用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題++第3課時(shí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題第3課時(shí)1.能綜合運(yùn)用“基底法”“坐標(biāo)法”解決立體幾何問(wèn)題例1:某種禮物降落傘有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣萭取9.8m/s2，精確到0.01N）.分析：8根繩子拉力的合力大小禮物重力大小8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和禮物的重力相等相反向量例1:某種禮物降落傘有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣萭取9.8m/s2，精確到0.01N）.解：設(shè)水平面的單位法向量為n，其中每一根繩子的拉力均為F.因?yàn)樗訤在n上的投影向量為所以8根繩子拉力的合力F合=例1:某種禮物降落傘有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣萭取9.8m/s2，精確到0.01N）.所以所以又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以|F合|=|G禮物|=1×9.8=9.8(N)例2:在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（1）求證：PA∥平面EDB；（2）求證：PB⊥平面EFD；（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.分析：底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面利用空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DC=1.（1）連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG.依題意得因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是它的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為直線方向向量⊥平面法向量向量法證明直線與平面平行例2:在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（1）求證：PA∥平面EDB；且而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，因此PA∥平面EDB.所以

即PA∥EG.例2:在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（1）求證：PA∥平面EDB；（2）證明：依題意得所以PB⊥DE.又

故直線方向向量∥平面法向量向量法證明直線與平面垂直由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD.例2:在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（2）求證：PB⊥平面EFD；（3）已知PB⊥EF，由（2）可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,y,z)，則

平面與平面法向量的夾角平面與平面的夾角因?yàn)?/p>

所以(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k),即x=k,y=k,z=1-k.因?yàn)?/p>

所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0，例2:在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.所以∠EFD=60°，即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60°.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為又點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以所以例2:在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.歸納總結(jié)用空間向量表示立體圖形中點(diǎn)、直線、平面等元素進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義解決立體幾何中的問(wèn)題，可用三種方法：（1）綜合法：以邏輯推理作