2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試題

2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試題一、填空題（每題4分，共40分）1.已知單位向量，則的取值范圍為__________.2.計(jì)算__________.3.設(shè)復(fù)數(shù)的實(shí)虛部所形成的點(diǎn)在橢圓上.若為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)__________.4.對(duì)于正整數(shù)，若展開式經(jīng)同類項(xiàng)合并，合并后至少有2021項(xiàng)，則的最小值為__________.5.設(shè)直.角坐標(biāo)平面上兩個(gè)區(qū)域?yàn)?，，記與的公共部分面積為當(dāng)時(shí)，則的表達(dá)式為__________.6.設(shè)，則__________.7.給定實(shí)數(shù)集合，定義運(yùn)算.設(shè)，則中的所有元素之和為__________.8.在中，分別在線段和上，，，直線于現(xiàn)將沿著對(duì)折，當(dāng)平面與平面的面角為時(shí)，則線段的長(zhǎng)度為__________.9.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線分別與線段交于若，則__________.10.設(shè)數(shù)列，這里表示不超過的最大整數(shù).若，則正整數(shù)有__________種可能的取值情況.二、解答題（共5題，11-13各10分，14，15各15分，合計(jì)60分）11.已知二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).若有四個(gè)不同的根，且成等差數(shù)列，求的取值范圍.12.設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求的最大值；（2）若直線與軸?軸分別交于，且以為直徑的圓與線段的垂直平分線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部(包括在邊界上)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.13.設(shè)為給定的正整數(shù)，為滿足對(duì)每個(gè)都有的一列實(shí)數(shù)，求的最大值.14.設(shè)數(shù)集，它的平均數(shù)現(xiàn)將分成兩個(gè)非空且不相交子集，求的最大值，并討論取到最大值時(shí)不同的有序數(shù)對(duì)的數(shù)目.15.設(shè)，證明：2021全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試題解析1.解析：，所以.2.解析：原式.3.解析：由，所以，則，所以或.4.解析：由，共有項(xiàng)，所以，得，則.5.解析：由圖可知.6.解析：7.解析：由，則可知所有元素之和為.8.解析：依題意可知，又，所以，所以，即，可得.9.解析：如下圖所示，設(shè)，易知，可得，則，故得.10.解析：由，可得或11，可得或13或14；可得或16或17可得或19或20或可得或23或24或25或26，可得或28或29或30或31或32；可得或34或35或36或37或38或39，共7種11.解析：設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，其中，則可知為的兩根；為的兩根，所以，又，所以，記，其中，所以.12.解析：（1）設(shè)，聯(lián)立，可得，所以，則（2）依題意可知，所以圓的方程為，垂直平分線為，聯(lián)立得，所以或，得或，則可知或，解得或.13.解析：由所以14.解析：不妨設(shè)，記，所以又有，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)，由非空，可知，有種情況，考慮對(duì)稱