概率論與數(shù)理統(tǒng)計龍永紅

概率論與數(shù)理統(tǒng)計龍永紅匯報人：AA2024-01-19概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念與方法假設(shè)檢驗與方差分析回歸分析初步了解目錄01概率論基本概念樣本空間與事件事件必然事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。包含樣本空間中所有樣本點的事件。樣本空間基本事件不可能事件所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。只包含一個樣本點的事件。不包含任何樣本點的事件。描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。非負性、規(guī)范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可加性（互斥事件的概率之和等于它們并的概率）。概率定義及性質(zhì)概率性質(zhì)概率定義條件概率與獨立性條件概率在某一事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。事件的獨立性如果兩個事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B是相互獨立的。全概率公式與貝葉斯公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都具有正概率，則對任意事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的條件下，可以推導(dǎo)出貝葉斯公式，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]，用于求解在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，各原因Bi發(fā)生的概率。貝葉斯公式02隨機變量及其分布隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。定義隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量只能取有限個或可列個值，而連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的任意值。分類隨機變量定義及分類分布律定義離散型隨機變量的分布律描述了隨機變量取各個值的概率。常見分布常見的離散型隨機變量分布有0-1分布、二項分布、泊松分布等。離散型隨機變量分布律VS連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)是一個非負可積函數(shù)，它描述了隨機變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率。常見分布常見的連續(xù)型隨機變量分布有均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。概率密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)隨機變量函數(shù)的分布描述了由隨機變量構(gòu)成的函數(shù)的取值概率。求解隨機變量函數(shù)的分布通常需要先確定原隨機變量的分布，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系進行變換和計算。函數(shù)分布定義求解方法隨機變量函數(shù)分布03多維隨機變量及其分布聯(lián)合分布律定義對于二維隨機變量(X,Y)，其聯(lián)合分布律描述了X和Y同時取值的概率分布規(guī)律，即P{X=xi,Y=yj}，其中xi,yj為X,Y的可能取值。聯(lián)合密度函數(shù)定義對于連續(xù)型的二維隨機變量(X,Y)，其聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)描述了X和Y在任意一點(x,y)處的概率密度，滿足非負性和規(guī)范性。二維隨機變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)邊緣分布律定義二維隨機變量(X,Y)中，X或Y單獨取值的概率分布規(guī)律稱為邊緣分布律。對于離散型變量，邊緣分布律可通過聯(lián)合分布律對另一變量求和得到；對于連續(xù)型變量，邊緣密度函數(shù)可通過聯(lián)合密度函數(shù)對另一變量積分得到。要點一要點二邊緣密度函數(shù)定義連續(xù)型二維隨機變量(X,Y)的邊緣密度函數(shù)fx(x)和fy(y)分別描述了X和Y單獨取值的概率密度，可通過聯(lián)合密度函數(shù)對另一變量積分得到。邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律定義在二維隨機變量(X,Y)中，當已知X=xi或Y=yj時，Y或X的條件分布律描述了在此條件下Y或X的取值概率分布規(guī)律。對于離散型變量，條件分布律可通過聯(lián)合分布律和邊緣分布律計算得到；對于連續(xù)型變量，條件密度函數(shù)可通過聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)計算得到。條件密度函數(shù)定義在連續(xù)型二維隨機變量(X,Y)中，當已知X=x或Y=y時，Y或X的條件密度函數(shù)描述了在此條件下Y或X的概率密度。條件密度函數(shù)可通過聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)的比值計算得到。條件分布律/密度函數(shù)若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度函數(shù)）可表示為各自邊緣分布律（或邊緣密度函數(shù)）的乘積，即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}（或f(x,y)=fx(x)fy(y)），則稱X與Y相互獨立。相互獨立定義相互獨立的隨機變量意味著一個變量的取值不會影響另一個變量的取值概率。在實際應(yīng)用中，相互獨立性質(zhì)可以簡化概率計算和統(tǒng)計分析過程。相互獨立性質(zhì)相互獨立隨機變量04數(shù)理統(tǒng)計基本概念與方法研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述?？傮w從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本統(tǒng)計量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量的性質(zhì)包括無偏性、有效性、一致性等，用于評價統(tǒng)計量的優(yōu)劣。統(tǒng)計量及其性質(zhì)當樣本容量足夠大時，樣本均值趨近于總體均值。大數(shù)定律當樣本容量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么。中心極限定理用于描述樣本均值與總體均值之間的差異，當總體方差未知時使用。t分布抽樣分布定理點估計用一個具體的數(shù)值來估計總體參數(shù)，如樣本均值、樣本比例等。區(qū)間估計用一個區(qū)間來估計總體參數(shù)的可能范圍，該區(qū)間以一定的置信水平包含總體參數(shù)的真值。最大似然估計一種常用的點估計方法，通過最大化似然函數(shù)來得到參數(shù)的估計值。參數(shù)估計方法05假設(shè)檢驗與方差分析假設(shè)檢驗基本原理和步驟假設(shè)檢驗的基本思想通過構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量，并根據(jù)樣本觀察結(jié)果對總體分布或總體參數(shù)作出推斷。假設(shè)檢驗的步驟提出原假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量、確定拒絕域、計算檢驗統(tǒng)計量的值、作出決策。單個正態(tài)總體均值和方差檢驗當總體方差已知時，使用Z檢驗；當總體方差未知時，使用t檢驗。單個正態(tài)總體均值的檢驗使用卡方檢驗，通過比較樣本方差與理論方差之間的差異來判斷總體方差是否等于某個特定值。單個正態(tài)總體方差的檢驗當兩總體方差已知且相等時，使用Z檢驗；當兩總體方差未知但相等時，使用t檢驗；當兩總體方差不等時，使用Welcht檢驗。兩個正態(tài)總體均值的比較檢驗使用F檢驗，通過比較兩個樣本方差的比值來判斷兩個總體方差是否相等。兩個正態(tài)總體方差的比較檢驗兩個正態(tài)總體均值和方差比較檢驗方差分析的基本原理通過比較不同組別間的差異與組內(nèi)差異的大小來判斷不同因素對結(jié)果變量的影響是否顯著。方差分析的應(yīng)用舉例例如，在醫(yī)學(xué)研究中，可以通過方差分析來比較不同治療方法對患者病情改善程度的影響是否顯著。方差分析原理及應(yīng)用舉例06回歸分析初步了解VS一元線性回歸模型是用于描述兩個變量之間線性關(guān)系的一種統(tǒng)計模型，其一般形式為y=β0+β1x+ε，其中β0和β1為待估參數(shù)，ε為隨機誤差項。參數(shù)估計參數(shù)估計的目標是通過樣本數(shù)據(jù)來估計總體參數(shù)的值。在一元線性回歸模型中，通常采用最小二乘法進行參數(shù)估計，即使殘差平方和最小，從而得到β0和β1的估計值。模型建立一元線性回歸模型建立與參數(shù)估計多元線性回歸模型是用于描述一個因變量與多個自變量之間線性關(guān)系的一種統(tǒng)計模型。其一般形式為y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+ε，其中β0,β1,...,βk為待估參數(shù)，ε為隨機誤差項。與一元線性回歸模型類似，多元線性回歸模型的參數(shù)估計也采用最小二乘法。通過最小化殘差平方和，可以得到β0,β1,...,βk的估計值。模型建立參數(shù)估計