高數(shù)同濟(jì)7版教案第一章 函數(shù)與極限

廣西民族師范學(xué)院

數(shù)計(jì)系《高等數(shù)學(xué)》課程教案

課程代碼：______06程41210______________

總學(xué)時(shí)/周學(xué)時(shí)：51/3

開(kāi)課時(shí)間：2015年9月16日第3周至第18周

授課年級(jí)、專(zhuān)業(yè)、班級(jí)：制藥本152班

使用教材：高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第7版

教研室：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)教研室

授課教師：______________________________

一、課程教學(xué)計(jì)劃表

章次內(nèi)容講授實(shí)踐

--函數(shù)與極限13

一導(dǎo)數(shù)與微分8

三微分中值定理與導(dǎo)數(shù)6

應(yīng)用

四不定積分8

五定積分6

六定積分的應(yīng)用6

七復(fù)習(xí)4

八

九

總學(xué)時(shí)51

二、教案正文

第一章函數(shù)與極限

（一）教學(xué)目的：

1.理解映射與函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的

函數(shù)關(guān)系式。

2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右

極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求

極限的方法。

8.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極

限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)，實(shí)際問(wèn)題中

的函數(shù)關(guān)系，極限概念與極限運(yùn)算，無(wú)窮小，兩個(gè)重要極限公式，函數(shù)連續(xù)的概

念與初等函數(shù)的連續(xù)性。

2.難點(diǎn)函數(shù)符號(hào)的運(yùn)用，復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，極限定義的理解，兩個(gè)

重要極限的靈活運(yùn)用。

（三）教學(xué)方法、手段：

教師講授，提問(wèn)式教學(xué)，多媒體教學(xué)

第一節(jié)映射與函數(shù)

一、映射

1.映射概念

定義4.設(shè)是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則/,使得對(duì)X中每個(gè)元素x,按

法則了,在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)/為從1到Y(jié)的映射，記作

f:X-^Y.

其中y稱(chēng)為元素x（在映射/■下）的像，并記作/（x）,即y=/（x）,元素x稱(chēng)為

元素y（在映射，下）的一個(gè)原像；集合片稱(chēng)為映射，的定義域，記作即

Df=X。片中所有元素的像所組成的集合稱(chēng)為映射/的值域，

記為％,或f（?,即勺=/U）="（x）

注意：

1）映射的三要素:定義域，對(duì)應(yīng)規(guī)則，值域.

2）對(duì)每個(gè)尾匕元素x的像y是唯一的；但對(duì)每個(gè)昨R元素y的原像不一定唯一.

例1設(shè)f:RfR,對(duì)每個(gè)xeR,F（X）=A2.F是一個(gè)映射，f的定義域Df=R,

值域勺={＞貶0}.

例2設(shè)是{(得力卜2+必=1},丘{(x,0)|\x\<\},f:WK對(duì)每個(gè)(x,y)eX

有唯一確定的(X,0)e卜與之對(duì)應(yīng).f是一個(gè)映射，f的定義域Df=X,值域R/=K

在幾何上,這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸

的區(qū)間[-1,1]上.

2、滿(mǎn)射、單射和雙射

設(shè)『是從集合X到集合Y的映射.

(1)若R/=K即V中任一元素y都是片中某元素的像，則稱(chēng)f為乃到V上

的映射或滿(mǎn)射；

(2)若對(duì)才中任意兩個(gè)不同元素只先蚣，它們的像AxDwAM),則稱(chēng)f為1

到V的單射；

(3)若映射f既是單射，又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)，為一一映射(或雙射).

從實(shí)數(shù)集(或其子集)X到實(shí)數(shù)集Y的映射通常稱(chēng)為定義在X上的函數(shù).

3.逆映射與復(fù)合映射

逆映射定義:設(shè)f是才到V的單射，則由定義，對(duì)每個(gè)昨勺，有唯一的xe%

適合『(")=%于是，我們可定義一個(gè)從得到才的新映射g,即

g：Rff%

對(duì)每個(gè)昨勺，規(guī)定g(y)=x,這x滿(mǎn)足f(x)=y.這個(gè)映射g稱(chēng)為/'的逆映射，

記作￡1,其定義域?yàn)樘?hào)，值域?yàn)閄.

按定義，只有單射才存在逆映射。

例如，映射y=f,xe(—8,0],其逆映射為y=一6,xe[O,+oo)

復(fù)合映射定義：設(shè)有兩個(gè)映射g：f:及一Z其中則由映

射g和F可以定出一個(gè)從1到Z的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)xwl映射成Z[g(x)]eZ

顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從才到Z的映射，這個(gè)映射稱(chēng)為映射g和/'構(gòu)成

的復(fù)合映射，記作fog,

即fog:X-^Z,

(fog)(x)=f[g(x)],xeX.

說(shuō)明：(1)映射g和『構(gòu)成復(fù)合映射的條件是：g的值域A必須包含在，的定

義域內(nèi)，即生分.

(2)映射的復(fù)合是有順序的，f。g有意義并不表示g。f也有意義.即

使它們都有意義,F。g與g。F也未必相同.

例3設(shè)有映射g:1],對(duì)每個(gè)xeR,g(x)=sinx,映射

對(duì)每個(gè)=方.則映射g和/'構(gòu)成復(fù)映射f。

g；R->[0,1],對(duì)每個(gè)xeR,有

(/。g)(x)=/[g(x)]=/(sinx)=Vl-sin2x=|cosx\.

二、函數(shù)

1.函數(shù)的定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，。是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于給定的

每個(gè)數(shù)xw。，變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的

函數(shù)，記作y=/(x),數(shù)集。叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫

做因變量.y的取值范圍叫函數(shù)的值域.

2.定義域的求法原則：

(1)分母不為零

(2)G，x>0

(3)Inx,x>0

(4)arcsinx,arccosx,-1<X<1

(5)同時(shí)含有上述四項(xiàng)時(shí)，要求使各部分都成立的交集

3.分段函數(shù)

用兩個(gè)以上表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)關(guān)系叫分段函數(shù)

./、fx+Lx>1

如正)=,.

x-Lx<1

X=1稱(chēng)為分段點(diǎn)

4.復(fù)合函數(shù)

若y=/(")M=O(X)，當(dāng)e(x)的值域落在/(〃)的定義域內(nèi)時(shí)

稱(chēng)y=/b(x)]是由中間變量u復(fù)合成的復(fù)合函數(shù).

5.反函數(shù)

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榍?，值域?yàn)閂/..對(duì)于任意的ye匕，在巧上至少可以確

定一個(gè)X與y對(duì)應(yīng)，且滿(mǎn)足y=/(x).如果把y看作自變量，x看作因變量，就

可以得到一個(gè)新的函數(shù)：x=f-'(y).我們稱(chēng)這個(gè)新的函數(shù)為函數(shù)

y=/(x)的反函數(shù)，而把函數(shù)y=/(x)稱(chēng)為直接函數(shù).

說(shuō)明：一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，則有恒等式/-1/(x)]三x,xwDf.

相應(yīng)地有/[/-16,)]=?y^Vf

a

例如，直接函數(shù)y=/(x)=；x+3,xeR的反函數(shù)為

x=L(y)=g(y—3)yeR,并且有廣[/(刈=，f|x+3-3三x，

[g(y—3)+3三y.

由于習(xí)慣上x(chóng)表示自變量，y表示因變量，于是我們約定y=_r(x)也是直接

函數(shù)y=/(x)的反函數(shù).

6.函數(shù)的性質(zhì)

(1)有界性

有界定義：若有正數(shù)”存在，使函數(shù)/(無(wú))在區(qū)間/上恒有則稱(chēng)

/(x)在區(qū)間/上是有界函數(shù)；否則，/(x)在區(qū)間/上是無(wú)界函數(shù).

上界定義：如果存在常數(shù)M(不一定局限于正數(shù))，使函數(shù)/⑴在區(qū)間/上

恒有f(x)<M,則稱(chēng)/(x)在區(qū)間/上有上界，并且任意一個(gè)NNM的數(shù)N都是

/(x)在區(qū)間/上的一個(gè)上界；

下界定義：如果存在常數(shù)加，使/Q)在區(qū)間/上恒有則稱(chēng)/(X)在

區(qū)間/上有下界，并且任意一個(gè)機(jī)的數(shù)/都是/(x)在區(qū)間/上的一個(gè)下界.

顯然，函數(shù)/(x)在區(qū)間/上有界的充分必要條件是/(x)在區(qū)間/上既有上界

又有下界.

(2)單調(diào)性

嚴(yán)格單調(diào)遞增：設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間/上的任意兩點(diǎn)玉<x2,都有/5)</(x2)

(或/(網(wǎng))>/0)),則稱(chēng)y=/(x)在區(qū)間/上為嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少)

的函數(shù).

嚴(yán)格單調(diào)遞增：如果函數(shù)/(X)在區(qū)間/上的任意兩點(diǎn)項(xiàng)<修，都有

y(x,)</(x2)(或/(xjN/(/))，則稱(chēng)y=/(x)在區(qū)間/上為廣義單調(diào)增加(或

廣義單調(diào)減少)的函數(shù).

廣義單調(diào)增加的函數(shù)，通常簡(jiǎn)稱(chēng)為單調(diào)增加的函數(shù)或非減函數(shù)；廣義單調(diào)減

少的函數(shù)則簡(jiǎn)稱(chēng)為單調(diào)減少的函數(shù)或非增函數(shù).

例如，函數(shù)y=/在區(qū)間(_8,0)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的；在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是嚴(yán)

格單調(diào)增加的.

而函數(shù)y=x、y=/在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)都是嚴(yán)格單調(diào)增加的.

(3)奇偶性

若函數(shù)/(%)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間/上滿(mǎn)足/(-%)=/(%)(或

/(-x)=-/(x))則稱(chēng)/(尤)為偶函數(shù)(或奇函數(shù)).

偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的；奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.

例如，/(無(wú))=/、g(x)=xsinx在定義區(qū)間上都是偶函數(shù).而/(%)=%、

G(x)=xcosx在定義區(qū)間上都是奇函數(shù).

(4)周期性

對(duì)于函數(shù)y=/(%)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,對(duì)一切的x均有

/(x+T)=/(x),則稱(chēng)函數(shù)/(x)為周期函數(shù).并把T稱(chēng)為/(x)的周期.應(yīng)當(dāng)指出

的是，通常講的周期函數(shù)的周期是指最小的正周期.

7.初等函數(shù)

基本初等函數(shù)鬲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)

這6類(lèi)函數(shù)叫做基本初等函數(shù).這些函數(shù)在中

學(xué)的數(shù)學(xué)課程里已經(jīng)學(xué)過(guò).

(1)幕函數(shù)y=x°(?GR)

它的定義域和值域依。的取值不同而不同，

但是無(wú)論a取何值，痔函數(shù)在xe(0,4w)內(nèi)總有

定義.當(dāng)。€27或。=―-—，時(shí)，定義域

2〃—1

為R.常見(jiàn)的基函數(shù)的圖形如圖1T所示.

圖1-1

(2)指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,aW1)

它的定義域?yàn)?-8,+8)，值域?yàn)?0，+8).指數(shù)函

數(shù)的圖形如圖12所示.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logflx(a>0,a*I)

定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)?-00,+00).對(duì)數(shù)函數(shù)

y=k)g“x是指數(shù)函數(shù)y="的反函數(shù).其圖形見(jiàn)圖

1-3.

在工程中，常以無(wú)理數(shù)e=2.718281828…作

為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底，并且記

e'=expx,log,x=lnx,而后者稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)函數(shù).

(4)三角函數(shù)

三角函數(shù)有正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)丁=￡：0$》、正切函數(shù)y=1211%、余

切函數(shù)y=cotx、正割函數(shù)丁=secx和余割函數(shù)y=cscx.其中正弦、余弦、正

切和余切函數(shù)的圖形見(jiàn)圖1-4.

(5)反三角函數(shù)

反三角函數(shù)主要包括反正弦函數(shù)y=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccosr、反正

切函數(shù)y=arctanx和反余切函數(shù)y=〃ccotx等.它們的圖形如圖―5所示.

6.常量函數(shù)為常數(shù)y=c(c為常數(shù))定義域?yàn)?-8,+8),函數(shù)的圖形

是一條水平的直線(xiàn)，如圖1-6所示.

O1

圖1-6

初等函數(shù)通常把由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步

驟所構(gòu)成的并用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù).

非初等函數(shù)經(jīng)常遇到.例如符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)y=[x]等分段函數(shù)就是非初

等函數(shù).

在微積分運(yùn)算中，常把一個(gè)初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)來(lái)研究，學(xué)會(huì)分析

初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)是十分重要的.

作業(yè)P16第1題的（1）、（3）,（5）、（7）、（9）

小結(jié)與思考：

本節(jié)復(fù)習(xí)了中學(xué)學(xué)過(guò)的各種函數(shù)，應(yīng)該熟記六種基本初等函數(shù)的性態(tài)，為后

繼課的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.

1.一”是否為初等函數(shù)？

第二節(jié)數(shù)列的極限

一、數(shù)列極限的定義

極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的.

引例我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積

的方法一一割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.

設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A；再作內(nèi)接正十二邊形,

其面積記為外；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；循此下去，每次邊數(shù)

加倍，一般地把內(nèi)接正6x2"T邊形的面積記為A.（〃eN）.這樣，就得到一系列

內(nèi)接正多邊形的面積：

AyA，2>AJ,,?A“，…，

它們構(gòu)成一列有次序的數(shù).當(dāng)〃越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以

A“作為圓面積的近似值也越精確.但是無(wú)論〃取得如何大，只要〃取定了，4,終

究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積.因此，設(shè)想無(wú)限增大（記為〃-8,

讀作〃趨于無(wú)窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過(guò)程中，內(nèi)接正

多邊形無(wú)限接近于圓，同時(shí)A“也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值

就理解為圓的面積.這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)

列）％,4,4,…，…，當(dāng)〃―8時(shí)的極限.在圓面積問(wèn)題中我們看到，正是

這個(gè)數(shù)列的極限才精確地表達(dá)了圓的面積.

在解決實(shí)際問(wèn)題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本

方法，因此有必要作進(jìn)一步的闡明.

數(shù)列的概念如果按照某一法則，有第一個(gè)數(shù)占，第二個(gè)數(shù)乙，…這樣依次序

排列著，使得對(duì)應(yīng)著任何一個(gè)正整數(shù)〃有一個(gè)確定的數(shù)x“，則，這列有次序的數(shù)

X],13，一,，X/j

就叫做數(shù)列.

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第〃項(xiàng)X“叫做數(shù)列的一般項(xiàng).例如:

一,—9-,°??,-----,???；

234n+\

2,4,8,…2"，…；

1111

一,一，一,???,—,,??；

2482〃

1,-1,1,…1)”」,???；

)14〃+(-1產(chǎn)

Z,一,一，…,-------------，…

23n

都是數(shù)列的例子，它們的一般項(xiàng)依次為

，-,2n,—，(一1),,+1,"(一『.

/?+12"n

以后，數(shù)列

Xpxv…，元

也簡(jiǎn)記為數(shù)列卜.｝.

數(shù)列極限定義

一般地：如果數(shù)列乙與常數(shù)。有下列關(guān)系：對(duì)于任意給定的正數(shù)￡(不論它

多么小)，總存在正整數(shù)N,使得對(duì)于〃〉N時(shí)的一切與，不等式

氏-“|<￡

都成立，則稱(chēng)常數(shù)〃是數(shù)列x”的極限，或者稱(chēng)數(shù)列Z收斂于。，記為

limx“=a，或xn—>a(n—>oo).

如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.

如：

lim—=0,

"->8n

[.〃+11

lim------=I.

〃->8n

例1已知無(wú)“=」工，證明數(shù)列｛七｝的極限是0。

(〃+1)一

證IX"―a1-1~'-01=------<

(〃+1)(〃+1)〃+1

Vg>0(設(shè)e<1),只要

1-1?

-----<8或幾>——1

Z2+1

不等式|玉-。|<￡必定成立。所以，取2[4-1],則當(dāng)n〉N時(shí)就有

￡

(-1)"

|二I。|<￡

(〃+1)2

即lim上匚=0

(H+1)

例2證明lim(J〃2+1-n)=0

析不能直接解|-〃|V￡來(lái)求N,需變形，放大，再求N。

證|J/+1-n\=I-——<一<￡

A/〃2+I+〃2n

解得n>—

2E

取N=」],

2E

故Ve>0,BN=[—],VH>N=>|Vn2+l-?|<￡

IE

因此，lim(V/?2+l-?)=0

H—>00

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)1(極限的唯一性)數(shù)列卜“｝不能收斂于兩個(gè)不同的極限.

性質(zhì)2(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列卜“｝收斂，則數(shù)列上”｝一定有界.

性質(zhì)3如果limx“=a,且。>0(。<0),則存在正整數(shù)N>0,當(dāng)〃>N時(shí)，

有x*>0(%,,<0).

性質(zhì)4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列卜“｝收斂于a,則它的任

一子數(shù)列也收斂，且極限也是a.

練習(xí)P261、2

小結(jié)與思考：

1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中介紹割圓術(shù)計(jì)算圓周率》.“割之彌

細(xì)，所失彌少.割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣.”這句話(huà)明

確的表達(dá)了極限思想.

第三節(jié)函數(shù)的極限

一、函數(shù)極限的定義

一般地，在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確

定的數(shù)，則這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限。

1.函數(shù)當(dāng)X-X。時(shí)的極限

滿(mǎn)足卜―玉,|<3的X的范圍稱(chēng)作以X。為中心的5鄰域，滿(mǎn)足0<以一/|<5的

范圍稱(chēng)作以與為中心，以S為半徑的去心鄰域，記作。(尤°).

現(xiàn)在考慮自變量X的變化過(guò)程為Xf如果在XfX。的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值/(X)無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ),則就說(shuō)A是函數(shù)/(X)當(dāng)X->X。時(shí)的極限.當(dāng)

然，這里我們首先假定函數(shù)/(x)在點(diǎn)/的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是有定義的.

函數(shù)極限的解析定義：

設(shè)函數(shù)/(%)在點(diǎn)飛的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果對(duì)于任意給定的正數(shù)￡

(不論它多么小)，總存在正數(shù)使得對(duì)于適合不等式0<卜-與|<5的一切x,

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/⑴都滿(mǎn)足不等式

則常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)時(shí)的極限，記作

lim/(x)=4或/⑴-A(當(dāng)無(wú)->/).上述x->與時(shí)函數(shù)/(x)的極限概念

中，X是既從X。的左側(cè)也從X。的右側(cè)趨于X。的.但有時(shí)只能或只需考慮X僅從X。

的左側(cè)趨于4(記作了->入0-0)的情形，或x僅從與的右側(cè)趨于與(記作

x->x0+0)的情形.在xf%-0的情形，x在X。的左側(cè)，x<%0.在lim/(x)=A

入f0

的定義中，把0<上一見(jiàn)|<6改為/-5<》<尤0，則A就叫做函數(shù)/(X)當(dāng)x->無(wú)。

時(shí)的左極限，記作

lim/(%)=4或/(x0-0)=A.

x->xo-O

類(lèi)似地，在lim/(x)=A的定義中，把O<|x—Xo]<5改為與<x<與+S,則

A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)Xf/時(shí)的右極限，記作

lim/(x)=A或f(xQ+0)=A.

XTXO+O

根據(jù)XfX。時(shí)函數(shù)/(X)的極限的定義，以及左極限和右極限的定義，容易證

明：函數(shù)/(尤)當(dāng)XfX。時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在

并且相等，即

/(xo-O)=/(xo+O).

因此，即使/.(/-0)和/(%+0)都存在，但若不相等，則lim/(x)不存在.

而左右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。

注：若Hm/(x)=A極限存在時(shí)

(I)A是唯一的確定的常數(shù)；

(2)x->4表示從與的左右兩側(cè)同時(shí)趨于4；

(3)極限A的存在與/(x)在x0有無(wú)定義或定義的值無(wú)關(guān).

例1函數(shù)y

x-\,x<0I/

/(X)=<0,X=0>/y=x4-l

x+1,x>0

當(dāng)Xf0時(shí)/(x)的極限不存在,亡=

證當(dāng)xf0時(shí)/(九)的左極限lim/(x)=lim(x-l)=-l

XT-0XT-0/

而右極限lim/(x)=Hm(x+1)=1,

圖1-7

因?yàn)樽髽O限和右極限存在但不相等，所以lim/(x)不存在(圖1-7)

2.函數(shù)當(dāng)x->8時(shí)的極限

我們知道，當(dāng)XT8時(shí)/6)=^越來(lái)越接近零.如果函數(shù)/(X)當(dāng)W無(wú)限增大

時(shí)，/(X)取值和常數(shù)A要多接近就有多接近，此時(shí)稱(chēng)A是/(x)當(dāng)Xf8時(shí)的極

限，記作

lim/(x)=A.

函數(shù)極限的解析定義：

設(shè)函數(shù)/(X)當(dāng)W大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果對(duì)于任意給定的正數(shù)￡(不論

它多么小)，總存在著正數(shù)X,使得對(duì)于適合不等式W>X的一切X,對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值/(X)都滿(mǎn)足不等式A<￡,則常數(shù)A就叫做函數(shù)/(X)當(dāng)Xf8時(shí)的極

限，記作

lim/(x)=A或/(x)A(當(dāng)x>8).

注:若lim/(x)=A

(1)A是唯一的確定的常數(shù)；

(2)X->oo既表示趨于+oo,也表示趨于-8.

如果X-時(shí)，/(X)取值和常數(shù)A要多接近就有多接近，我們稱(chēng)A是/(X)當(dāng)

Xf+8時(shí)的極限，記作

lim/(x)=A.

V-XJ--*--,\J

如果xfY0時(shí)，/⑴取值和常數(shù)/要多接近就有多接近，我們稱(chēng)A是/(x)當(dāng)

X3-00時(shí)的極限，記作

limf(x)-A.

XT+co

顯然，lim/(x)存在的充分必要條件是

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

定理1函數(shù)極限唯一性。與數(shù)列極限的唯一性一致

定理2函數(shù)極限的局部有界性。與數(shù)列極限的有界性類(lèi)同

定理3(極限的局部保號(hào)性)如果limf(x)=A,而且A>0(或A<0),

A*聞

則就存在著點(diǎn)與的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，就有/(x)>0(或

/(x)<0).

定理1'如果lim/(x)=A(AHO),則就存在著的某一去心鄰域U(X°),

當(dāng)xeU（x°）時(shí)，就有|/（">耳.

定理2如果在與的某一去心鄰域內(nèi)/（x）NO（或f（x）KO）,而且

limf（x）=A,則ANO（或AWO）.

XT%）

練習(xí)P331、3

小結(jié)：本節(jié)講述了各種趨勢(shì)下的極限的定義.

第四節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小

前面我們研究了〃->8數(shù)列x?的極限、

Xf8函數(shù)fix）的極限、

X->+8函數(shù)/（X）的極限、

Xf-函數(shù)/（X）的極限、

XfX。函數(shù)/（X）的極限、

Xf/+函數(shù)/（X）的極限、

X->Xo-函數(shù)/（X）的極限，

這七種趨近方式.下面我們用x-?*表示上述七種的某一種趨近方式，即

>8X-8Xf+8X-—8X-%oXfX（）*X—X（）-}

一、無(wú)窮小

定義1當(dāng)在給定的xr*下，/（X）以零為極限，則稱(chēng)/（X）是Xf*下的無(wú)

窮小量，即lim/（x）=O.

x->*

無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：

定理1函數(shù)/（x）具有極限A的充分必要條件是y（x）=A+a,其中a是無(wú)窮

小.

一、無(wú)窮大

定義2當(dāng)在給定的xr*下，|/（“無(wú)限增大，則稱(chēng)/（x）是xf*下的無(wú)

窮大量，記作lim/（x）=8.

顯然，?00時(shí)，〃、…都是無(wú)窮大量,

X—>0時(shí)，x、x+V'Sin尤、tanx都是無(wú)窮小量.

注：無(wú)窮大量、無(wú)窮小量的概念是反映變量的變化趨勢(shì)，因此任何常量都不是無(wú)

窮大量，任何非零常量都不是無(wú)窮小，談及無(wú)窮大量、無(wú)窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給

出自變量的變化趨勢(shì).

無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：

定理2在自變量的同一變化過(guò)程中，如果/（x）為無(wú)窮大，則』為無(wú)窮小;

反之，如果/'（X）為無(wú)窮小，且/（x）wO,則一又為無(wú)窮大.

例1當(dāng)1—時(shí)，y=xsinx是（）

A）無(wú)窮小B）無(wú)窮大

C）有界函數(shù)D）無(wú)界的但不是無(wú)窮大

分析：取乙=2〃乃（〃=1,2,3……），則％=0,11匕時(shí)忸％=°

71_71

x=2〃乃+—(〃=1,2,3....)y=2n兀H—limv=8

取n2則n2,此時(shí)理K

答案：D

作業(yè)P372、4

小結(jié)與思考：

本節(jié)給出了無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念和它們的相關(guān)性質(zhì)，注意不要錯(cuò)誤的

利用這些性質(zhì).

1.求極限

1+e”

分析：含有絕對(duì)值符號(hào)，必須去掉絕對(duì)值，要考慮從左、右極限入手.

解：

112

一.2+exX、.2+exx、3+ex+ex

hm(-----+「)brm(-----+—)rlim---------=1

xf0+rxx->o+￡xx->0+r

1+ex=1+ex-1+e*

_L121

xx

[./2+e"x2+e"x\-e+e1

lim(-----+川lim(---r+——)lim------；-=1

XT。-±XXT。-±-xXT。--

1+e'11=1+e"=1+e”

所以原極限二1

法則

限運(yùn)算

節(jié)極

第五

的運(yùn)算

數(shù)極限

復(fù)合函

法則和

則運(yùn)算

限的四

紹極

要介

法，主

的求

極限

討論

本節(jié)

極限.

函數(shù)的

求某些

，可以

法則

用這些

，利

法則

的.

是成立

8都

及xf

對(duì)聞

定理

表示

lim”

記號(hào)“

中，

討論

面的

在下

定理

窮小.

是無(wú)

和也

窮小的

限個(gè)無(wú)

定理1有

.

無(wú)窮小

積是

小的乘

與無(wú)窮

界函數(shù)

推論2有

.

無(wú)窮小

乘積是

窮小的

數(shù)與無(wú)

推論1常

窮小.

是無(wú)

乘積

窮小的

限個(gè)無(wú)

定理2有

且