(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)6.2《等差數(shù)列》(原卷版)

第第頁(yè)§6.2等差數(shù)列考試要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)梳理1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an﹣an﹣1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A＝eq\f(a＋b,2).2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n﹣1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n﹣m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n﹣1＝(2n﹣1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．常用結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．()(2)若一個(gè)數(shù)列每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．()教材改編題1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝3，前5項(xiàng)和S5＝10，則數(shù)列{an}的公差為()A．﹣1 B．﹣eq\f(5,2)C．﹣2 D．﹣42．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a5＝________.3．已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝2，且S6＝30，則S9＝________.題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則下列選項(xiàng)正確的是()A．a(chǎn)2＋a3＝0 B．a(chǎn)n＝2n﹣5C．Sn＝n(n﹣4) D．d＝﹣2(2)已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，S4＝24，S9＝99，則a7等于()A．13B．14C．15D．16教師備選1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝5，S4＝24，則a9等于()A．﹣5 B．﹣7C．﹣9 D．﹣112．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1＋a10＝a9，則eq\f(a1＋a2＋…＋a9,a10)＝________.思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱(chēng)“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3＋a6＝24，S6＝48，則下列正確的是()A．a(chǎn)1＝﹣2 B．a(chǎn)1＝2C．d＝4 D．d＝﹣4(2)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝﹣2，a2＋a6＝2，則S10＝______.題型二等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．教師備選已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝log2(an＋1)．(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1﹣an是同一常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：對(duì)任意n≥2，n∈N*，滿(mǎn)足2an＝an＋1＋an﹣1.(3)通項(xiàng)公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿(mǎn)足an＝pn＋q(p，q為常數(shù))．(4)前n項(xiàng)和公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿(mǎn)足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且nan＋1﹣(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．題型三等差數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3(1)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足2an＝an﹣1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a3＋a4等于()A．6 B．7C．8 D．9(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，則S9等于()A．225 B．250C．270 D．300命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例4(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于()A．110 B．150C．210 D．280(2)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－1,3n－2)，則eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)的值為_(kāi)_______．教師備選1．若等差數(shù)列{an}的前15項(xiàng)和S15＝30，則2a5﹣a6﹣a10＋a14等于()A．2 B．3C．4 D．52．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2020，eq\f(S2020,2020)﹣eq\f(S2014,2014)＝6，則S2023等于()A．2023 B．﹣2023C．4046 D．﹣4046思維升華(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．②S2n﹣1＝(2n﹣1)an.③依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，…成等差數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練3(1){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，其中eq\f(ak,bk)(1≤k≤5)為常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，則b3等于()A．64B．128C．256D．512(2)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足a3＝3a1，a2＝3a1﹣1，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10項(xiàng)和為()A.eq\f(55,2)B．55C.eq\f(65,2)D．65課時(shí)精練1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，則{an}的公差為()A．﹣2B．2C．﹣3D．32．已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a3＋a6＋a8＋a11＝12，則2a9﹣a11的值為()A．﹣3B．3C．﹣12D．123.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給．則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是()A.eq\f(37,26) B.eq\f(37,27)C.eq\f(52,39) D.eq\f(56,39)4．已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為()A．28 B．29C．30 D．315．(多選)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a3＋a8＋a13是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的有()A．a(chǎn)7B．a(chǎn)8C．S15D．S166．(多選)已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且S8>S9>S7，則下列結(jié)論正確的是()A．公差d<0B．在所有小于0的Sn中，S17最大C．a(chǎn)8>a9D．滿(mǎn)足Sn>0的n的個(gè)數(shù)為157．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a2＝﹣3，S5＝﹣10，則a5＝________.8．一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國(guó)現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢(shì)鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢(shì)自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7，…，該數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為_(kāi)_______．9．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．10．在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿(mǎn)足an＋2﹣2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3B．4C．5D．612．(多選)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，已知S14>0，S15<0，則下列選項(xiàng)正確的有()A．a(chǎn)1>0，d<0B．a(chǎn)7＋a8>0C．S6與S7均為Sn的最大值D．a(chǎn)8<013．將數(shù)列{2n﹣1}與{3n﹣2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．14．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.若Sn≤S8恒成立，則公差d的取值范圍是______________．15．定義向量列a1，a2，a3，…，an從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量(即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量)，即an＝an﹣1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d為