=—1.

1x<-l^cx>1

Y+3

41>lim--——(l+cosx)=.答案：0.

?"3/-八7

1.x+3

42、lim—；——(2+sinx)=答案：0.

a—003x~-1

三、計算題

,..sinxT；

1、hm----；2、lim(l--)x；3^lim

i。2x18XXTOOI

2/-4X+8

A2x-l「x-sinx

4、lrim---------;5、lim--------；6、lim-

XT。+3x+1x-?coX3+2X2-11

\_

:.12

7、umxsin—；8、lim(l——廣；9、lim(l-x)x>

18xX—>00XXTO

[.l+2x一].sin5xX

1A0、lim——--；11、lim-----；12>lim1+2、

XTOO廠

XTOxX->8IX)

..4x+8一sin3x-sinx

13、lim---------；14、lim------------；15、lim(JX+1-yfx);

x~+2x-lX

..+5x+61-COSX

16、lim---------；17、lim(l--)2x；18、lim

182

x"-3x-4XXTO3x

J

/1

19、lim嚀1；20、lim(l-3x)v；21、lir_4

Ix"-iXTOXT^x-2x2-4

!

A「x-sinx24Hm/1

22、lim(l-2x)v；23、hm-----——；乙d、mu1+4

x->010X*>2x+2x2-4

X“rV2x+7-3

25>lim—==——；26、lim—；=---

-J3x+1-2

XT。S+x-1

x2

Y1

27、討論函數(shù)/(x)=?%—1在x=l處的連續(xù)性.

3x=l

X+1r/f)

28,判別函數(shù)/(x)=1''在x=0處的連續(xù)性.

2—x,x>0

29,求f(x)=1I的連續(xù)區(qū)間.

Jx2T

四、范例

x+3]

1、limx-\

X->00J

4季4

4

解：原式=lim[(l+——)4「?(1+—)=e.

IOCX-lX-l

ctanx—sinx

2、lim----------.

,9。元3

sinx(------1).

5..cosr「(1-cosx)sinx

解：原式=hm----笠3——=hm-——--------

x->0xioxcosx

2sin2—2sin2

=lim---^-2-=lim------.

一。X2104(2)22

3、limx\\Jx24-1-x].

KT+8\/

2X11

解：limx(5/x+1-x)=limz---=liir

"f00—"+1+x3口12

V+7+1

+1

4rf2x+3Y

4、lim-----.

XT812X+1)

,q)2x+l2(x+l)

解：lim(^^)A+l=lim(l+22川=e.

XT82x+lXf°02x+l

l「tanx-sinx

5>lim---；------.

5

XTOX

〃力「tanx-sinxsinx1—cosx「sinx1「1-cosx

解：lim----------=hm-------------=11m----lim-----lim-------

cosx

「1-cosx「sinx1

=lim------=lim-----=—.

XT。XXT。2x2

6、lim(sinx)lan\

.一2

liintanxln(sinx)

解：lim(sinx),anv=lime,anvln(sinx)=e可

x->—兀x->—兀

22

1

cosx

T7r.z.x..In(sinx);

又limtanxln(sinx)=lim-------=limsn■x———=lim(-sinxcosx)=0.

x—>—x—>—COtXXT%—CSC-XXT匹

2222

所以lim(sinx產(chǎn)=e°=L

XT三2

「Jl+x?—1

7>lim---------.

10x

旃百tr(J1+--1)(J1+Y+1)

解：原式=hm-------/--------=0.

1°x(Vl+x2+1)

T.1-cos2x

8、lim---------

1。x-sinx

解：原式=lim-------=—

ioxsinx2

I

9^lim(l+，％)》.

.r->0

1L/

解：lim(l+exx)x=lim(l+ex^x=e.

x->0x->0

「x-arcsinx

10、lim----------

sinx

1--7=^-(1-X2P-(-2X)I

勒由fx-arcsinxyJl-x21

解：原式=hrm-----；=lim——^―：=rlim-----------------=—一

iox3I。3x36x6

1

11、lim(cosx+xsinx)x2.

i..ln(cosx+xsinx)

—Inn--------------------

解：lim(cosx+xsinx)「=e'^

x->0

「ln(cosx+xsinx)「cosx+xsinx-lcosx-lxsinx、1

又lim----------------=lim---------；-------=lim(-z---；——+——z—)=—.

5X1。XXf。xx2

1]_

所以lim(cosx+xsinx)A?=e2.

XTO

12、limx+1-X

X->+oC

11

解:limx(Jx?+1-x)lim,■---=hm-，——=—

X—>00zjf+l+xXXX212

+1

\x2x~

2x+3

13、lim

XT82x+l

<^?o22*+l2(x+l)

解：lim(W)“M=lim(l+-----)亍口=e.

XT82X+1I*2X+1

「x-arcsinx

14、lim----------

siirx

1

x-arcsinx一匚2工~T._ii

解：Hm■=lim-7-"=lim----j.=lim-/-----/--------=

5sinx33f…3/Jl—J3V1-X2(V1-X2+1)6

15>lim(cosx+xsinx).

1ln(cosx+xsinx)cosx]

解：lim(cosx+xsinx)'2=lime-v：=lim=2

.v->0xf0x->0e

八].ln(l+x2)

16、hm-----........—.

i。secx-cosx

向「ln(l+x2)..cosxln(l+x2)rln(l+x2)..ln(l+x2)

解：lim------------=hm---------———-=vlimcosxlim———產(chǎn)=hm———壯

secx-cosxxf。1-cosx71-cosx1-cosx

2x

=lim------------------------=lim---------------------=lim—V—=1.

XTO(-1)-2COSx(-sinx)(1+x-)cosx?sinxx->°sinx

/2X+1、3X

17、Rlim(-―-yx.

is2x-l

nr11

/2%+l3xlim3xin(丁)加3M猾-1)lim翳

rx2x12x

解：lim(-------r=e^=e*?=e-^'=

x-82x-\

五、解答題

1、求函數(shù)y=21—9f+I2x—3的單調(diào)增加、單調(diào)減少區(qū)間（要求寫出解題過程與答案）.

解：y'=6x?-18x+12=6（x—l）（x-2）,當(dāng)x<1時，/>0,y在（-oo,l）上單調(diào)增加,

當(dāng)l<x<2時，y'<0在［1,2］上單調(diào)減少，當(dāng)x>2時，y'>0,.?.y在（2,+<x>）上

單調(diào)增加.

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

一、單項(xiàng)選擇題

x%>1

1、設(shè)/（尤）=〈，則“X）在X=1處有（）.答案：A.

1X<1

A.左、右導(dǎo)數(shù)都存在B.左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在

C.左、右導(dǎo)數(shù)都不存在D.右導(dǎo)數(shù)存在、左導(dǎo)數(shù)不存在.

2、設(shè)/（x）的一個原函數(shù)為2*,則/'（X）等于（）.答案：D.

B.2,C.2vln2D.2v(ln2)2.

In2

3、設(shè)/,(lnx)=l+x,則f(x)等于().答案：A.

x+c

A.x+ex+cB,e'+cc.0Inx+c

4、函數(shù)/（x）可導(dǎo)是可微的（）條件.答案：D.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.非充分非必要條件D.充分且必要條件.

5、函數(shù)/（X）連續(xù)是可微的（）條件.答案:D.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.非充分非必要條件D.充分且必要條件.

函數(shù)/(%)=k-1

6、在x=1處().答案:A.

A.連續(xù)B.不連續(xù)C.可導(dǎo)D.可微.

[-Xx>0

7、函數(shù)/(%)=(%…在%=0處().答案：A.

A.連續(xù)B.不連續(xù)C.可導(dǎo)D.可微.

設(shè)/(0)=0,且lim/魚存在，則lim/曳=().

8、答案:B.

XTO%x-?0x

A./(O)B.尸(0)C.f\x)D.0.

9、設(shè)y=xln%,則⑼(x)=().答案：C.

1「8!八8!

A.--Bn.—C.—n----

XXXX9

io、設(shè)/，（力=尸（耳,則"階導(dǎo)數(shù)/（"）（X）等于（）.答案:A.

A.fn+2(x)B.尸(x)C.〃!尸(x)D.nlf'5).

11、設(shè)r（x）=r（x）,則"階導(dǎo)數(shù)/（"）（x）=（）.答案:B.

A.H[f(x)]n+,B.n![f(x)]n+,C.(〃+〃!)"(?嚴(yán)D.(n+l)![/(x)]2.

12、函數(shù)/（x）在［a,句上連續(xù)，則/（x）在（a,h）內(nèi)一定（）.答案：B.

A、單調(diào)B、有界C、可導(dǎo)D、可微

二、填空題

1、已知/'(3)=2,則lim/(3+?-/⑶=____________

答案：1.

/TO2h

2、/,(%)存在，則煦

小。+"/」叫=.答案：2r(不).

3、設(shè)/(x)為可導(dǎo)函數(shù)，y=f(x2),貝i]6=.答案：Ixf'^dx.

\x=\+t~

4、參數(shù)方程在，=2處的切線方程為.答案：3x—y-7=0.

5、設(shè)隱函數(shù)y=l-xe1則其導(dǎo)數(shù)蟲=___________________.答案：一).

dx1+xey

6、已知則/'(1)=________________.答案：4.

—X-1J

7、設(shè)“X)為可導(dǎo)函數(shù)，且丁=/("'),則辦=.答案：一""'(6-*)公.

8、設(shè)/(%)的一個原函數(shù)為2、,則廣(力等于是.答案：2'2.

9、函數(shù)y=[sir?，，其中/可微，則4y=.答案：/'(sir?龍).sin2反拄.

10、函數(shù)y=/(lnx),其中/可微，則dy=.答案：-f'(\nx)dx.

X

三、解答題

y<1

1、已知函數(shù)={'一，為使函數(shù)/(x)在x=l處連續(xù)且可導(dǎo)，a,。應(yīng)取

ax+b,x>1

什么值？

解：/(x)在％=1處連續(xù)，lim/(x)=lim/(x)=/(l).

X->1+Xfl

limf(x)-limax+h=a+b,lim/(x)=limx2=1,/(1)=1,/.a+b=l.

xf+A—>I'x->rx->r

./(x)在x=l處可導(dǎo)，

「ax-^-h—Ici(x-\\-\-b+a—\

=lim--------=hm---------------=a,

?"(1)=呼省平入5X-\XT1+x-\

尸⑴=lim〃x)―/⑴=由正11=2,:.a=2b=-\.

X-1XT「X-1

2、y=In—+In—,求y'.

yxx)

,i1]i，--1-JC,--1-Y

解：y=[ln(-+In-)]==/]2=

%x-+ln-x-x2]nx

XX

Ain."x,d2y

3、InJx+y-=arctan—，求x——.

7ydx2

y—x--

,x+y.包一盧dy__y-x

解：/?/*=---'；—，dxx+y

,2

4、證明不等式：卜山0-$山44卜一耳.

證明：當(dāng)。=。時，不等式顯然成立.

當(dāng)時，不妨設(shè)Z?<a。令/(x)=sinx,則/(x)在吃a］上連續(xù)，在(Z?,a)內(nèi)可導(dǎo).

由拉格朗日定理知，存在使得sina—sinb=_f(4)(a-0)=cosJ3—。).

所以|sin?-sin/?|<pz-Z?|.綜上可知不等式成立.

屋2<i

5、設(shè)函數(shù)/(x)={x一在(-oo,+o。)上處處連續(xù)、可導(dǎo)，求4b的值.

ax+bx>1

解：lim/(x)=lim爐=1,limf(x)—lim(ax+b)=a+b,：.a+b=\,

x->rx->ixf+x->r

/(x)-/(l)[.x2-lf(x)-/(I)ax+b-\

hrm―玄」=lim-------=2,hrm-"=lrim------------,

x一「x—1x-\x—1x一廠x—1

「CIX+h-\cue個,i

hm-----------=2所以a=2,b=-l.

x5-X-l

6、求函數(shù)y=ln(x+Jl+%2)的微分.

解：yf-------i==(l+Jl+x』)=7]一。,dy=.^dx.

x+A/1+X2A/1+X2+x2

7、求由方程移-/+/=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)電|“=o?

y

解：y+xy'-e'+ey'=0,:.y=「+；?JX=O0寸，^=0,v=0=y|.r=0=l.

8、設(shè)丁=￡加（%＞（））,求y.

111

解：lny=sinxlnx,—V=cosxlnx+sinx—,yT=xsmx(cosxlnx+sinx—).

yxx

9、已知函數(shù)y=y（x）由方程*+lny=0確定,

rf1???X=0B寸，y=l,.?.今ko=y，Lo=_l.

解：y+xy+—y=0fy=——二

yx+i

y

10>求證：arcsinx+arccosx=~(一

證明：令/(x)=arcsinx+arccosx,貝曠(x)在[一1,1]上可導(dǎo).

/，(x)='^y=r-^=T=0,?<'f'(x)=c-/(°)=y>=

11>設(shè)y=1口[1。2(1/%)],求y'.

解：y=-i-Ji；-[ln2(ln3x)r=--2ln(In3%).[ln(ln3x)]'

In(Inx)hr(Inx)

21/i3、，21216

=----r-------(Inx)=------------31n-x-=----------——.

ln(lnx)Inxln(lnx)Inxxxlnxln(lnx)

12、^y2+lny2=x2求

1dx2

解：對方程兩邊同時求導(dǎo)得：2yy'+2，y'=2x,即Cy+-）y'=x.

yy

再對上式兩邊同時求導(dǎo)得：（/--y'+（y+-）y〃=l,所以,

yy

y

）2

"”號寧鼎卜y2+1

(y+i)3

13、證明不等式|arctana-arctanUw|a-q.

證明：當(dāng)a=Z?時，不等式顯然成立.

當(dāng)時，不妨設(shè)/?<a.令，(x)=arctanx,則/(x)在的,上連續(xù)，在(b,a)內(nèi)可導(dǎo).

—二("加,

由拉格朗日定理知，存在ge(O,a),使arctana-arctan。=f'^)(a-b)=

1+尸

所以，[arctana-arctan@<|a-。卜練上可知不等式成立.

[32%<1

14、設(shè)函數(shù)/(x)={i+x一,在(-oo,+oo)上處處連續(xù)、可導(dǎo)，求a,b的值.

ax+hx>\

解：已知函數(shù)/(幻在(Y0,Z。)上處處連續(xù)、可導(dǎo)，從而在％=1處連續(xù)且可導(dǎo).則

/(1-0)=/(I+0)=/(I)=1,且￡⑴=力⑴.

所以，/(1+0)=limf(x)—\im(ax+b)=〃+/?=1.

—___J

又￡⑴=lim"幻―/")=lim正一=lim+=-1,

XfrX-\x-ll+x

，，/1、rfM-/(I)ax+b-\..ax-a

/⑴=lim~=lim-------=lim------=a.

X-lXTl+X-lXTl-X-l

所以a=—I,b=2.

,sinx,x<0

15、討論函數(shù)〃x)=<z一,一在尤=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

J1+x—J1—x,0<x1

解：lim〃x)=+lim-------=0,lim〃x)=limsinx=0.

77

D+\4T\)x->o+l+x+l+xD-\XT(T

limf(x)=lim/(x),1./(x)在x=0處連續(xù).

rt((\\i-/(x)-/(。)i-Jl+x—Jl—x—。1.2x

f(0)=lim——----=lim----------------=lim,,,——,、=1,

XTO+X-0XTO+XLX(Jl+X+Vl-X)

J(x)二八0)二sinxcosx

/_(0)=hm———v7=lim----=hm-----=1.

XT(Tx-0XT(Tx1

丁./(x)在x=0處可導(dǎo).

2

X3-Xrj.f

16^設(shè)y=-，求y?

1—%V(3+X)2----"

解：Iny=21n九一ln(l-x)+；ln(3-x)-ln(3+x),

/

y=yf21nx-ln(l-x)+^ln(3-x)-ln(3+x)2111)

=y—+

x\—x2(3—x)3+x,

17、設(shè)y=.7一式~在，求y'.

R(X+3)3(X+2)5

解：Iny=^(ln|x+l|-31n|x+3|-51n|x+2|),

y'=-----^7^---^(ln|x+l|-31n|x+3|-51n|x+2D，

1(x+3)(x+2)2

_J_/x+1—1_____3_____5_