高等數(shù)學自考11函數(shù)與極限

第一章函數(shù)與極限分析根底第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念定義設(shè)給定非空數(shù)集D,如果按照某個對應法那么，對于D中的每一個數(shù)x，都有唯一確定的實數(shù)y與之對應，那么稱y是定義在D上的x的函數(shù)。記作函數(shù)的兩個要素：定義域和對應法那么函數(shù)的表示法：解析法、表格法和圖像法

自變量因變量定義域

分段函數(shù)：一個函數(shù)，在其定義域的不同局部可用不同的解析式表示，這種形式的函數(shù)稱為分段函數(shù)。常見的分段函數(shù)有例1符號函數(shù)y=sgnx=，它的定義域是D=.。。。1-1例2絕對值函數(shù)，定義域D=０xy例3取整函數(shù)y=，表示不超過x的最大整數(shù)，它的定義域D=.。。。。。。012

-2-1。yx二、函數(shù)的幾種特性１、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點對稱假設(shè)，有f(-x)=f(x),那么稱f(x)為D上的偶函數(shù)；假設(shè),有f(-x)=-f(x),那么稱f(x)為D上的奇函數(shù)。例如函數(shù)與都是奇函數(shù)；函數(shù)與都是偶函數(shù)。

結(jié)論：奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖形關(guān)于ｙ軸對稱。２、函數(shù)的周期性：,滿足f(x+T)=f(x),稱T為函數(shù)f(x)的周期。通常說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。３、函數(shù)的有界性：假設(shè),使得。那么稱函數(shù)f(x)在D上有界；否那么稱為無界。例如：函數(shù)與都是以為周期的有界函數(shù)；函數(shù)與都是以為周期的無界函數(shù)。４、函數(shù)的單調(diào)性：那么稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；那么稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。例如：在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增。在不是單調(diào)的。0xy四、函數(shù)的運算：1、復合函數(shù)引例：自由落體運動的動能E是速度v的函數(shù)E=,而速度v又是時間t的函數(shù)v=gt，物體的動能E與t的關(guān)系就是由函數(shù)與函數(shù)v=gt復合而成。定義設(shè)y=f〔u〕定義域為，函數(shù)u=的值域且,那么y通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，那么稱y為x的復合函數(shù)，記為y=其中y=f〔u〕叫做外函數(shù)，u=叫做內(nèi)函數(shù)，u叫做中間變量。注：兩個函數(shù)構(gòu)成復合函數(shù)的關(guān)鍵是內(nèi)函數(shù)的值域一定要在外函數(shù)的定義域中。例如定義域；定義域;由于的值域故不能把中間變量代入，如果要使復合函數(shù)有意義，必須把限制在，為此必須限制的定義域為于是得復合函數(shù)２、反函數(shù)定義設(shè)y=f〔x〕為定義在D上的函數(shù)，其值域為W,假設(shè)對于數(shù)集W中的每個數(shù)y，數(shù)集D中都有唯一的一個數(shù)x使f〔x〕=y，這就是說變量x是變量y的函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y=f〔x〕的反函數(shù)，記為x=其定義域為W,值域為D.習慣上用ｘ表示自變量，用ｙ表示因變量，函數(shù)ｙ＝f(x)的反函數(shù)用表示。注：函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)在同一平面內(nèi)的圖行關(guān)于直線y=x是對稱的。例求函數(shù)的反函數(shù)。解：由可解得，交換x、y的位置，得所求函數(shù)的反函數(shù)為，其定義域為〔0，1〕。四、初等函數(shù)１、根本初等函數(shù)：常量函數(shù)ｙ＝C〔C為常數(shù)〕；指數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)六種函數(shù)統(tǒng)稱為根本初等函數(shù)。２、初等函數(shù)定義根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運算與復合運算所得的由一個解析式所表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。例如：多項式函數(shù)，

是初等函數(shù)。

有理分式函數(shù)其定義域是R中去掉使的根后的數(shù)集，也是初等函數(shù)。雙曲正弦函數(shù)0xyy=shx雙曲余弦函數(shù)

雙曲正切函數(shù)雙曲余切函數(shù)0xy1y=chx0xy-11y=thx雙曲函數(shù)的性質(zhì)1.雙曲正弦函數(shù)是上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格遞增函數(shù)；2.雙曲余弦函數(shù)是上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格遞減函數(shù)，在上是嚴格遞增函數(shù)；3.啟發(fā)與討論：是否為初等函數(shù)？內(nèi)容小結(jié)：函數(shù)分段函數(shù)復合函數(shù)反函數(shù)根本初等函數(shù)初等函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義數(shù)列：按一定規(guī)律排列的一串數(shù)稱為數(shù)列，簡記作。數(shù)列也可作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)稱為數(shù)列的通項。問題：當項數(shù)ｎ無限增大時，數(shù)列的變化趨勢？例１數(shù)列當ｎ無限增大時，趨于確定常數(shù)１。例２數(shù)列數(shù)列各項的值隨n增大交替取得1與－1兩數(shù)，而不是與某一數(shù)接近；例3數(shù)列2，4，6，8，…，2n，…數(shù)列各項隨n的增大而增大，且無限增大；

例４數(shù)列a，a，a，…，a，…數(shù)列各項的值都相同。定義1當n無限增大時，數(shù)列的通項的值無限接近于某一確定的常數(shù)，那么稱當n趨于無窮大時數(shù)列以a為極限，記作；這時稱這個數(shù)列收斂；否那么稱它是發(fā)散數(shù)列。例5觀察以下數(shù)列的變化趨勢，并寫出收斂數(shù)列的極限(1)(2)分析：(1)當n依次取1，2，3，4，5，…等正整數(shù)時，數(shù)列的各項依次為２，，當，；(2)當n依次取1，2，3，4，5，…等正整數(shù)時，數(shù)列各項依次為1，0，－1，0，1，…，當不能無限地趨于一確定的常數(shù)a，因此數(shù)列極限不存在。解：(1)(2)數(shù)列的極限不存在，即數(shù)列發(fā)散。二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1如果一個數(shù)列有極限，那么此極限是唯一的。定理1.2將一個數(shù)列添加或減少有限項，不影響其極限是否存在，也不影響其極限值〔如果極限存在〕。定理1.3

收斂的數(shù)列必有界；有界的數(shù)列不一定收斂。例如數(shù)列都是有界的數(shù)列，但都是發(fā)散的。定理1.4

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。如：利用定理1.4可證明重要數(shù)收斂，其極限記為ｅ，即。定理1.5數(shù)列極限的四那么運算法那么假定存在，那么(1)(2)(3)(4);例６求極限分析：型，可用“抓大頭法〞。解例７求極限分析：先求和，再求極限。解：由內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的定義及應用；2.收斂數(shù)列的性質(zhì)；惟一性，有界性3.單調(diào)有界準那么；4.數(shù)列極限的四那么運算法那么。第三節(jié)函數(shù)的極限一、時函數(shù)的極限從函數(shù)的觀點看，數(shù)列是下標變量ｎ的函數(shù)數(shù)列以ａ為極限可以表達為：當自變量，相應的函數(shù)，這種定義數(shù)列極限的思維方法也適合于一般的函數(shù)。例〔如圖〕當0xyy函數(shù)無限接近0，那么稱0為函數(shù)當時極限。定義1設(shè)函數(shù)，如果無限增大時函數(shù)無限趨近于某個固定的常數(shù)a，那么稱x趨于時，f(x)以a為極限，記作。注：直線y＝a為曲線y＝f(x)的水平漸近線。兩種特殊情況假設(shè)x取正值，且無限增大時，即，f(x)的值無限趨近于常數(shù)a。假設(shè)x取負值，且無限增大時，即f(x)的值無限趨近于常數(shù)a。注：直線y＝a仍是曲線y＝f(x)的漸近線。二、時函數(shù)的極限引例討論當時，函數(shù)的變化趨勢。解此函數(shù)在ｘ＝１處無定義，但是當時，函數(shù)因此當函數(shù)f(x)以2為極限。

總結(jié)：函數(shù)在某一點的極限與函數(shù)在該點處的函數(shù)無關(guān)。定義設(shè)函數(shù)f(x)在點的附近〔點可以除外〕有定義，如當那么稱A為函數(shù)f(x)當x時的極限，記作或者

在，的概念中，x是既從左側(cè)趨于，也是從右側(cè)趨于

的情形，這就產(chǎn)生了左極限和右極限。定義設(shè)函數(shù)ｙ=f(x)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)當ｘ從的左〔右〕側(cè)趨于時，f(x)趨于A,那么稱f(x)當ｘ從的左〔右〕側(cè)趨于時收斂于Ａ,且稱A為f(x)在點的左〔右〕極限，記作或結(jié)論：例1設(shè)函數(shù)討論當時，f(x)是否存在極限。解：根據(jù)單側(cè)極限的定義

由于。。時函數(shù)f(x)的極限不存在。三、極限的運算法那么定理1.6那么(1)假設(shè)(2)〔K為常數(shù)〕；(3);(4)注：法那么(1)、(3)可以推廣到有限個具有極限的函數(shù)的和與積的情況且法那么對于情形也是成立。例2求分析：屬于型，不能直接用四那么運算法那么求極限，但用除分子與分母，那么可用極限的四那么運算法那么求得極限。解：總結(jié)：“抓大頭法〞常用于例3求極限其中m、n各為正整數(shù)。分析：用“抓大頭法〞。解：。例4求分析：型，是不定型，要先通分，再求極限。解：四、函數(shù)極限存在的判別法，兩個重要極限定理1.7〔迫斂定理〕設(shè)函數(shù)的某個鄰域內(nèi)(可除外)滿足條件且那么有。例5計算分析：由于，而解：由迫斂定理，有＝0定理1.8

極限0ABC證如圖作一單位圓。設(shè)由平面幾何可知，即或由于用－x代替x時，都不變，下面證明因為即，而由迫斂定理得即所以所以例6求〔m、n為整數(shù)〕。解：例7求解：例8求解：定理1.9

極限證當由迫斂定理作變量代換令y＝－x說明

此極限公式也可表示為另一種形式例8求解例9求解令t＝－x那么當例10求解五、無窮小量和無窮大量1、無窮小量定義假設(shè)時，函數(shù)，那么稱函數(shù)f(x)為時的無窮小量。例如：，函數(shù)時為無窮小，函數(shù)當時為無窮小。說明

除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小量。無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)１

有限個無窮小量的和也是無窮小量。性質(zhì)２

有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量。性質(zhì)３

常數(shù)乘以無窮小量仍是無窮小量。性質(zhì)４

有界函數(shù)乘以無窮小量仍是無窮小量。例如由性質(zhì)4可得2、無窮大量定義假設(shè)時，函數(shù)，那么稱函數(shù)f(x)(或)為(或)時的無窮大量。記作或注無窮大量不是一個很大的數(shù)，它描述的是函數(shù)的一種狀態(tài)，假設(shè)函數(shù)趨于無窮大，那么必無界。。例如時無窮大量。說明假設(shè)，那么直線為曲線y＝f(x)的垂直漸近線。3、無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理如果當時，f(x)為無窮大量,那么為無窮小量；反之，如果當時，f(x)為無窮小量，且為無窮大量。說明據(jù)此定理，關(guān)于無窮大的問題都可以轉(zhuǎn)化無窮小來討論。例11求解因為的倒數(shù)時是無窮小所以４、無窮小量的比較

引例當都是無窮小，而兩個無窮小量之比的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小量趨于0的速度的多樣。定義設(shè)是同一變化過程中的兩個無窮小量，(1)如果，那么稱為同階無窮小量。記作如果，那么稱f(x)與g(x)為等價無窮小量，

如果，那么稱f是比g高階的無窮小量，記作

記作(4)如果，那么稱f是比g低階的無窮小量。例如，所以，當時

為同階無窮小量。，所以，當時，所以當時，是比x高階的無窮小；X是比低階無窮小量。思考與練習填空題2、極限的運算法那么；3、無窮小量與無窮大量；4、無窮小量的比較。內(nèi)容小結(jié)1、函數(shù)極限的概念；六種情形

第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)的概念定義設(shè)函數(shù)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量趨于零時，相應的函數(shù)值的增量也趨于零，那么稱f(x)在點處連續(xù)。函數(shù)f(x)在點連續(xù)的另一種形式的定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)那么稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)。左連續(xù)右連續(xù)注：函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點既是左連續(xù)又是右連續(xù)。定義如果一個函數(shù)在某個區(qū)間上的每一點都連續(xù)，那么稱這個函數(shù)為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。例1證明函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。證明設(shè)x為函數(shù)定義域上的任意一點，那么因為所以因此在定義域上連續(xù)。例2討論函數(shù)在x＝0處的連續(xù)性。解左連續(xù)右連續(xù)所以函數(shù)f(x)在x＝0處連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點設(shè)函數(shù)f〔x〕在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，那么以下情形之一函數(shù)f(x)在點不連續(xù)。

(1)在處沒有定義；

(2)雖在處有定義，且存在，但

(3)雖在有定義，但不存在。這樣的點稱為間斷點。下面舉例來說明函數(shù)間斷點的幾種常見類型例3函數(shù)在點x＝2處沒有定義，所以x＝2是該函數(shù)的間斷點，但，如果補充定義：令x＝2時，y＝4，所給函數(shù)在x＝2成為連續(xù)，那么稱x＝2為該函數(shù)的可去間斷點。例4符號函數(shù)，當時，左、右極限都存在，但不相等，故不存在，所以點x＝0是函數(shù)的間斷點，那么稱x＝0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點。例5函數(shù)在x＝0沒有定義，且都不存在，那么稱x＝0是f(x)第二類間斷點。小結(jié)：間斷點分兩類：如果是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，那么稱為f(x)的第一類間斷點；在第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點。不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點。三、連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)定理1.10〔連續(xù)函數(shù)的四那么運算〕設(shè)f(x)、g(x)均在處連續(xù)，那么〔1〕處連續(xù)；〔2〕處連續(xù)；〔3〕假設(shè)處連續(xù)。例如由定理可知在其定義域上連續(xù)。定理1.12〔復合函數(shù)的連續(xù)性〕設(shè)函數(shù)處連續(xù)，函數(shù)在處連續(xù)，且且那么復合函數(shù)處連續(xù)。即說明

：定理的條件中內(nèi)函數(shù)在處連續(xù)可以減弱為內(nèi)函數(shù)在時極限存在，函數(shù)的符號與極限號可以交換次序。即

例5求解定理1.13〔反函數(shù)的連續(xù)性〕假設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上是嚴格單調(diào)且連續(xù)，那么它的反連續(xù)在對應的區(qū)間上也嚴格單調(diào)且連續(xù)。例如反三角函數(shù)它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。定理1.14

一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。注：初等函數(shù)在定義域上某點的極限值等于函數(shù)在該點的函數(shù)值。例6求解例7求分析：屬于型，先有理化，再求極限。解四、閉區(qū)間上連