攝像機(jī)一維標(biāo)定加權(quán)線性算法研究版

StudyontheWeightedLinearAlgorithms CameraCalibrationwith1DStudyontheWeightedLinearAlgorithms CameraCalibrationwith1D KunfengADissertationSubmittedUniversityofChineseAcademyofInpartialfulfillmentoftheForthedegreeDoctorofInstituteofAutomation,ChineseAcademyof 獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所遞交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所遞交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已表或撰寫過(guò)的研究成果。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論作了明確地說(shuō)明并表示了謝意簽名 日期 關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明本人完全了解中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化研究所有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化研究所有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；可布論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論（保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定簽名 導(dǎo)師簽名 日期 摘摘攝像機(jī)標(biāo)定是計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的基本問(wèn)題之一，它是三維重建、機(jī)器人導(dǎo)航、虛擬現(xiàn)實(shí)等視覺(jué)應(yīng)用的必要步驟。在基于參考物的標(biāo)定方法中，一維物體因制作簡(jiǎn)單以及不發(fā)生自遮擋的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。本文討論如何利用加權(quán)技術(shù)進(jìn)一步提高基于一維物體的攝像機(jī)標(biāo)定的精度，主要貢獻(xiàn)能被概括如下：1．加權(quán)線性算法的一階誤差分析。根據(jù)一階誤差傳播理論，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)不受權(quán)重的一階誤差項(xiàng)影響，進(jìn)而得到一階誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)單形式。然后將此結(jié)摘摘攝像機(jī)標(biāo)定是計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的基本問(wèn)題之一，它是三維重建、機(jī)器人導(dǎo)航、虛擬現(xiàn)實(shí)等視覺(jué)應(yīng)用的必要步驟。在基于參考物的標(biāo)定方法中，一維物體因制作簡(jiǎn)單以及不發(fā)生自遮擋的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。本文討論如何利用加權(quán)技術(shù)進(jìn)一步提高基于一維物體的攝像機(jī)標(biāo)定的精度，主要貢獻(xiàn)能被概括如下：1．加權(quán)線性算法的一階誤差分析。根據(jù)一階誤差傳播理論，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)不受權(quán)重的一階誤差項(xiàng)影響，進(jìn)而得到一階誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)單形式。然后將此結(jié)論應(yīng)用到最優(yōu)加權(quán)線性算法，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)加權(quán)算法與迭代最優(yōu)加權(quán)算法有相同的一階誤差項(xiàng)，因此最優(yōu)加權(quán)線性算法在保證一階精度的前提下極大地降低了計(jì)算量。這些結(jié)論是加權(quán)線性算法設(shè)計(jì)和分析的理論基2.基于一維物體的單攝像機(jī)標(biāo)定的加權(quán)線性算法。為了提高現(xiàn)有線性標(biāo)定算法的精度，提出了兩個(gè)加權(quán)線性算法。首先，為一維物體標(biāo)記點(diǎn)的相對(duì)深度給出了一個(gè)相似不變的估計(jì)量，使用該估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)作為絕對(duì)二次曲線的像的約束方程的權(quán)重，得到簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法；然后，對(duì)相對(duì)深度約束方程和絕對(duì)二次曲線的像的約束方程都進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)，得到最優(yōu)加權(quán)線性算法。這兩個(gè)算法都是相似不變的，并且最優(yōu)加權(quán)線性算法與捆綁調(diào)整算法有相當(dāng)?shù)臉?biāo)定精度3.基于線段的多攝像機(jī)標(biāo)定和歐氏提升的加權(quán)線性算法。首先，通過(guò)對(duì)基于線段長(zhǎng)度的非線性標(biāo)定方程進(jìn)行線性化，得到一個(gè)比現(xiàn)有線性算法有更高精度、更魯棒的線性算法；然后，基于一階誤差分析對(duì)這個(gè)新線性算法進(jìn)行簡(jiǎn)單加權(quán)和最優(yōu)加權(quán)，得到兩個(gè)更高精度的加權(quán)線性算法；最后，根據(jù)線段長(zhǎng)度約束給出了一個(gè)加權(quán)非線性算法，進(jìn)一步提高了加權(quán)線性算法的精關(guān)鍵詞攝像機(jī)標(biāo)定，一維物體，加權(quán)線性算法，一階誤差-i摘-摘-iiisnecessarytomanyapplicationsofcomputervisionsuchas3Dreconstruction,mobilerobotnavigation,isnecessarytomanyapplicationsofcomputervisionsuchas3Dreconstruction,mobilerobotnavigation,andvirtualreality.Amongthecameracalibrationmethodsbasedonreferenceobjects,cameracalibrationwith1Dobjectsisusedwidelybecause1Dobjectshavetheadvantagethattheyareeasytomanufactureandimmunetoself-occlusion.Thisthesisinvestigateshowtouseweightedalgorithmstofurtherimprovetheaccuracyofcameracalibrationwith1Dobjects,andthemaincontributionsinclude:Thefirst-ordererrortermsofweightedlinearalgorithmsareanalyzed.Basedonthefirst-ordererrorpropagationtheory,wefindoutthatthefirst-ordererrortermofthesimplyweightedlinearalgorithmisnotinfluencedbythefirst-ordererrortermsoftheweights,andthenobtainacompactexpressionforitsfirst-ordererrorterm.Next,weapplythisconclusiontotheoptimallyweightedlinearalgorithm,andfindoutthatithasthesamefirst-ordererrortermastheiterativelyandoptimallyweightedlinearalgorithm,whichshowsthattheoptimallyweightedlinearalgorithmcanreducethecomputationalloaddramaticallywhileensuringthesamefirst-orderaccuracy.TheseconclusionsarethetheoreticalbasesofthedesigningandanalysingofweightedlinearTofurtherimprovetheaccuraciesoftheexistinglinearalgorithmsforsinglecameracalibrationwith1Dobjects,twoweightedlinearalgorithmsareproposed.First,asimilarity-invariantestimatorfortherelativedepthsofthemovingendpointsisintro-duced,andthereciprocalofthestandarddeviationoftheestimatorineachposeisusedastheweightofthecorrespondingconstraintontheimageoftheabsoluteconic(I-AC),resultinginasimplyweightedlinearalgorithm.Then,theconstraintequationsontherelativedepthsandtheIACarebothoptimallyweighted,resultinganoptimallyweightedlinearalgorithm.Thesetwoweightedlinearalgorithmsarebothsimilarity-invariant,andtheoptimallyweightedlinearalgorithmachievescomparableaccuracytothebundleadjustmentalgorithm.Twoweightedlinearalgorithmsformulti-cameracalibrationandEuclideanup-gradingwithsegmentsareproposed.First,thenonlinearcalibrationequationsderivedfromtheknowledgeofsegmentlengthsarelinearized,resultinganewlinearalgorith-mwhichachieveshigheraccuracyandrobustnessthantheexistinglinearalgorithms.Then,thisnewlinearalgorithmaresimplyweightedandoptimallyweightedbasedonthefirst-ordererroranalysis,resultingintwoweightedlinearalgorithmswithhigh-eraccuracy.Atlast,weproposeaweightednonlinearalgorithmbasedonthelengthconstraints,whichfurtherimprovestheaccuraciesoftheweightedlinearalgorithms.KeyWords:Cameracalibration,1Dobjects,weightedlinearalgorithm,first-ordererroranalysis-iii111223467799緒研究背景和意義............................111223467799緒研究背景和意義.............................預(yù)備知識(shí).................................射影空間與視覺(jué)幾何................................................................................................................................................................................參數(shù)估計(jì)算法.................................................................... ........................................................................................................................................................................................................加權(quán)線性算法的一階誤差分析.....................加權(quán)齊次線性方程組...........................................實(shí)驗(yàn)結(jié)果.......................................................... ......................本章小結(jié)..............................................................................................一維標(biāo)定的基本原理......................-v.......................................................................................................歸一化對(duì)相對(duì)深度估計(jì)量的影響.......... ..........標(biāo)記點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)FNLA............................................相對(duì)深度的新估計(jì)量..新估計(jì)量的精度分析........................................J=3時(shí)的精度分析.................J>3時(shí)的精度分析...............................................................................................關(guān)于IAC.......................實(shí)驗(yàn)結(jié)果.................................................................................................................................本章小結(jié)...............................................................................................................................................基于QoS的算法.........................C1S和C1A......................C2A.........................線性算法DLT-Like.........................................................線性化...........................................................DLT-Like算法與現(xiàn)有線性算法的關(guān)系.............................................. ......................-vi ............... .................................................................................................實(shí)驗(yàn)結(jié)果...................................................................................................................................本章小結(jié)..........................................................................................i致-vii-viii-viii插圖目1-1-1-1-1-1-1-1-............插圖目1-1-1-1-1-1-1-1-......................3456678針孔攝像機(jī)模型.................................................雙目攝像機(jī)成像示意圖..................................................三種常用標(biāo)定物............................. .........................2-二次曲線的圖像及用于擬合的30個(gè)圖.............3-3-3-3-3-3-3-3-3-一維標(biāo)定物成像示意圖.........................k(J)隨J變化的趨勢(shì)...........................std(?(3))隨J.........................istd(?(3))和std(?(4))隨J...................ii模擬實(shí)驗(yàn)中三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)時(shí)的精度比較.................模擬實(shí)驗(yàn)中多個(gè)標(biāo)記點(diǎn)時(shí)的精度比較.........................................................................4-4-4-4-4-4-4-4-4-............................................................標(biāo)定物一個(gè)姿態(tài)在兩個(gè)視圖中的圖像.................146個(gè)線段的端點(diǎn)在兩個(gè)視圖中的圖...............重建的146個(gè)線段和攝像機(jī)姿.............................................-ix-x-x表格目1- .表格目1- .........................三種...........三種?...........一維標(biāo)定線性算法的對(duì)比........................2-2-3--xi-xii-xii第一緒論 研究第一緒論 研究依據(jù)待標(biāo)定攝像機(jī)的數(shù)目，攝像機(jī)標(biāo)定可以分為單攝像機(jī)標(biāo)定和多攝像機(jī)標(biāo)定這兩類。通過(guò)使用預(yù)先標(biāo)定的單攝像機(jī)進(jìn)行自由移動(dòng)以拍攝物體在多個(gè)角度下的圖像，可以重建出其三維結(jié)構(gòu)[1–3]、確定攝像機(jī)自身的移動(dòng)軌跡[4–7、在物體的圖像中添加虛擬元素以實(shí)現(xiàn)虛擬現(xiàn)實(shí)8,9等。使用內(nèi)外參數(shù)預(yù)先標(biāo)定的多攝像機(jī)，可以更加精確地獲得其公共視野中物體的三維結(jié)構(gòu)014]5,16]。在計(jì)算機(jī)視覺(jué)的以上應(yīng)用中，攝像機(jī)的高精度標(biāo)定對(duì)于系統(tǒng)的精度及魯棒性非常重要。為了獲得攝像機(jī)的高精度標(biāo)定結(jié)果，通常需要使用度量信息已知的物體來(lái)作為標(biāo)定物7–3]。在這些標(biāo)定物中，一維物體具有制作簡(jiǎn)單、攜帶方便及不會(huì)發(fā)生自遮擋等優(yōu)點(diǎn)，所以基于一維物體的攝像機(jī)標(biāo)定尤其是多攝像機(jī)標(biāo)定具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。在攝像機(jī)標(biāo)定過(guò)程中，一維物體的尺寸、標(biāo)記點(diǎn)個(gè)數(shù)、運(yùn)動(dòng)次數(shù)都會(huì)影響最終的標(biāo)定精度，其中一維物體應(yīng)當(dāng)在不超出攝像機(jī)的可視范圍的前提下盡量長(zhǎng)；標(biāo)記點(diǎn)應(yīng)在保證其能被魯棒檢測(cè)并較精確定位的前提下盡量多；一維物體應(yīng)當(dāng)在不影響方便性的前提下使運(yùn)動(dòng)次數(shù)盡量多。當(dāng)一維物體在一定運(yùn)動(dòng)次數(shù)下的圖像給定，并且提取出其標(biāo)記點(diǎn)的帶噪聲的測(cè)量值，此時(shí)使用不同的算法利用這些測(cè)量值進(jìn)行攝像機(jī)標(biāo)定也會(huì)具有不同的精度。現(xiàn)有線性算法的精度受圖像點(diǎn)噪聲的影響比較嚴(yán)重，因而本文的研究方向 預(yù)備在本節(jié)及本文后續(xù)章節(jié)中，標(biāo)量使用斜體表示（例如x,y,z），列向量使用黑斜體表示（例如x,y,z），矩陣使用黑體表示（例如X,Y,Z），xT（XT）示向量x（矩陣X）-1 射影空間與視覺(jué) 歐式平面坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)可以用二維坐標(biāo)來(lái)表示，例如點(diǎn)x2)T 射影空間與視覺(jué) 歐式平面坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)可以用二維坐標(biāo)來(lái)表示，例如點(diǎn)x2)T直線的一般方程為ax1bx2c=0，其中(abc)為描述直線的參數(shù)。令x(x1x21)Tlabc)T，則直線的一般方程ax1bx2c0(1-lTx=在(1-1)如果對(duì)x或l的三個(gè)分量同時(shí)乘以一個(gè)非零系數(shù)k等式關(guān)系依然成立。于是，(x1x21)T和k(x1x21)T表示同一個(gè)點(diǎn)，(abc)T和k(abc)T表示同一條直線。這里稱x和l為分別為點(diǎn)和直線的齊次坐標(biāo)，相應(yīng)地稱?=(x1,x2)T為點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)。使用符號(hào)“∝”表示齊次坐標(biāo)間的等價(jià)關(guān)系，即(x1x21)T∝k(x1x21)T，(abc)T∝k(abc)T。任意一個(gè)最后一維非零的三維向量(x1x2w)T(w6=0)都表示歐式平面一個(gè)點(diǎn)。另外定義無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為齊次坐標(biāo)的最后一維為零的點(diǎn)，其齊次坐標(biāo)的形式為(x1,2,0)T。所有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)都在一條直線上，這條直線稱為無(wú)窮遠(yuǎn)直線，其坐標(biāo)為∞=k(0,,1)T。所有歐式平面中的點(diǎn)加上無(wú)窮遠(yuǎn)直線構(gòu)成二維射影空間，也稱為射影平面二維射影空間中的一個(gè)二次曲線上的點(diǎn)滿足C11x212C12x1x2+C22x22(C13x1C23x2C33=0，也可以寫成xTCx=0，其中C是二次曲線的系數(shù)矩C11C12C(1-=0仍然成立，這表示表示的也是二次曲線的齊次坐標(biāo)。經(jīng)過(guò)點(diǎn)x且與C相切的直線由lCx給出。對(duì)于非退化二次曲線，C是可逆矩陣，因而x=C?1l，可以驗(yàn)證lTC?1l=0。這x=H21H22H31H32(1--2H為k(0,0,1)T時(shí)，這種特殊的射影變換稱為仿射變換?？梢则?yàn)證在仿射變H為k(0,0,1)T時(shí)，這種特殊的射影變換稱為仿射變換?？梢则?yàn)證在仿射變下無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)保持為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即無(wú)窮遠(yuǎn)直線保持不變。對(duì)于一般的射影變換，無(wú)窮遠(yuǎn)直線在射影變換下不再具有不變性。然而，射影變換保持點(diǎn)的共線關(guān)系[24,25]對(duì)圖像點(diǎn)做變換x0=Hx之后，則相應(yīng)地直線l在變換后的坐標(biāo)為l0H?Tl，二次曲線C在變換后的系數(shù)矩陣為C0=H?TCH?1。這里H?T是(H?1)T0及0T01(HT)?1的簡(jiǎn)寫?？梢则?yàn)證0T=0、0T0==0上、點(diǎn)在二次曲線上及直線與二次曲線相切依然成立，如圖1-1HCxl 圖1-二維射影變換保留點(diǎn)、直線、二次曲線 在三維歐式空間中，一個(gè)點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為 =(X1,X2,X3)T，=k(X1X2X31)T。點(diǎn)與所在的平面的關(guān)系可以表示應(yīng)的齊次坐標(biāo)為為π1X1π2X2+π3X3+π4=0(π1π2π3π4)為表示平面的參數(shù)。令π=(π1π2π3π4)TπTX=(1- 0)T。所有無(wú)窮點(diǎn)都在一個(gè)平面上，這個(gè)平面稱為無(wú)窮遠(yuǎn)平面，其坐標(biāo)為π∞=k(0001)T三維射影空間中的一個(gè)二次曲面上的點(diǎn)滿足Q11X2+12Q12X1X2+Q22X22Q13X1X32Q23X2X3Q33X22(Q14X1Q24X2Q34X3Q44=03-3以寫成XTQX=0，其中QQ11Q12Q13Q(1-Q以寫成XTQX=0，其中QQ11Q12Q13Q(1-Q13Q23Q33Q14Q24Q34因?yàn)閷?duì)Q中的元素整體乘以一個(gè)尺度因子之后，0仍然成立，這表示 表示的也是二次曲面的齊次坐標(biāo)。經(jīng)過(guò)點(diǎn)X且與二次曲面Q相切的平為π=QX?？梢则?yàn)證所有與Q相切的平面都滿足的是二次曲面QH11H12H13=0，此處Q?1H21H22H23H24H31H32H33H41H42H43XX=(1-其中變換矩陣H為任意4階可逆矩陣。當(dāng)H的最后一行是k(0,0,0,1)T時(shí)，此時(shí)的即無(wú)窮遠(yuǎn)平面保持不變。對(duì)于一般的射影變換，無(wú)窮遠(yuǎn)平面在射影變換下不具有不變性對(duì)射影空間做(1-6)所示的射影變換后，平面π和二次曲面Q在變換后的坐標(biāo)分別為π0H?Tπ和Q0H?TQH?1?？梢则?yàn)證π0TX00、X0TQ0X00及0T01=0，于是點(diǎn)在平面上、點(diǎn)在二次曲面上及平面與二次曲面依然成立，如圖1-2QHXπ圖1-三維射影變換保留點(diǎn)、平面、二次曲面 針孔攝像機(jī)模型是最簡(jiǎn)單的成像模型，其成像過(guò)程如圖1-3所示。在針孔-4YXXvuxCZ1-3針孔攝像機(jī)模像機(jī)模型中，空間點(diǎn)XXYZ1)T于Z軸且與原點(diǎn)距離為ff00fYXXvuxCZ1-3針孔攝像機(jī)模像機(jī)模型中，空間點(diǎn)XXYZ1)T于Z軸且與原點(diǎn)距離為ff00f00uv1ff1?x==(1-在數(shù)碼攝像機(jī)中，成像元件CCD或者CMOS傳感器作為成像平面。由于圖像坐標(biāo)系的定義不同以及成像元件的制造工藝限制，通?？臻g點(diǎn)X的圖點(diǎn)x具有以下形γ0001?=K?(1-x其中K稱為攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣，fv)表示圖像平面上兩個(gè)坐標(biāo)軸的尺度因子，主點(diǎn)(u0,v0)表示Z軸上點(diǎn)的像，γ[26]對(duì)下世界坐標(biāo)系可以任意選擇。同一個(gè)空間點(diǎn)在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)Xc世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)Xw存在以下關(guān)RXc(1-X1以上變換關(guān)系如圖1-4所示將方程(1-9)代入到(1-8)，得到世界坐標(biāo)系下空間點(diǎn)Xw與其圖像點(diǎn)x的關(guān)為(1-x∝K[R,t]Xw=其中，P稱為攝像機(jī)的投影矩陣，R和t稱為攝像機(jī)的外參-5R,Z1-4世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)R,Z1-4世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)三維空間中絕對(duì)二次曲線?∞為無(wú)窮遠(yuǎn)平面∞上的一條二次曲線，在歐式坐標(biāo)系中?∞上的點(diǎn)X=(XYZ0)T滿足X2+Y2+Z2=0。絕對(duì)二次曲線?∞在攝像機(jī)P中的像為ω=K?TK?1，這里ω的形式與攝像機(jī)外參數(shù)R，t無(wú) 假設(shè)兩個(gè)攝像機(jī)的投影矩陣分別為P1=K1[I|0]和P2=K2[R|t]，此時(shí)世界 =K1RTt且e2 =K2t?？臻g點(diǎn)X在兩個(gè)攝像機(jī)中的圖像分別為x1=P1X及x2=P2X。圖1-5為雙目攝像機(jī)成像示意圖。XC21-5雙目攝像機(jī)成像示-6對(duì)于任意的空間點(diǎn)X，其兩個(gè)圖像點(diǎn)x對(duì)于任意的空間點(diǎn)X，其兩個(gè)圖像點(diǎn)x1及x2均滿足如下關(guān)(1-其中矩陣F[e2]×K2RK11=K?2TRK1[e1]×稱為兩個(gè)攝像機(jī)的基礎(chǔ)矩陣，其秩為2且e1和e2分別為F的右零向量和左零向量?；A(chǔ)矩陣F僅僅由兩個(gè)攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)及相對(duì)姿態(tài)決定，與世界坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。當(dāng)兩個(gè)攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)已知時(shí)，定義兩個(gè)攝像機(jī)中的歸一化圖像點(diǎn)分為1=K11x1及2=K21x2，此時(shí)x01和x02滿足如下關(guān)0 Ex=(1- 其中矩陣E=[t]×R=R[RTt]×1-6多攝像機(jī)成像示當(dāng)攝像機(jī)個(gè)數(shù)為n(n≥2)時(shí)，使用Pi=Ki[Ri|ti](i=12n)表示第i個(gè)攝像機(jī)的投影矩陣，xi=PiX表示X在第i個(gè)攝像機(jī)中的圖像，如圖1-6同n=2時(shí)如(1-11)所示關(guān)系類似，在n=3和n=4 攝像機(jī)標(biāo) 單攝像機(jī)標(biāo)定即確定其內(nèi)參數(shù)矩陣或者其投影矩陣。這個(gè)過(guò)程通常需要借助于一個(gè)度量結(jié)構(gòu)已知的物體即標(biāo)定物。常用的標(biāo)定物按照其標(biāo)記點(diǎn)的維度分為三維標(biāo)定物、二維標(biāo)定物及一維標(biāo)定物，如圖1-7所示。圖1.7(a)[17][27,28]-7(a)三維標(biāo)(b)二維標(biāo)(a)三維標(biāo)(b)二維標(biāo)1-7三種常用標(biāo)定(c)一維標(biāo)個(gè)能夠精確控制位移的平面圖案，這個(gè)標(biāo)定裝置也等價(jià)與一個(gè)三維標(biāo)定物。三維標(biāo)定物上每個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的三維坐標(biāo)是已知的，因而可以通過(guò)方程(1-10)求解攝像機(jī)投影矩陣并最終分解得到攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。使用三維標(biāo)定物進(jìn)行攝像機(jī)標(biāo)定僅僅需要攝像機(jī)拍攝其一幅圖像，并且因?yàn)槭褂萌S標(biāo)定物容易獲得較高的標(biāo)定精度，所以三維標(biāo)定物常用于攝像機(jī)高精度標(biāo)定中。三維標(biāo)定物雖然在標(biāo)二維標(biāo)定物,19]中的相對(duì)位置已知的標(biāo)記點(diǎn)都位于一個(gè)平面內(nèi)，如圖1.7(b)所示。標(biāo)定攝像機(jī)的五個(gè)內(nèi)參數(shù)需要拍攝二維標(biāo)定物至少3次不同姿態(tài)的圖像。這個(gè)標(biāo)定過(guò)程通常分為三步：首先計(jì)算二維標(biāo)定物上標(biāo)記點(diǎn)在歐式坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與其在每幅圖像中對(duì)應(yīng)投影點(diǎn)坐標(biāo)的單應(yīng)矩陣，然后利用這些單應(yīng)矩陣構(gòu)造關(guān)于絕對(duì)二次曲線的像的線性約束并求解，最后利用絕對(duì)二次曲線的像分解得到內(nèi)參數(shù)矩陣。攝像機(jī)不同姿態(tài)的外參數(shù)也可以在求解內(nèi)參數(shù)矩陣后方便地恢復(fù)出來(lái)。二維標(biāo)定物的制作工藝比三維標(biāo)定物簡(jiǎn)單因此造價(jià)更低，并且也更容易制作成較大的尺寸。對(duì)于一般的標(biāo)定精度要求，甚至可以使用普一維標(biāo)定物0–22,29]由多個(gè)共線的點(diǎn)構(gòu)成，如圖1.7c)所示。在標(biāo)定單攝像機(jī)時(shí)，一維標(biāo)定物上至少需要有三個(gè)距離已知的標(biāo)記點(diǎn)，并且需圍繞其中一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或者保證其中一個(gè)或者全部標(biāo)記點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。一維標(biāo)定的一般步驟是首先構(gòu)造對(duì)絕對(duì)二次曲線的像的線性約束然后求解并分解得到攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)，在這個(gè)過(guò)程中一維標(biāo)定物的運(yùn)動(dòng)參數(shù)也可以恢復(fù)出來(lái)。一維標(biāo)定物的制作非常簡(jiǎn)單，僅僅需要固定幾個(gè)標(biāo)記點(diǎn)在一個(gè)直桿上。一維標(biāo)定物也容易制作成較大的尺寸，并且其占用的空間小、方便攜帶。由于一維標(biāo)定物具有以上優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)基于一維標(biāo)定物的攝像機(jī)標(biāo)定獲得了廣泛的關(guān)注[30–32]-8 在多攝像機(jī)標(biāo)定方法中，自標(biāo)定方法不需要借助于單攝像機(jī)標(biāo)定時(shí)所 在多攝像機(jī)標(biāo)定方法中，自標(biāo)定方法不需要借助于單攝像機(jī)標(biāo)定時(shí)所必需的標(biāo)定物，然而需要對(duì)攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù),33–36]或者攝像機(jī)的運(yùn)動(dòng)方式7–39]做一些約束。自標(biāo)定方法一般通過(guò)求解絕對(duì)二次曲線的像或者絕對(duì)二次曲面來(lái)升級(jí)射影重建到歐式重建并標(biāo)定攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。由于自標(biāo)定方法不需要借助于標(biāo)定物，使用自標(biāo)定方法進(jìn)行多攝像機(jī)標(biāo)定具有較大的靈活性。但是，一般情況下自標(biāo)定方法的標(biāo)定精度不高，所有其大部分應(yīng)用都是在不方在使用標(biāo)定物（三維標(biāo)定物、二維標(biāo)定物及一維標(biāo)定物）進(jìn)行多攝像機(jī)標(biāo)定時(shí)，可以通過(guò)以下步驟完成整體標(biāo)定：首先分別標(biāo)定各個(gè)攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)及其相對(duì)于標(biāo)定物的外參數(shù)；然后把各個(gè)攝像機(jī)的外參數(shù)統(tǒng)一到一個(gè)公共的世界坐標(biāo)系中,41]。以上過(guò)程通常需要多個(gè)攝像機(jī)同時(shí)觀察到標(biāo)定物上的所有標(biāo)記點(diǎn)，否則統(tǒng)一各個(gè)攝像機(jī)的外參數(shù)到一個(gè)公共的世界坐標(biāo)系時(shí)需要增量式地逐步添加以上攝像機(jī)，這個(gè)增量式過(guò)程會(huì)帶來(lái)誤差累計(jì)而影響整體標(biāo)定精度。當(dāng)待標(biāo)定的多個(gè)攝像機(jī)環(huán)繞其公共視野區(qū)域時(shí)（如圖1-8所示），使用三維物體和二維物體會(huì)因?yàn)樽哉趽醵斐蓸?biāo)記點(diǎn)不能同時(shí)被全部攝像機(jī)觀察到，然而一維物體可以從各個(gè)角度觀察到而無(wú)自遮擋情況。在使用一維物體進(jìn)行多攝像機(jī)標(biāo)定時(shí)，一維標(biāo)定物可以做任意運(yùn)動(dòng)42–47]，并且其標(biāo)記點(diǎn)個(gè)數(shù)可以進(jìn)一步減少到兩個(gè)[23]。只有兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的一維標(biāo)定物比傳統(tǒng)的一維標(biāo)定物更容易制作，但是現(xiàn)有的標(biāo)定算法3]的精度受圖像點(diǎn)噪聲影響較大且容易發(fā)生標(biāo)定失敗的情況，因此本文將研究如何提高使用兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的一維物體做多攝像機(jī)標(biāo)參數(shù)估計(jì)算在第1.2.2節(jié)中的攝像機(jī)標(biāo)定問(wèn)題以及計(jì)算機(jī)視覺(jué)中其他參數(shù)估計(jì)問(wèn)題-91-8多攝像機(jī)系統(tǒng)示數(shù)據(jù)xi(i=121-8多攝像機(jī)系統(tǒng)示數(shù)據(jù)xi(i=12N)與模型的參數(shù)的關(guān)系可以寫成Fx)=0的形式，因此以上參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的任務(wù)就是從數(shù)據(jù)xi反推出參數(shù)值θ。通常從圖像中提取得到的觀測(cè)值xi會(huì)不可避免地存在定位誤差，因而當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)N超過(guò)確定θ所需的最少數(shù)目時(shí)，一般不存在θ使得Fxi;θ)=0對(duì)于所有的xi都成立。此時(shí)，使用不同的算法來(lái)估計(jì)θ會(huì)得到不同的估計(jì)精度 三焦張量等）的估計(jì)問(wèn)題中，數(shù)據(jù)xi與模型的參數(shù)θ的關(guān)系F(xiθ)=0可以寫ξTθ=(1-i二次曲線一般方程為C11x21+2C12x1x2+C22x2+2(C13x1+C23x2)2C330ξ=(x2,2x1x2,x2,2x1,2x2,12θ=(C11,C12,C22,C13,C23,(1-令平面標(biāo)定算法[18]中圖像點(diǎn)與棋盤格標(biāo)記點(diǎn)的單應(yīng)矩陣H-10二次曲線的像ω分別h11h12h31h32h33ω11ω12ω12ω22ω二次曲線的像ω分別h11h12h31h32h33ω11ω12ω12ω22ω13ω23Hω(1-則H與ω滿hTωh2=1T(1-2=1=(h11h21,h11h22+h12h21,h12h22,h11h23+h13h21,+h13h22,ξ(2)=,2h11h12,h2,2h11h13,2h12h13,2θ=(ω11,ω12,ω22,ω13,ω23,(1-例1.1及例1.2分別給出了在二次曲線擬合和攝像機(jī)一維標(biāo)定的線性算法中參令矩陣A為[ξ1,ξ2,...,ξn]T，于是從(1-13)得到關(guān)于θ的齊次線性方程Aθ=(1-因?yàn)棣葹榱阆蛄繒r(shí)精確滿足方程組(1-18)，但這個(gè)零向量不是有意義的解，所需要對(duì)θ的尺度施加約束。在約束θTθ=1下，方程組(1-18)2=argmin s.t.θθ=(1-θ通常較低。文獻(xiàn)[48]提出對(duì)數(shù)據(jù)xi(1-=i=1,2,...,i-11使用歸一化的數(shù)據(jù)點(diǎn)x0構(gòu)造歸一化參數(shù)θ0的方iA0θ0=然后通過(guò)奇異使用歸一化的數(shù)據(jù)點(diǎn)x0構(gòu)造歸一化參數(shù)θ0的方iA0θ0=然后通過(guò)奇異值分解來(lái)獲得θ0在尺度約束(1-0=1下的最小二乘解D0D對(duì)進(jìn)行反歸一化得到參數(shù)θ的估計(jì)量θNLS1。這種對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理文獻(xiàn)[49–57]基于對(duì)θ估計(jì)量偏差的分析提出直接對(duì)θ約束θTNθ=1下，計(jì)算方程組(1-18)的最小二乘解θNLS2=argmin(1-s.t.θNθ=θMθ=(1- 在估計(jì)θ的線性算法中，最小二乘解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函X (1-i X (1-i其中加權(quán)矩陣W=Diag(w1w2wn)。最小化目標(biāo)函數(shù)(1-25)與最小化(1-都需要約束θ的尺度。目標(biāo)函數(shù)(1-25)在約束θTNθ=1θWLS=argmin(WAθ)TWAθs.t.θTNθ=(1-θ方法是使用數(shù)據(jù)點(diǎn)xi(i=12n)不確定度來(lái)確定相應(yīng)的權(quán)重wi。權(quán)重wi設(shè)-12據(jù)xi的不確定度。在文獻(xiàn)[20,58]中，權(quán)重wi1wi=(1-其中)為xi的協(xié)方差矩陣的跡。利用這種權(quán)重計(jì)算方法的加權(quán)線性算稱為簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法，該算法不需要對(duì)θ的據(jù)xi的不確定度。在文獻(xiàn)[20,58]中，權(quán)重wi1wi=(1-其中)為xi的協(xié)方差矩陣的跡。利用這種權(quán)重計(jì)算方法的加權(quán)線性算稱為簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法，該算法不需要對(duì)θ的初始估計(jì)，且在加權(quán)求得θWLS后不需要迭代。簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的精度能夠比未加權(quán)的線性算法的精度有顯著提高且計(jì)算量基本相當(dāng)。然而，在不同數(shù)據(jù)點(diǎn)xi具有相同的不確定度時(shí)，簡(jiǎn)在文獻(xiàn)[51,59]的迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，計(jì)算權(quán)重wi的代數(shù)殘差與幾何殘差在一階近似中等價(jià)，其中權(quán)重wi1wi=(1- ?ξTixi組得到θ的新估計(jì)量之后，文獻(xiàn)[51,59]更新權(quán)重以迭代計(jì)算θ的新估計(jì)量，直至nVi(1-?ξV?ξ|Ti| iθˉ表示xθξ x=其中，ξ 分別表示、ˉ處的衡iiiiii以上迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中的迭代加權(quán)過(guò)程會(huì)引入較大的計(jì)算量。文獻(xiàn)60]提出利用θ的初始估計(jì)量計(jì)算最優(yōu)權(quán)重i，在求解加權(quán)線性方程組之后不再迭代，這種非迭代的最優(yōu)加權(quán)線性算法避免了使用迭代加權(quán)因而計(jì)算量更小。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)未對(duì)其估計(jì)量的一階誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣作分析。實(shí)際上，不采用迭代加權(quán)的最優(yōu)加權(quán)線性算法解的一階誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣也等于CR簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法以及最優(yōu)加權(quán)線性算法比線性算法具有更高的精度，并且都比基于迭代優(yōu)化的非線性算法–69]的計(jì)算量小，因而在對(duì)計(jì)算量要求嚴(yán)格的應(yīng)用場(chǎng)合具有更大的優(yōu)勢(shì)。另外，非線性算法也需要其提供的初始值，一般情況下精度高的初始值會(huì)增加非線性算法收斂到全局最優(yōu)解的可能，同時(shí)也會(huì)降低非線性算法的迭代次數(shù)。本小節(jié)三種加權(quán)線性算法的對(duì)比，如表1-1-13示一不需一能需多能1-1加權(quán)線性算法的論示一不需一能需多能1-1加權(quán)線性算法的論文的研究?jī)?nèi)容及組織論文的1、加權(quán)線性算法的一階誤差分析。首先對(duì)簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)做分析，發(fā)現(xiàn)權(quán)重的一階誤差項(xiàng)不影響加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)，從而得到計(jì)算簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)潔表達(dá)式；然后將以上結(jié)論應(yīng)用到最優(yōu)加權(quán)線性算法中，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同的一階誤差項(xiàng)，因而最優(yōu)加權(quán)線性算法可以在不影響精度的前提下降低了計(jì)算量2、基于一維物體的單攝像機(jī)的加權(quán)線性算法。首先為一維標(biāo)定物移動(dòng)端標(biāo)記點(diǎn)的相對(duì)深度提出一個(gè)具有相似不變性的估計(jì)量，并基于該估計(jì)量提出一個(gè)標(biāo)定精度更高的線性算法；然后利用相對(duì)深度估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)對(duì)該線性算法中線性方程組進(jìn)行加權(quán)，得到一個(gè)簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法；最后對(duì)相對(duì)深度和絕對(duì)二次曲線的像的線性方程組都進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)，進(jìn)而提出一個(gè)最優(yōu)加權(quán)線性算3、使用線段標(biāo)定多攝像機(jī)的加權(quán)線性算法。線段是只有兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的一維物體，在多攝像機(jī)標(biāo)定中不易發(fā)生自遮擋。首先為使用線段進(jìn)行歐式升級(jí)并標(biāo)定多攝像機(jī)的約束方程提出新的線性化方法，進(jìn)而得到一個(gè)新的線性算法；然-14對(duì)以上線性算法的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，最終得到精確的歐式升級(jí)和多攝像機(jī)系統(tǒng)標(biāo)定的結(jié)果。論文的對(duì)以上線性算法的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，最終得到精確的歐式升級(jí)和多攝像機(jī)系統(tǒng)標(biāo)定的結(jié)果。論文的-15-16-16第二章第二加權(quán)線性第二章第二加權(quán)線性算法的一階誤差 引一般情況下計(jì)算機(jī)視覺(jué)問(wèn)題中的圖像點(diǎn)測(cè)量值都不可避免地存在定位誤差，這些定位誤差也稱為圖像點(diǎn)測(cè)量值的噪聲。計(jì)算機(jī)視覺(jué)問(wèn)題使用這些帶噪聲的圖像點(diǎn)測(cè)量值來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到的估計(jì)量也會(huì)受到這些噪聲的影響而產(chǎn)生估計(jì)誤差。參數(shù)估計(jì)量的好壞可以使用其誤差的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)衡量。當(dāng)待估計(jì)參數(shù)為標(biāo)量時(shí)，常用的統(tǒng)計(jì)特性有偏差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、均方根誤差等；當(dāng)待估計(jì)參數(shù)為一個(gè)向量時(shí)，常用的統(tǒng)計(jì)特性有偏差向量、協(xié)方差計(jì)算機(jī)視覺(jué)中許多基本問(wèn)題（例如估計(jì)單應(yīng)矩陣、基礎(chǔ)矩陣、攝像機(jī)投影矩陣等）都存在線性算法。線性算法能直接給出參數(shù)的估計(jì)量且計(jì)算量較小，又可以作為其他非線性算法的初始值，因而具有廣泛的應(yīng)用。線性算法雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，然而其估計(jì)精度通常比非線性算法低。為了進(jìn)一步提高線性算法的精度，對(duì)其線性方程組進(jìn)行加權(quán)進(jìn)而可以得到加權(quán)線性算法。對(duì)線性算法和加權(quán)線性算法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)意義下的精度分析，可以給出其誤差的可能范圍。另外，通過(guò)對(duì)比線性算法和加權(quán)線性算法誤差的不同可能范圍，也有助于研究加權(quán)對(duì)精在圖像點(diǎn)噪聲的幅度相對(duì)較小的情況下，線性算法解的偏差一般都小于其標(biāo)準(zhǔn)差7]，因而此時(shí)可以使用其一階誤差項(xiàng)來(lái)近似表示誤差。當(dāng)線性算法使用齊次線性方程組時(shí)，文獻(xiàn),58]給出了其一階誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)潔形式；當(dāng)線性算法使用非齊次線性方程組時(shí)，文獻(xiàn)[70]基于奇異值分解的一階誤差傳播模型來(lái)計(jì)算其一階誤差項(xiàng)。由于奇異值分解的一階誤差傳播模型計(jì)算量大，所以有必在分析加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)時(shí)，理論上可以將其加權(quán)線性方程類比線性算法中的線性方程組，然后應(yīng)用文獻(xiàn),,70]權(quán)線性算法的權(quán)重也受噪聲影響時(shí)，采用以上方法求解一階誤差項(xiàng)的過(guò)程會(huì)變得更加復(fù)雜。文獻(xiàn)]給出了迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)，但是沒(méi)有-17誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)潔形式。然后，分別對(duì)使用齊次線性方程組和使用非齊次線性方程組的簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法解進(jìn)行分析，得出簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)不受權(quán)重的一階誤差項(xiàng)影響的結(jié)論。最后，通過(guò)將這一結(jié)論應(yīng)用到最優(yōu)加權(quán)線性算法中，得到最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同一階誤差項(xiàng)的參數(shù)估計(jì)量的協(xié)方在參數(shù)估計(jì)算法中參數(shù)θ的估計(jì)量是關(guān)于圖像點(diǎn)測(cè)量值x的函數(shù)，表示ˉ=ˉ?(2-誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)潔形式。然后，分別對(duì)使用齊次線性方程組和使用非齊次線性方程組的簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法解進(jìn)行分析，得出簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)不受權(quán)重的一階誤差項(xiàng)影響的結(jié)論。最后，通過(guò)將這一結(jié)論應(yīng)用到最優(yōu)加權(quán)線性算法中，得到最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同一階誤差項(xiàng)的參數(shù)估計(jì)量的協(xié)方在參數(shù)估計(jì)算法中參數(shù)θ的估計(jì)量是關(guān)于圖像點(diǎn)測(cè)量值x的函數(shù)，表示ˉ=ˉ?(2-?x+O(?xx)?θ?表示x的偏導(dǎo)數(shù)矩陣或者Jacobian?|x=xˉ表示在x=ˉ處量，O(?xT?x)表示?x的二階無(wú)窮小項(xiàng)。在?x趨向于零的過(guò)程中，?θ?由? ?x來(lái)主導(dǎo)。因而在圖像點(diǎn)真實(shí)值一階項(xiàng)ˉ的鄰域內(nèi)可以使?(2-??定義圖像點(diǎn)測(cè)量值x的協(xié)方差矩陣為Vx，則其誤差項(xiàng)?x的協(xié)方差矩陣也為Vx。利用表達(dá)式(2-2)中的近似，可以得出的協(xié)方差矩陣??(2-表達(dá)式(2-3)表明計(jì)算參數(shù)估計(jì)量的協(xié)方差矩陣Vθ?時(shí)，關(guān)鍵在于計(jì)算其?|ˉ不道，通常使用以下兩種方法來(lái)近似?x|x=xˉ：第一種方法是在測(cè)量值x差分計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣；第二種方法是首先用解析法求出?θ?的表達(dá)式，然后代?作為[58,71]線性算法的一階誤齊次線當(dāng)線性算法中的參數(shù)θ是齊次形式時(shí)，使用圖像點(diǎn)xi(i=12n)-18第二章造一組關(guān)于θAθ=方程組(2-4)在尺度約束θTNθ=1(2-2=argmin(2-s.t.θNθ=θ其中N為對(duì)稱矩陣。當(dāng)矩陣N第二章造一組關(guān)于θAθ=方程組(2-4)在尺度約束θTNθ=1(2-2=argmin(2-s.t.θNθ=θ其中N為對(duì)稱矩陣。當(dāng)矩陣N取值為單位矩陣時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性算法就性算法。當(dāng)對(duì)圖像點(diǎn)使用Harty的歸一化方法48]進(jìn)行預(yù)處理之后再計(jì)算最小二乘解時(shí)，也存在一個(gè)N使得帶約束的最小二乘算法與歸一化線性算法等價(jià)。文獻(xiàn)9–7給出了更多的關(guān)于的選取。另外，文獻(xiàn)7]也指出無(wú)論怎么選取?1,?2,,?n獻(xiàn)[57,58]中給出的線性算法解的一階誤差項(xiàng)的形式，很容易推導(dǎo)出θLS關(guān)于系數(shù)矩陣A中元素的偏導(dǎo)數(shù)在x的真實(shí)值ˉ處的衡量：?ˉ(2-[25]，符號(hào)“?”其中vec(A)為A中的元素按行優(yōu)先的順序組成的一個(gè)列向量 [72]，ˉˉA)(2-= ?θˉˉ+T這里?vec(A)具有分塊對(duì)角的形式，其第i個(gè)子矩陣是 。在將圖像測(cè)量數(shù)據(jù)x??i入到(2-7)估計(jì)真實(shí)值處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，因?yàn)榫仃噦文娴挠?jì)算依賴矩陣秩的確所以在計(jì)算ˉ+時(shí)需考慮到ˉ不滿秩。令參數(shù)θ的維度為r，則ˉ的秩為ˉ?1，非齊次線性方當(dāng)線性算法中的參數(shù)使用非齊次形式時(shí)，使用圖像點(diǎn)xi(i=12n)以構(gòu)造一組關(guān)于的約束方程ξ0T?(2-(i=1,2,...,i令矩陣A0為[ξ10ξ20ξn0]T，向量b為[b1b2bn]T，于是得到關(guān)于的非齊次A0?(2-在計(jì)算非齊次線性方程組(2-9)的最小二乘解時(shí)，不需要對(duì)的尺度做約束。非-19次線性方程組(2-9)的最小二乘解b(2-為了計(jì)算θ?LS對(duì)A0中元素的偏導(dǎo)數(shù)，首先計(jì)算+中元素對(duì)A0中元素的偏數(shù)?+ ?T01T)=?0?0=(I?A0)?T01)?I]?T[(0)?0?T次線性方程組(2-9)的最小二乘解b(2-為了計(jì)算θ?LS對(duì)A0中元素的偏導(dǎo)數(shù)，首先計(jì)算+中元素對(duì)A0中元素的偏數(shù)?+ ?T01T)=?0?0=(I?A0)?T01)?I]?T[(0)?0?T?0?000000=?(I?A)[(AA ?(AA ][(I?A+ ??I]?T0)0A)0)?0(0A)0T?T[(0A)1(0A)?0?I]?T?0?+T0T]?T?I]?T0A++T0)=?0?0(2-0)+0T?T++T?0然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒é?LS對(duì)A0中元素的偏導(dǎo)數(shù)??LS ?+?0?0){[(A0)+0T?T++T?0+0T+bT)]?T0)+A?0?T?0?T T00T(2-=[(AA +b— ˉˉˉ?LS?[ˉ0+(2-θ?LS對(duì)b的偏導(dǎo)數(shù)在真實(shí)值ˉ處的結(jié)果?=ˉ+(2--20第二章θ?LS關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)在真實(shí)值ˉ處衡量??(ˉ?T+ˉ+(2-0這里具有分塊對(duì)角的形式，其第i個(gè)子矩陣是ξi。在將圖像測(cè)量數(shù)據(jù)x??iˉ以直接用0第二章θ?LS關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)在真實(shí)值ˉ處衡量??(ˉ?T+ˉ+(2-0這里具有分塊對(duì)角的形式，其第i個(gè)子矩陣是ξi。在將圖像測(cè)量數(shù)據(jù)x??iˉ以直接用0+來(lái)近似ˉ0。 加權(quán)線性算法的一階誤差分加權(quán)齊次線性方在對(duì)齊次線性方程組(2-4)進(jìn)行加權(quán)時(shí)，通常做法是在對(duì)θ的尺度施加約束條件下最小化代數(shù)殘差的加權(quán)范數(shù)，即θ估計(jì)量的一般形θWLS=argmin(Aθ)TMAθs.t.θTNθ=(2-θ其中矩陣M通常是對(duì)稱正定矩陣，因而可以對(duì)其進(jìn)行Cholesky分解表示為=WTW。于是，可以得出θWLS是下述加權(quán)線性方程組在約束=1(2-在文獻(xiàn)[51,59,60]的加權(quán)線性算法中，加權(quán)矩陣W會(huì)受到數(shù)據(jù)點(diǎn)x噪聲的影響，因此本節(jié)接下來(lái)分析加權(quán)矩陣W的一階誤差項(xiàng)如何影響θWLS的一階誤差項(xiàng)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，在數(shù)據(jù)點(diǎn)的真實(shí)值量θWLS關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù) ˉ處，估 ?θWLS?vec(W)+(2-.= 估計(jì)量θWLS在x=ˉ處關(guān)于vec(W)和vec(A)=[?(ˉˉT](Iˉ?(ˉˉ)+(TˉT)=(2-=-21[?(ˉˉ][ˉ?[(ˉˉˉ(2-因此，無(wú)論加權(quán)矩陣W是否受數(shù)據(jù)點(diǎn)x噪聲的影[?(ˉˉ][ˉ?[(ˉˉˉ(2-因此，無(wú)論加權(quán)矩陣W是否受數(shù)據(jù)點(diǎn)x噪聲的影響，表達(dá)式(2-18)都可以簡(jiǎn)寫?{[(ˉˉˉˉT}(2-將測(cè)量數(shù)據(jù)x代入到表達(dá)式(2-21)，估計(jì)真實(shí)值ˉ處的偏導(dǎo)數(shù)矩陣時(shí)同第2.3.1節(jié)類似。最后，可以利用表達(dá)式(2-21)及(2-3)估計(jì)出θWLS的協(xié)方差矩陣令(k≥1)為第k次迭代得到的估在迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，計(jì)量，表示由線性算法提供的初始值θLS。使用(k≥0)計(jì)算WAθ的逆協(xié)方差矩陣的Cholesky分解，是代數(shù)殘差的最優(yōu)加權(quán)矩陣即W(k)=(k≥0)在圖像點(diǎn)真實(shí)值x=ˉ )≥opt。使用最優(yōu)加權(quán)矩陣W(k)opt進(jìn)行加權(quán)得到的新估計(jì)量為 ≥真實(shí)值x=ˉ ?{[(ˉˉˉˉT}(2-(k≥根據(jù)表達(dá)式(2-22)，可以得出下述結(jié)論結(jié)方差矩陣能夠達(dá)到理論下限VKCR結(jié)論2.1表明，在齊次線性方程組的迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，使用一次最加權(quán)非齊次線性方程同上小節(jié)中的加權(quán)齊次線性方程組(2-17)類似，加權(quán)的非齊次線性方程組A0?(2-0+b(2--22第二章根據(jù)復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，估計(jì)量?WLS關(guān)于測(cè)量值x的偏導(dǎo)數(shù)在實(shí)值x=ˉ!?WLS??0=++ ?0(2-，?WLˉ0第二章根據(jù)復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，估計(jì)量?WLS關(guān)于測(cè)量值x的偏導(dǎo)數(shù)在實(shí)值x=ˉ!?WLS??0=++ ?0(2-，?WLˉ0?WLS?=+[?(ˉˉ0)+?Tˉ0T]ˉˉ0)+(IbT)?(ˉˉ0)+[?Tˉˉˉ0)+ˉˉˉ(??TˉˉT=(2-?WLS?WLS?0=A0[?(ˉˉ0)+?Tˉ?[(ˉˉˉ(2-??==(ˉˉ0+ˉ(2-表達(dá)式(2-26)表明加權(quán)矩陣W的一階誤差項(xiàng)不影響?WLS的一階誤差項(xiàng)。通過(guò)把表?WL陣在真實(shí)值xˉ??{[(ˉˉˉ?T+[(ˉ0)+ˉ(2-在將測(cè)量值x代入到(2-29)中估計(jì)真實(shí)值ˉ處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，因?yàn)榫仃嚒ˉ0和WA0具0+(ˉˉ及(2-3)可以估計(jì)出?WLS的協(xié)方差矩陣。在迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，令?(k(k≥1)為第k次迭代得到的估計(jì)量表示由線性算法提供的初始值θ?LS。使用?(k(k≥0)計(jì)算的最-23是代數(shù)殘差A(yù)0?(k優(yōu)加權(quán)矩陣—b的逆協(xié)方差矩陣的Cholesky分解，即W(k)=?((k≥0)在圖像點(diǎn)真實(shí)值xˉ是代數(shù)殘差A(yù)0?(k優(yōu)加權(quán)矩陣—b的逆協(xié)方差矩陣的Cholesky分解，即W(k)=?((k≥0)在圖像點(diǎn)真實(shí)值xˉ(k≥0)的真實(shí)值都相等，其真 0A?都等于其真實(shí)值θ，所以最優(yōu)加權(quán)矩W實(shí)值在這里表示為opt。使用最優(yōu)加權(quán)矩陣W(kop)t進(jìn)行加權(quán)得到的新估計(jì)量表示為?(k1。根據(jù)本小節(jié)之前對(duì)加權(quán)線性算法解的一階誤差分析，當(dāng)k?(kˉ?kˉˉopt]?θ =?ˉˉ0)+ˉ根據(jù)表達(dá)式(2-30)，可以得出下述結(jié)論k≥(2-結(jié)矩陣能夠達(dá)到理論下限VKCR結(jié)論2.1和2.2表明，無(wú)論最優(yōu)加權(quán)線性算法使用齊次線性方程組還是非齊次 實(shí)驗(yàn)本節(jié)以從多個(gè)圖像點(diǎn)擬合二次曲線為例，驗(yàn)證對(duì)線性算法和加權(quán)線性算法的一階誤差分析。從圖像點(diǎn)擬合二次曲線與攝像機(jī)標(biāo)定中估計(jì)絕對(duì)二次曲線的像具有類似的形式，因而對(duì)二次曲線擬合的討論具有一般意義。本節(jié)待擬合的二次曲線為一個(gè)橢圓，其中心坐標(biāo)為(25,25)T，半長(zhǎng)軸和半短軸的長(zhǎng)度別為20和8像素，且長(zhǎng)軸與v軸的夾角為的30個(gè)圖像點(diǎn)如圖2-1所示齊次形二次曲線的方程為C11u2+2C12uv+C22v2+2(C13u+C23v)+C33=0，其中θ=(C11C12C22C13C23C33)T為二次曲線的參數(shù)，(u,v)T(u2,2uivi,v2,2ui,2vi,1)θ=ξTθ=(2-iii-24500u圖2-1二次曲線的圖像及用于擬合的30個(gè)圖對(duì)圖2-1中的500u圖2-1二次曲線的圖像及用于擬合的30個(gè)圖對(duì)圖2-1中的橢圓進(jìn)行參數(shù)化時(shí)，齊次形式θ的真實(shí)5.679×3.496×4.193×?2.294×?1.922×109.996×ˉ假設(shè)30個(gè)圖像點(diǎn)的噪聲為獨(dú)立同分布的零均值高斯噪聲且標(biāo)準(zhǔn)差則由這30個(gè)圖像點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)組成的60維測(cè)量數(shù)據(jù)x的協(xié)方差矩陣 σ2I60×60。使用一階誤差分析，得出線性算法解θLS、最優(yōu)加權(quán)線性算為為-25v解θOWLS1、迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法解θOWLS的協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值分別0.3682?0.0789?0.0789解θOWLS1、迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法解θOWLS的協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值分別0.3682?0.0789?0.0789?0.0101?3.9731 ?0.0577Vpredict=10?80.3228?0.0653?0.0653?0.0082?3.5395 ?0.0529=Vpredict=10?8 V 、 以上對(duì)角線元素可以看出θOWLS1和θOWLS中參數(shù)的方差小于θLS中對(duì)應(yīng)參數(shù)的 p為0.8767,0.8716,0.8500,0.8936,0.8536,0.9353 0.3683?0.0792?0.0792?0.0099?3.9660 ?0.0576-26第二章0.3227?0.0654?0.0654?0.0081?3.5324 ?第二章0.3227?0.0654?0.0654?0.0081?3.5324 ?0.05270.3227?0.0654?0.0654?0.0081?3.5323 ?0.0527?8=10 協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)相應(yīng)的測(cè)量VritS1Vpdt值Vθeasure、Vmθeasure、Vmeasure這里為了評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)值與測(cè)量VVk?kFkVkF 差別程度0.1314%0.1295%表2-1三種的協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的差別另外，最優(yōu)加權(quán)線性算法和迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法的解θOWLS1和θOWLSVθOWLS1—F=VF非齊次形式參在對(duì)二次曲線C11u2+2C12uv+C22v2+2(C13u+C23v)+C33=0進(jìn)行參數(shù)化時(shí)也可以采用非齊次形式參數(shù)化。因?yàn)棣?(C11C12C22C13C23C33)T齊次形式，所以在本小節(jié)中固定其最后一維C33為1。于是，新的參數(shù)向量-27??220θ=ξθ=??220θ=ξθ=(2-(u,v,v,,)1iiiiiii對(duì)圖2-1中的橢圓進(jìn)行參數(shù)化時(shí)，非齊次形式的真實(shí)值5.682×3.498×?4.195×假設(shè)30個(gè)圖像點(diǎn)的噪聲為獨(dú)立同分布的零均值高斯噪聲且標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則由這30個(gè)圖像點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)組成的60維測(cè)量數(shù)據(jù)x的協(xié)方差矩陣為Vxσ2I60×60。使用一階誤差分析，得出線性算法解?LS、最優(yōu)加權(quán)線性算法解?OWLS1、迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法解?OWLS的協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值分別0.3686?0.0789?0.07890.1316Vpredict=10?8?0.0101?3.97941.7848?2.67990.3232?0.0653?0.06530.1147=Vpredict=10?8?0.0082?3.5452 1.5667?2.2861、 LS、 θ c以上對(duì)角線元素可以看出?OWLS1和?OWLS中參數(shù)的方差小于θ?LS中對(duì)應(yīng)參數(shù)的prdict 和Vpr?edict中的對(duì)角線元素與Vpred?ict中的對(duì)應(yīng)對(duì)角線元素的比 θθ 零均值高斯噪聲，以測(cè)量各個(gè)算法解的協(xié)方差矩陣。θ?LS、?OWLS1、?OWLS的-28第二章?0.07920.1316Vmeasure=10?8?0.0099?3.9722第二章?0.07920.1316Vmeasure=10?8?0.0099?3.9722?2.6796?0.06550.1147?0.0081?3.5379?2.2859?0.0655?3.5379協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)相應(yīng)的測(cè)量值 rdictLS、 、VOWLSc值Vm?easure、Vme?asure、Vmea?sure都非常接近。這里為了評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)值與測(cè)量θθ θ值之間的差別程度，對(duì)于每一個(gè)估計(jì)量θ?k VkF別程度。三個(gè)估計(jì)量協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的差別程度如表2-2所示 0.1314%0.1285%表2-2三種θ的協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的差別另外，最優(yōu)加權(quán)線性算法和迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法的解θ?OWLS1和θ?OWLS VF=VF-29 本章 本章本章主要研究計(jì)算線性算法和加權(quán)線性算法受圖像點(diǎn)噪聲影響的一階誤差項(xiàng)。首先，通過(guò)對(duì)使用非齊次線性方程組的線性算法進(jìn)行分析，給出其一階誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)單形式。然后，分別對(duì)使用齊次線性方程組和非齊次線性方程組的簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其一階誤差項(xiàng)不受權(quán)重的一階誤差項(xiàng)影響，從而得到簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)的簡(jiǎn)潔形式。最后，通過(guò)將這一結(jié)論應(yīng)用于最優(yōu)加權(quán)線性算法，得出最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同一階誤差項(xiàng)的結(jié)論，進(jìn)而證明最優(yōu)加權(quán)線性算法的一階誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣也能達(dá)到理論下限CR。本章也從大量模擬實(shí)驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)出的各個(gè)算法解的協(xié)方差矩陣測(cè)量值，并將其與使用一階誤差分析得到的預(yù)測(cè)值相比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)驗(yàn)證了以上結(jié)論的-30第三基于一第三基于一維物體的單攝像機(jī)標(biāo)定的加權(quán)線性 引單攝像機(jī)標(biāo)定即確定它的內(nèi)參數(shù)矩陣，是三維重建中重要的一步。使用場(chǎng)景在多個(gè)未標(biāo)定攝像機(jī)下的投影對(duì)應(yīng)關(guān)系只能得到這個(gè)場(chǎng)景的射影重建。如果預(yù)先對(duì)這些攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，則可以得到這個(gè)場(chǎng)景的歐式重建。攝像機(jī)標(biāo)定方法通?？梢员环譃閮深悾鹤詷?biāo)定方法和基于標(biāo)定物的方法。自標(biāo)定方法不需要對(duì)場(chǎng)景幾何結(jié)構(gòu)的任何知識(shí)但需要對(duì)攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù),33–36]或者攝像機(jī)的運(yùn)動(dòng)方式的一些先驗(yàn)知識(shí)37–39]；基于標(biāo)定物的方法使用度量結(jié)構(gòu)已知的標(biāo)定物，例如三維標(biāo)定物7,27,28]、二維標(biāo)定物,19]和一維標(biāo)定物,43,46]。同自標(biāo)定方法相比，基于標(biāo)定物的方法由于利用度量信息通常能提供更高的標(biāo)定精度。使用一維物體進(jìn)行單個(gè)攝像機(jī)標(biāo)定最早由文獻(xiàn)0]提出，這里的一維物體至少有三個(gè)距離已知的標(biāo)記點(diǎn)，通過(guò)圍繞其中一個(gè)固定的標(biāo)記點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行攝像機(jī)標(biāo)定。一維物體在每個(gè)姿態(tài)下的圖像都可以為絕對(duì)二次曲線的像（iagefthesolteconic,C）提供一個(gè)線性約束。當(dāng)給定六個(gè)以上姿態(tài)的圖像后就可以線性求解出C，進(jìn)而標(biāo)定攝像機(jī)的五個(gè)內(nèi)參數(shù)并重建一維物體上的標(biāo)記點(diǎn)。當(dāng)使用攝像機(jī)的簡(jiǎn)化模型使得待標(biāo)定的內(nèi)參數(shù)個(gè)數(shù)減一維標(biāo)定物的尺寸較大且不易發(fā)生自遮擋，相比于平面標(biāo)定物或者三維標(biāo)定物，一維物體在攝像機(jī)標(biāo)定中具有更加靈活的優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)]對(duì)使用旋轉(zhuǎn)一維物體進(jìn)行攝像機(jī)標(biāo)定時(shí)的退化配置進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析，而文獻(xiàn)73]對(duì)退化配置進(jìn)行了更深入的研究。文獻(xiàn)21]從幾何的角度對(duì)文獻(xiàn)20]中的標(biāo)定方程進(jìn)行改寫，從而得到了一個(gè)與原來(lái)算法精度相當(dāng)?shù)男滤惴?。另外，文獻(xiàn)]也指出當(dāng)一維物體在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)也能進(jìn)行攝像機(jī)標(biāo)定。在文獻(xiàn)[22,29]一維物體上的一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。一維物體除了可以用于標(biāo)定普通的針孔攝像機(jī)，也可以用于標(biāo)定反射折射攝像機(jī)74–77]，此時(shí)一維物體可以做任意2–在標(biāo)定單個(gè)針孔攝像機(jī)時(shí)，使用一維物體的旋轉(zhuǎn)僅僅需要一個(gè)固定的支-31點(diǎn)，比約束所有或者單個(gè)標(biāo)記點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)更加方便實(shí)現(xiàn)。由于文獻(xiàn)0]中的線性算法對(duì)圖像點(diǎn)噪聲非常敏感，并且捆綁調(diào)整算法使用其進(jìn)行初始化后迭代優(yōu)化時(shí)也容易陷入到局部極值，所以許多研究工作專注于提高其標(biāo)定精度。文獻(xiàn)]提出使用圖像點(diǎn)歸一化8點(diǎn)，比約束所有或者單個(gè)標(biāo)記點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)更加方便實(shí)現(xiàn)。由于文獻(xiàn)0]中的線性算法對(duì)圖像點(diǎn)噪聲非常敏感，并且捆綁調(diào)整算法使用其進(jìn)行初始化后迭代優(yōu)化時(shí)也容易陷入到局部極值，所以許多研究工作專注于提高其標(biāo)定精度。文獻(xiàn)]提出使用圖像點(diǎn)歸一化8]做預(yù)處理來(lái)提高線性算法的精度，該算法顯著地提高了標(biāo)定精度。為了避免線性算法得到的C的估計(jì)量不是正定矩陣而造成不能通過(guò)Colesy分解得到內(nèi)參數(shù)矩陣，文獻(xiàn)1]提出在正定矩陣的約束下最小化代數(shù)殘差，然后對(duì)這個(gè)帶約束的最小二乘問(wèn)題進(jìn)行松弛并轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題。文獻(xiàn)32]使用eteroscedasticerroiariales方法來(lái)優(yōu)化線性算法的解，該迭代算法比捆綁調(diào)整算法更容易全局收斂，但是其計(jì)算復(fù)雜度仍然比線性算法高許多。文獻(xiàn)[78]提出利用交比不變性校正鏡頭畸變以提高一維標(biāo)定由于線性算法具有能直接求解和計(jì)算量小的優(yōu)勢(shì)，本章專注于降低一維標(biāo)定線性算法對(duì)噪聲的敏感度以提高其精度。文獻(xiàn)0]中的歸一化線性算法比文獻(xiàn)0]中的線性算法只多了一步數(shù)據(jù)點(diǎn)歸一化的預(yù)處理過(guò)程，另外兩個(gè)算法都需要首先估計(jì)一維物體上自由移動(dòng)端標(biāo)記點(diǎn)與固定端標(biāo)記點(diǎn)的深度比值（簡(jiǎn)稱為固定端標(biāo)記點(diǎn)的相對(duì)深度），然后構(gòu)造對(duì)C的線性約束方程。因此，本章首先分析數(shù)據(jù)歸一化帶來(lái)精度提升的原因，然后提出固定端標(biāo)記點(diǎn)的相對(duì)深度的精度更高的估計(jì)量，并使用這個(gè)估計(jì)量得到一個(gè)相似不變性的線性標(biāo)定算法。最后，為了進(jìn)一步提升該線性算法的精度，提出了以下兩種加權(quán)線性算法：對(duì)關(guān)于C的約束方程組進(jìn)行加權(quán)得到簡(jiǎn)單加權(quán)線性算法；對(duì)關(guān)于相對(duì)深度的約束方程組和關(guān)于IAC的方程組都進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)得到最優(yōu)加權(quán)線性算一維標(biāo)定的現(xiàn)有算一維標(biāo)定的基本γ0001K(3-其中(fu,fv)表示圖像縱橫軸的尺度因子，γ是攝像機(jī)成像元件的傾斜系數(shù)，(u0v0)T表示主點(diǎn)的位置。一維物體上標(biāo)記點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為J(J>其旋轉(zhuǎn)次數(shù)記為I(I>6)．固定端的標(biāo)記點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)分別記-32為?1=(X1Y1Z1)T和X1X1Y1Z11)T，第j個(gè)標(biāo)記點(diǎn)在第i置的非齊次坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)分別記為?i=(XiYiZi)T和Xi=(XiYiZij j (i=1I,j=2J)，其與固定端標(biāo)記點(diǎn)?1的距