2024屆北京市北方交大附中數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京市北方交大附中數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．中，角的對(duì)邊分別為，且，則角（）A． B． C． D．2．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形3．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若，則A．+ B．+ C．+ D．+4．棱柱的側(cè)面一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．正方形 D．菱形5．已知角滿足，，且，，則的值為（）A． B． C． D．6．正方體中,直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．兩數(shù)與的等比中項(xiàng)是（）A．1 B．－1 C．±1 D．8．已知數(shù)列且是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知，，，，那么（）A． B． C． D．10．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，其外接圓半徑為2，且有，則三角形的面積為（）A． B． C．或 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，三個(gè)角所對(duì)的邊分別為．若角成等差數(shù)列，且邊成等比數(shù)列，則的形狀為_(kāi)______．12．在中，若，則等于__________.13．設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．已知，且，則________.15．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)線段上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路徑，截開(kāi)木塊時(shí)，兩部分幾何體的體積比為_(kāi)_____.16．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個(gè)三角形頂角的正弦值為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知，求（1）（2）18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值.19．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．20．自變量在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)的值等于0?大于0呢?小于0呢?21．在中，分別是內(nèi)角所對(duì)的邊，已知．（1）求角；（2）若，求的周長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意結(jié)合正弦定理，由題，可得三角形為等邊三角形，即可得解.【題目詳解】由題：即，中，由正弦定理可得：，即，兩邊同時(shí)平方：，由題，所以，即，所以，即為等邊三角形，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，根據(jù)邊的關(guān)系判斷三角形的形狀，求出三角形的內(nèi)角.2、D【解題分析】

先根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)榻菫槿切蝺?nèi)角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查判定三角形的形狀問(wèn)題，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】

根據(jù)向量減法和用表示，再根據(jù)向量加法用表示.【題目詳解】如圖：因?yàn)?，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量幾何運(yùn)算的加減法，結(jié)合圖形求解.4、A【解題分析】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得：其側(cè)面一定是平行四邊形，故選A.5、D【解題分析】

根據(jù)角度范圍先計(jì)算和，再通過(guò)展開(kāi)得到答案.【題目詳解】，，故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)恒等變換，將是解題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】

作出相關(guān)圖形，通過(guò)平行將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為共面直線所成角.【題目詳解】作出相關(guān)圖形，由于，所以直線與所成角即為直線與所成角，由于為等邊三角形，于是所成角余弦值為，故答案選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成角的余弦值，難度不大.7、C【解題分析】試題分析：設(shè)兩數(shù)的等比中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為-1或1考點(diǎn)：等比中項(xiàng)8、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可確定是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得；由數(shù)列的單調(diào)性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【題目詳解】由題意得：，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列為遞增數(shù)列，即①當(dāng)時(shí)，，，即只需即可滿足②當(dāng)時(shí)，，，即只需即可滿足綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及到等差和等比數(shù)列定義的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用等知識(shí)；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)單調(diào)性得到關(guān)于變量和的關(guān)系式，進(jìn)而通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與關(guān)于的式子的最值的大小關(guān)系問(wèn)題.9、C【解題分析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.綜上所述選.10、C【解題分析】

的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，可得角A、C的關(guān)系，將已知條件中角C消去，利用三角函數(shù)和差角公式展開(kāi)即可求出角A的值，再由三角形面積公式即可求得三角形面積.【題目詳解】的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則，解得，所以，所以，整理得，則或，因?yàn)椋獾没?①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等差數(shù)列性質(zhì)、三角函數(shù)和差角公式、三角函數(shù)輔助角公式，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題；解題中主要是通過(guò)消元構(gòu)造關(guān)于角A的三角方程，其中利用三角函數(shù)和差角公式和輔助角公式對(duì)式子進(jìn)行化解是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、等邊三角形【解題分析】

分析：角成等差數(shù)列解得，邊成等比數(shù)列，則，再根據(jù)余弦定理得出的關(guān)系式．詳解：角成等差數(shù)列，則解得，邊成等比數(shù)列，則，余弦定理可知故為等邊三角形．點(diǎn)睛：判斷三角形形狀，是根據(jù)題意推導(dǎo)邊角關(guān)系的恒等式．12、；【解題分析】

由條件利用三角形內(nèi)角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【題目詳解】在中，，，，即，，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計(jì)算得出即可.【題目詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時(shí)當(dāng)時(shí),求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當(dāng)時(shí).14、或【解題分析】

利用正切函數(shù)的單調(diào)性及周期性，可知在區(qū)間與區(qū)間內(nèi)各有一值，從而求出?！绢}目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，而且在內(nèi)單調(diào)增，所以有兩個(gè)解，一個(gè)在，一個(gè)在，由反正切函數(shù)的定義有，或?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)及反正切函數(shù)的定義的應(yīng)用。15、【解題分析】

將正三棱柱的側(cè)面沿棱展開(kāi)成平面，連接與的交點(diǎn)即為滿足最小時(shí)的點(diǎn)，可知點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，即可計(jì)算出沿著螞蟻?zhàn)哌^(guò)的路徑截開(kāi)木塊時(shí)兩幾何體的體積之比.【題目詳解】將正三棱柱沿棱展開(kāi)成平面，連接與的交點(diǎn)即為滿足最小時(shí)的點(diǎn).由于，，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得，一只螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)線段上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路徑，為的中點(diǎn)，因?yàn)槿庵钦庵?，所以?dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路徑，截開(kāi)木塊時(shí)，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查棱柱側(cè)面最短路徑問(wèn)題，涉及棱柱側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用以及幾何體體積的計(jì)算，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力，是中檔題．16、【解題分析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內(nèi)角和為，建立底角和頂角之間的關(guān)系，再求解三角函數(shù)值．【題目詳解】設(shè)此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【題目點(diǎn)撥】給值求值的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切，即可求解（1）（2）的值，得到答案．【題目詳解】（1）由題意，知，則；（2）由＝＝．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）.【解題分析】

（1）利用二倍角降冪公式和輔助角公式將函數(shù)的解析式化為，利用周期公式可得出函數(shù)的最小正周期，然后解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得出角的值，再利用兩角和的正切公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】（1）．函數(shù)的最小正周期為，令，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），即，，.，故，因此.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)，考查兩角和的正切公式求值，解題時(shí)要利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，利用正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）設(shè)公差為，由，可得解得，，從而可得結(jié)果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.20、當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值等于0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值大于0；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值小于0.【解題分析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【題目詳解】由題：由得：或；由得：；由得：或，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值等于0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值大于0；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值小于0.【題目點(diǎn)撥】此題考查解二次方程和二次不等式，關(guān)鍵在于熟練掌握二次