(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)5.1《平面向量的概念及線性運(yùn)算》(原卷版)

第第頁§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算考試要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a﹣b＝a＋(﹣b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若F為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.5．對于任意兩個向量a，b，都有||a|﹣|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．()(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．()(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()教材改編題1．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a與b都是單位向量，則a＝bB．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量C．若用有向線段表示的向量eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AN,\s\up6(→))不相等，則點M與N不重合D．海拔、溫度、角度都不是向量2．下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AD,\s\up6(→))﹣eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與﹣(b﹣3a)共線，則λ＝________.題型一向量的基本概念例1(1)(多選)給出下列命題，不正確的有()A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B．若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))教師備選(多選)下列命題為真命題的是()A．若a與b為非零向量，且a∥b，則a＋b必與a或b平行B．若e為單位向量，且a∥e，則a＝|a|eC．兩個非零向量a，b，若|a﹣b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且反向D．“兩個向量平行”是“這兩個向量相等”的必要不充分條件思維升華平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線D．若a＝b，b＝c，則a＝c(2)對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點1向量加、減法的幾何意義例2已知單位向量e1，e2，…，e2023，則|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．命題點2向量的線性運(yùn)算例3(多選)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC邊上一點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)是AE的中點，則下列關(guān)系式正確的是()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＝﹣eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BF,\s\up6(→))＝﹣eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))＝﹣eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))命題點3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4已知平面四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，平面內(nèi)點E滿足eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，CD與AE交于點M，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x＋y等于()A.eq\f(5,2)B．﹣eq\f(5,2)C.eq\f(4,3)D．﹣eq\f(4,3)教師備選1．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若點O滿足eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，則eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.﹣eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.﹣eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．在△ABC中，延長BC至點M使得BC＝2CM，連接AM，點N為AM上一點且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．﹣eq\f(1,2) D．﹣eq\f(1,3)思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練2(1)點G為△ABC的重心，設(shè)eq\o(BG,\s\up6(→))＝a，eq\o(GC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．b﹣2a B.eq\f(3,2)a﹣eq\f(1,2)bC.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D．2a＋b(2)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2題型三共線定理及其應(yīng)用例5設(shè)兩向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a﹣b)．求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．教師備選1．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為()A．2 B．3C．4 D．82．設(shè)兩個非零向量a與b不共線，若a與b的起點相同，且a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的終點在同一條直線上，則實數(shù)t的值為________．思維升華利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.跟蹤訓(xùn)練3(1)若a，b是兩個不共線的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a﹣2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a﹣b，若M，N，Q三點共線，則k等于()A．﹣1B．1C.eq\f(3,2)D．2(2)如圖，已知A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(﹣1,0)課時精練1．(多選)下列選項中的式子，結(jié)果為零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))﹣eq\o(CD,\s\up6(→))2．若a，b為非零向量，則“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．設(shè)a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是一個非零向量，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝aC．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|4．下列命題中正確的是()A．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ使得a＝λbB．若a∥b，b∥c，則a∥cC．若a·b＝0，則a＝0或b＝0D．|a|﹣|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|5．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))交于點O，E是線段OD的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b6．下列說法正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反D．向量的模是一個正實數(shù)7.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為DE的中點，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，則x等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)8．(多選)已知4eq\o(AB,\s\up6(→))﹣3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的是()A．A，B，C，D四點共線B．C，B，D三點共線C．|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|D．|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(DB,\s\up6(→))|9．已知不共線向量a，b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝ta﹣b(t∈R)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋3b，若A，B，C三點共線，則實數(shù)t＝__________.10．已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點G的直線交AB于D，交AC于E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.11．若正六邊形ABCDEF的邊長為2，中心為O，則|eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq