訓(xùn)練03直線的方程50道真題訓(xùn)練（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點(diǎn)歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁訓(xùn)練03直線的方程50道真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023-24上·榮昌·期中）下列四條直線中，傾斜角最大的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系判斷．【詳解】選項(xiàng)A中直線傾斜角為0，選項(xiàng)B中直線傾斜角為，選項(xiàng)C中直線斜率為1，傾斜角為，選項(xiàng)D中直線斜率為，傾斜角為鈍角，傾斜角最大．故選：D．2．（2023-24上·潮州期中）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，傾斜角為當(dāng)時(shí)，直線的斜率，因?yàn)?，則，所以；綜上所述：線的傾斜角的范圍是.故選：C．3．（2022-23·上）如果，，那么直線不通過（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結(jié)合斜率和在軸上的截距，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以均不為零，由直線方程，可化為，因?yàn)椋?，可得，y軸截距，所以直線經(jīng)過第一、三、四象限，所以不經(jīng)過第二象限．故選：B.4．（2022-23·期末）數(shù)學(xué)巨星歐拉（LeonhardEuler，1707~1783）在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離之半”，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．若已知的頂點(diǎn)，，且，則的歐拉線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出的歐拉線方程為線段的垂直平分線，再根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段的垂直平分線即可．【詳解】由，，得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以線段的斜率，所以線段垂直平分線的方程為：，即，又因?yàn)椋缘耐庑?、中心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為，故選：D．5．（2022-23上·黑龍江期末）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得到，再解不等式組即可.【詳解】，即交點(diǎn)為.因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.故選：A6．（2022-23上·馬鞍山期末）過兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，求解即可.【詳解】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.7．（2022-23·東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個(gè) B．2個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【分析】考慮三條直線交于一點(diǎn)或與或平行時(shí)，滿足條件，求出答案.【詳解】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可將平面分為六個(gè)部分，聯(lián)立與，解得，則將代入中，，解得，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，綜上，滿足條件的的值共有3個(gè).故選：C8．（2023-24上·揭陽期中）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件及充分條件、必要條件判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩直線斜率都為且不重合，所以兩直線平行；當(dāng)兩直線平行時(shí)，由，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，兩直線平行，故.綜上可知，“”是“直線和直線平行”的充要條件.故選：C9．（2023-24上·長春·期中）已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出實(shí)數(shù)的取值范圍，利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系可求得直線傾斜角的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則，即，解得且.易知，直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則.當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D.10．（2022-23上·貴陽·期中）已知直線，若直線l與連接、兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出直線過的定點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合方法求出直線的斜率范圍，進(jìn)而求出傾斜角范圍.【詳解】直線，由，解得，即直線過定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，顯然直線的斜率為，直線的斜率為，由于直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，則，即，

又，于是，因此或，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D11．（2023-24上·廣州期末）已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)，則，解方程再結(jié)合題意可求出，即可得出答案.【詳解】直線的斜率為，可設(shè)l的方程為.令，得，由題可知:，得，由于在第一象限與坐標(biāo)軸圍成三角形，所以，所以選C項(xiàng)．故選：C.12．（2022-23上·泉州·期中）若直線在軸上的截距為，且它的傾斜角是直線的傾斜角的倍，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線在軸上的截距可求得，設(shè)直線的傾斜角為，求出即直線的斜率，即可求出.【詳解】令，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，故，則直線的斜率，所以.故選：D.13．（2022-23上·蘇州期中）已知直線l過點(diǎn)，且分別交兩直線于x軸上方的兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．20【答案】A【分析】判斷直線斜率存在并設(shè)直線l的方程為，求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出三角形的面積，并化簡，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知直線l的斜率一定存在，斜率設(shè)為k，則直線l的方程為，分別與聯(lián)立可得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)：，故，兩點(diǎn)都在x軸的上方，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為8，故選：A．14．（2023-24上·廣州·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為B．已知x，y滿足，則的最大值為C．已知x，y滿足，則的取值范圍是D．已知x，y滿足，則的最大值為0【答案】A【分析】函數(shù)表示到點(diǎn)和的距離之和，計(jì)算距離得到A正確，舉反例得到BCD錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，表示到點(diǎn)和的距離之和，最小值為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：取，滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：取，滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：取，滿足條件，此時(shí)，錯(cuò)誤；故選：A15．（2022-23上·薊州·期中）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線l方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】對(duì)直線的方程進(jìn)行變形確定該直線所過的定點(diǎn)，然后點(diǎn)到線距離最大的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】將直線的方程整理得：，因?yàn)?，有成立，所以只能，解得，即直線過定點(diǎn)；若要到直線的距離最大，只需，此時(shí)直線是圖中直線，此時(shí)點(diǎn)到直線的最大距離為線段的長度，即，又直線的斜率為，故此時(shí)直線的方程為：，即.故選：C

16．（2022-23上·舟山·期末）已知點(diǎn)P在直線上,,則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)做關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),求出點(diǎn)坐標(biāo),則直線是線段的垂直平分線,則,的值即為所求.【詳解】解:由題知,過點(diǎn)做關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),取直線上一點(diǎn),連接,連接交于點(diǎn),連接,如圖所示:則有,解得,即,因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱,所以直線是線段的垂直平分線,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí),所以.故選:D.17．（2022上·淄博·期末）已知：，，，，，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上（不含端點(diǎn)），則FD斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求F點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P，再求P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,由此可確定動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上的變動(dòng)范圍，進(jìn)而求的其斜率的取值范圍.【詳解】由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，如圖：設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則,解得，故，同理可求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,連接,交于N，而MN方程為y=2,聯(lián)立得N點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，分別交于,方程為：，和直線方程聯(lián)立，解得H點(diǎn)坐標(biāo)為,PN的方程為x=2,和直線方程聯(lián)立解得，連接,則之間即為動(dòng)點(diǎn)D點(diǎn)的變動(dòng)范圍，而,故FD斜率的取值范圍是，故選B.18．（2020上·新余·期末）已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】首先求得直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).利用到直線的距離以及的長，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設(shè)，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式，考查角平分線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、多選題19．（2023-24上·煙臺(tái)·期中）已知直線，則（

）A．直線的斜率為 B．直線的傾斜角為150°C．直線不經(jīng)過第三象限 D．直線與直線平行【答案】BCD【分析】由直線方程確定斜率、傾斜角判斷A、B；根據(jù)直線方程直接判定所過象限判斷C；由直線平行的判定判斷D.【詳解】由題設(shè)，若傾斜角，則，A錯(cuò)，B對(duì)；顯然直線過第一、二、四象限，不過第三象限，C對(duì)；由，故與平行，D對(duì).故選：BCD20．（2023-24上·開封期中）已知直線l：與n：，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．直線l恒過點(diǎn)D．若直線n在x軸上的截距為6，則直線n的斜截式為【答案】AC【分析】運(yùn)用兩直線平行性質(zhì)可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用兩直線垂直的性質(zhì)可判斷B項(xiàng)，提取參數(shù)后計(jì)算可判斷C項(xiàng)，由截距定義可求得a的值進(jìn)而可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若，則，解得或，故B項(xiàng)不成立；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，則由得，所以l恒過點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若直線n在x軸上的截距為6，即直線n過點(diǎn)，則，得，所以直線n的方程為，斜截式為，故D項(xiàng)不成立．故選：AC.21．（2023-24上·成都·期中）直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線在軸上的截距可能是（

）A．3 B．0 C． D．1【答案】ABD【分析】通過討論直線截距是否為的情況，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，直線過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，當(dāng)直線的截距為0時(shí)，顯然滿足題意，為：；當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)橫、縱截距分別為，則直線方程為：，∴，解得：或，∴直線的縱截距可取.故選：ABD.22．（2022-23上·白城·期中）下列結(jié)論不正確的是（

）．A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．直線恒過定點(diǎn)C．直線與直線之間的距離是D．已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是5【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，求出過點(diǎn)，的直線的斜率，進(jìn)而得到傾斜角不為；B選項(xiàng)，變形后得到方程組，求出恒過點(diǎn)；C選項(xiàng)，直線變形為，利用兩平行線間距離公式求出答案；D選項(xiàng)，在坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出的最小值.【詳解】A選項(xiàng)，過點(diǎn)，的直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，由于，故過點(diǎn)，的直線的傾斜角不為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，直線變形得到，令，解得，故直線恒過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線變形為，故與直線之間的距離是，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出，，兩點(diǎn)都在軸上方，畫出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，則即為的最小值，則，D正確.故選：ABC23．（2022-23上·廣州·期中）已知等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)三角形為等腰直角三角形列方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可得，可化為，解得:或，即或．故選：AC24．（2022-23上·長春·期末）以下四個(gè)命題表述錯(cuò)誤的是（

）A．恒過定點(diǎn)B．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)C．已知直線與平行，則或D．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，求出各直線的斜率，依次判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】選項(xiàng)A：直線，即，所以恒過定點(diǎn)，故A正確；選項(xiàng)B：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時(shí)，與互相垂直，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)閮芍本€互相垂直，所以，解得，所以或，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時(shí)，與互相垂直，舍去，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)閮芍本€互相平行，所以，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故舍去，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：根據(jù)題意，直線的斜率，因?yàn)?，所以，所以，傾斜角的取值范圍是，故D錯(cuò)誤；故選：BCD.25．（2022-23上·珠?！て谀┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A．若直線與直線平行，則它們的距離為B．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C．原點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為【答案】BC【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求得的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，計(jì)算求得結(jié)果判斷A；利用對(duì)稱知識(shí)求出對(duì)稱點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；求出直線系經(jīng)過的定點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解最大值即可判斷C；求解三角形的面積判斷D．【詳解】對(duì)于A，直線與直線平行，顯然，所以，且，解得，故兩條平行直線即為直線與直線，則它們之間的距離為，所以A不正確；對(duì)于B，假設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，由，得，由，得，故直線過定點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C正確；對(duì)于D，令，得，令，得，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.故選：BC．26．（2022上·孝感·期中）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．直線與直線之間的距離為C．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的最小值為D．已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段沒有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是【答案】ABD【分析】求出直線的斜率，再由斜率的定義求出傾斜角可判斷A；根據(jù)兩平行線間的距離可判斷B；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則求出最小值可判斷C；求出臨界值和，由可判斷D，進(jìn)而可得符合題意的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角的范圍為，所以直線的傾斜角為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，與平行，則兩條平行直線間的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，的最小值為，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于D，，，又因?yàn)橹本€與線段沒有公共點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABD.27．（2022-23上·長春·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱性可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于C：因?yàn)?，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷.【詳解】設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，對(duì)于選項(xiàng)A：可得周長，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以周長的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，設(shè)到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：作，垂足為，因?yàn)橹本€的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD.28．（2022-23下·南通·期末）對(duì)于兩點(diǎn)，，定義一種“距離”：，則（

）A．若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義，，之間的“距離:對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可判斷其正誤即可．【詳解】A中，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，則，故A正確；B中，因?yàn)橹?，若，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)，則，因?yàn)?，同理，所以，故C正確;D中，因?yàn)锳BCD為正方形，設(shè)正方形邊長為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.三、填空題29．（2023-24上·福州·期中）若a，b為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為.【答案】/0.125【分析】由直線垂直的條件求得關(guān)系，再由基本不等式得最大值．【詳解】由題意，即，由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．30．（2023-24上·深圳·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為直角三角形，請(qǐng)寫出的一個(gè)坐標(biāo)：．【答案】（答案不唯一，任意一個(gè)都可以）【分析】根據(jù)題意可設(shè)，再對(duì)直角進(jìn)行分類討論并利用直線垂直的斜率關(guān)系可求得的一個(gè)坐標(biāo)為.【詳解】設(shè)，易知當(dāng)或時(shí)，不合題意，因此當(dāng)且時(shí)，可得，，當(dāng)為直角時(shí)，，得的坐標(biāo)為．當(dāng)為直角時(shí)，，得的坐標(biāo)為．當(dāng)為直角時(shí)，，化簡得，該方程無解．故答案為：（答案不唯一，任意一個(gè)都可以）.31．（2023-24上·福州·期中）已知直線：與直線：平行，則經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，再設(shè)與直線垂直的直線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)：，：，則與重合，舍去；當(dāng)時(shí)：，：，所以與平行，符合題意，設(shè)與直線垂直的直線方程為，則，解得，所以所求直線方程為.故答案為：32．（2022-23上·寧波·期中）經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是.【答案】和；【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，則設(shè)直線方程為，將代入可得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故答案為：和；33．（2023-24上·松原·期中）若a，b為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直得到，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和基本不等式求解答案即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，即，則點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以，所以．故答案為：34．（2022-23上·聊城·期末）已知直線和兩點(diǎn)，若直線上存在一點(diǎn)使得最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化，再根據(jù)圖象，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】首先設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得：，即根據(jù)對(duì)稱性可知，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)最小，即點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，，直線，聯(lián)立，解得：，即此時(shí)

故答案為：35．（2022-23上·南通·期中）經(jīng)過點(diǎn)作直線l，且直線l與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合能求出使直線與線段有公共點(diǎn)的直線的斜率的范圍與傾斜角的范圍．【詳解】解：如圖，，，，，，則使直線與線段有公共點(diǎn)的直線的斜率的范圍為，，又直線傾斜角的范圍是：，且直線l的傾斜角的范圍為．故答案為：．36．（2022上·三明·期末）已知某正三角形的一條內(nèi)角平分線所在直線的斜率為，寫出與該角平分線相鄰兩邊中，其中一邊所在直線的斜率為．【答案】或3．（注：寫出一個(gè)或兩個(gè)正確值均可得滿分）【分析】由題意利用一條直線到另一條直線的夾角公式，求得與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率.【詳解】解：某正三角形的一條內(nèi)角平分線所在直線的斜率為，設(shè)這個(gè)正三角形中與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率分別為，且，則，解得.故答案為：或3．（注：寫出一個(gè)或兩個(gè)正確值均可得滿分）37．（2020·專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，、邊中線方程分別為、，則直線的方程為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)線段的中點(diǎn)在直線上可求得的值，根據(jù)線段的中點(diǎn)在直線上可求得的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，由此可求得直線的方程.【詳解】由題意可知，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，易知點(diǎn)在直線上，則，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在直線上，可設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，易知點(diǎn)在直線上，則，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，求出三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.38．（2023-24上·汕頭期中）已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】利用兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合“將軍飲馬”模型計(jì)算最值即可.【詳解】如圖，為點(diǎn)到原點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和，即．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解之得即．易得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，且最小值為．

故答案為：.39．（2023-24上·深圳期中）已知的頂點(diǎn)，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三條高線點(diǎn)）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】或【分析】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)重心坐標(biāo)公式結(jié)合外心的定義和性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的重心坐標(biāo)為，由題意可知：，即，可知線段的中點(diǎn)為，斜率，則線段的中垂線的方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即的外心坐標(biāo)為，由，即，可得，解得或，即或，經(jīng)檢驗(yàn)或均符合題意.故答案為：或.40．（2022-23上·長春·期中）已知的頂點(diǎn)，，，設(shè)的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）到直線的距離為，垂心（三邊高的交點(diǎn)）到頂點(diǎn)的距離為，則.【答案】【分析】先利用直線關(guān)系求出中垂線及高線，從而求出的外心和垂心坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)距離求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以直線的方程為，即，又的中點(diǎn)為，所以直線的中垂線方程為，即，同理，，所以直線的方程為，又的中點(diǎn)為，所以直線的中垂線方程為，聯(lián)立，得，所以的外心為，則它到直線的距離為，又邊的高線為，即，邊的高線為，聯(lián)立，得，所以的垂心為，則垂心到頂點(diǎn)的距離為，所以.故答案為：四、解答題41．（2023-24上·武威·期中）已知直線，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值；（2）利用兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)橹本€，，且，則，解得.（2）因?yàn)?，則，解得或.42．（2023-24上·佛山期末）已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，．試判斷四邊形OABC的形狀，并說明理由.【答案】平行四邊形，理由見解析【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求四邊形各邊所在直線斜率，由斜率及點(diǎn)的關(guān)系判斷邊之間的位置關(guān)系；【詳解】如下圖示：

OA邊所在直線的斜率，AB邊所在直線的斜率，BC邊所在直線的斜率，CO邊所在直線的斜率．由知：點(diǎn)O不在BC上，則OA與BC不重合，又，得．同理，由且AB與CO不重合，得．因此四邊形OABC是平行四邊形．43．（2023-24上·咸陽·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是．(1)求AB邊的高所在直線的方程；(2)若直線l過點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求得邊的高所在直線的方程.（2）對(duì)是否與直線平行進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)斜式或斜截式求得直線的方程.【詳解】（1）直線的斜率為，所以邊的高所在直線的斜率為，所以邊的高所在直線的方程為.（2）直線的斜率為，若直線與直線平行，則直線的方程為.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線過，則直線的方程為.44．（2023-24上·張家口期中）已知直線過點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線與兩坐標(biāo)軸上圍成的三角形面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，求出橫截距、縱截距，利用可得答案.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為過點(diǎn)，的方程：；（2）設(shè)直線的方程為，橫截距為，縱截距為，，或，方程為或.45．（2022-23上·平?jīng)觥て谀┮阎?，，?1)求點(diǎn)的坐標(biāo)，滿足，；(2)若點(diǎn)在x軸上，且，求直線的傾斜角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線的垂直關(guān)系和平行關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件可得即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，由已知得，又，可得，即．①由已知得，又，可得，即．②聯(lián)立①②解得，∴．（2）設(shè)，∵，∴，又∵，，∴，解得．∴，又∵，∴軸，故直線MQ的傾斜角為90°．46．（2023-24上·周口期中）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直.(1)求直線的方程；(2)若直線與直線平行且點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；(3)若直線與直線相交于點(diǎn)，且在軸，軸上截距相等，求直線的方程.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由兩直線垂直得直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得；（2）由直線與直線平行，設(shè)出直線的一般式方程待定系數(shù)，再由點(diǎn)到直線的距離公式可求；（3）由直線在軸，軸上截距相等，按照截距是否為零分類討論，再分別在不同分類下求解直線方程，由點(diǎn)在直線上待定系數(shù)即可.【詳解】（1）直線與直線垂直，且直線斜率為，則直線的斜率為，又直線經(jīng)過點(diǎn)，故直線的方程為，化簡得；（2）由直線與直線平行，則可設(shè)直線的方程為，又點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，或，故直線的方程為或；（3）直線在軸，軸上截距相等，①當(dāng)截距都為時(shí)，則直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)，故直線的方程為，即；②當(dāng)截距都不為時(shí)，則可設(shè)直線的方程為，由直線過點(diǎn)，得，解得，則直線的方程為；綜上所述，直線的方程為或.47．（2022-23上·深圳·期末）已知直線，直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)．(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直線恒過定點(diǎn)的求法列出方程組，解之即可求解；（2）有（1），設(shè)直線方程為，可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式中“1”的用法可得直線l的方程，即可求解.【詳解】（1）已知直線，則，由，解得，即直線l過定點(diǎn)；（2）設(shè)直線的方程為，則，又直線l過定點(diǎn)，則，又點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取等號(hào)，所以直線l的方程為，所以直線l過，即，解得．48．（2022-23上·南充·期末）某市的兩條直線公路OM，ON所圍成的角形區(qū)域內(nèi)有一村莊，該市為響應(yīng)黨中央的鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，擬過村莊修建一條公路，使之圍成一個(gè)等腰三角形區(qū)域．在