小學數(shù)學競賽試題集錦 任意四邊形、梯形與相似模型（三）

任意四邊形、梯形與相似模型

板塊三相似三角形模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

AEFD

AI

BGCBGC

gAOAEDEAF

kU--------------；

ABACBCAG

②%謂Sfc=A尸：AGL

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變它們都相似）,

與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：

⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具.

在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形.

【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16,A￡>=10,BE=4,那么EC的長度是多少？

【考點】相似三角形模型【難度】2星【題型】解答

【解析】圖中有一個沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問題，因為A3平行于8,所以

4

BF:FC=BECB4:16=1:,所以尸C=10x——=8.

1+4

【答案】8

【例2】如圖，測量小玻璃管口徑的量具A8C,9的長為15厘米，AC被分為60等份.如果小玻璃管口。E

正好對著量具上20等份處（/）￡平行AB）,那么小玻璃管口徑DE是多大?

H

0102030405060

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】有一個金字塔模型，所以DE:A8=r)C:AC,DE:15=40:60,所以￡>E=10厘米.

【答案】10

【例3】如圖，QE平行BC,若AD:DB=2:3,那么打的：：5徵6=

【考點】相似三角形模型【難度】2星【題型】填空

22

【解析】根據(jù)金字塔模型AZ):A8=AE:AC=OE:8C=2:(2+3)=2:5,SAADE:S^ABC=2:5=4:25,

設%曲=4份，則%.c=25份，S△眄.=25+5x3=15份，所以：%^=4:15?

【答案】4:15

【例4】如圖，A4BC中，DE,FG,8c互相平行，AD=DF=FB,

貝(1S&ADE'?§四邊形OEW:$四邊形FGCB=?

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

22

【解析】設S—DET份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以S^ADE:S^AFG=AD:AF=1:4,

2

S&ADE：S^ABC=4^2：AB=1:9,因此S&AFG=4份，S&ABC=9份，進而有S四地形OEGF=3份，

四邊形四邊形￡>￡%:=1:3:5

SFCCB=5份，所以S&ADE-SS四邊形f0cB

【答案】1:3:5

【鞏固】如圖，平行8C,且4)=2,AB=5,AE=4,求AC的長.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】由金字塔模型得A￡>:/W=A￡:AC=DE:8c=2:5,所以AC=4+2x5=10

【答案】10

【鞏固】如圖，AABC中，DE,FG,MN,PQ,8C互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,

則$AADE:S四邊：S四邊彩FGNM：S四邊形MM0P'S四邊形尸2cB

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

【角單析】設以皿產(chǎn)1份，以3：%,。=乂?2：4尸=1：4,因此K*G=4份，進而有場邊切期=3份，同理有

S四邊形=5份,S四邊形材N8=7份，S四邊形pg=9份.

所以有S&ADES四邊形OEGF"S四邊形FGMW:S四邊形:$四邊形PfiCS=1：3.5：7：9

【總結】繼續(xù)拓展，我們得到一個規(guī)律：平行線等分線段后，所分出來的圖形的面積成等差數(shù)列.

【答案】1:3:5:7:9

【例5】已知人"。中，OE平行8C,若AD:/)B=2:3,且曲初叩比大8$cm?,求工"一

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

22

【解析】根據(jù)金字塔模型A￡):AB=r>E:8C=2:(2+3)=2:5,SAAD￡:5AABC=2:5=4:25,設區(qū)也￡=4份，

則S/MSC=25份,S梯形OBCH25-4=2份,S梯形。叱,比^AADE大17份,恰好是8.5cm,所以

=12.5CT)

【答案】12.5

【例6】如圖：MN平行8C,SAMPN：SBCP=4:9,AM=4cm,求8M的長度

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】在沙漏模型中，因為SAMPN：S&BCP=4：9,所以MV:3c=2:3,在金字塔模型中有：

AM:AB=MN:BC=2:3,因為AM=4cm,AB=4+2x3=6cm,所以&W=6-4=2cm

【答案】2

【鞏固】如圖，已知￡>E平行BC,BO:EO=3:2,那么AD:AB=

A

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

【解析】由沙漏模型得8O:￡O=8C:/）E=3:2,再由金字塔模型得4?=Z?E:8C=2:3.

【答案】2:3

[例7]如圖，AA5C中，AE=-AB,AD=-AC,￡?與8c平行，AE8的面積是1平方厘米.那么AA￡D

的面積是,.平方厘米.

F.\D

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

【解析】因為AE=，AB,AD^-AC,ED與BC平行,

44

根據(jù)相似模型可知￡D:8C=1:4,EO:OC=1:4,SACOO=45.。。=4平方厘米,

則S&CDE=4+1=5平方厘米，

又因為5.：&8￡=4。：℃=1:3，所以5兇面=5*：=:（平方厘米）.

【答案】-

3

【例8】如下圖，正方形ABC。邊長為10厘米，8。長8厘米。AE=____厘米。

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第4題，10分

【解析】AAOB與AEDA相似，對應邊成比例。AB:BO=AE:AD,AE=ABxAD—BO=10x10+8=12.5（厘

米）。

【答案】12.5

【例9】如圖，已知正方形A8C。的邊長是12厘米，E是CD邊上的中點，連接對角線AC,交BE于點O,

則三角形AO8的面積是（）平方厘米。

4、24B、36C、48D、60

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】選擇

【關鍵詞】華杯賽，五年級，初賽

【解析】C

【答案】C

【例10］在圖中的正方形中，A,B,C分別是所在邊的中點，CW的面積是ABO面積的幾倍？

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】連接8C,易知。4〃瓦■，根據(jù)相似三角形性質，可知O8:O￡>=AE:"),且O龐向位：B,

所以VC￡>(的面積等于VC8O的面積；由=可得COt3O,所以

24

Svco廳，cQ辦5，即VS9的面積是VAB。面積的3倍—

【答案】3

【例11】圖30-10是一個正方形，其中所標數(shù)值的單位是厘米.問：陰影部分的面積是多少平方厘米?

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】如下圖所示，為了方便所敘，將某些點標上字母，并連接BG.

設4AEG的面積為X,顯然△EBG、△BFG、△FCG的面積均為x,則4ABF的面積為3x,

5必所=,'20、10=100即》=圖，那么正方形內(nèi)空白部分的面積為4%=竺°?

233

所以原題中陰影部分面積為20x20—竺9=則

（平方厘米）.

33

800

【答案】

亍

【例12］如圖，線段AB與8c垂直，已知/W=￡C=4,BD=BE=6,那么圖中陰影部分面積是多少？

【考點】相似三南形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】解法一：這個圖是個對稱圖形，且各邊長度已經(jīng)給出，不妨連接這個圖形的對稱軸看看.

作輔助線80,則圖形關于8。對稱，有S.=SCEO,S.=SEBO,且SADO：S=4:6=2:3.

設ADO的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形AAK的面積為8份.

因為54跖=6'10+2=30,而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為30+8x4=15-

解法二：連接?！?、AC.由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以小〃AC,根據(jù)相似三角形性質,

可知Z）E:AC=3r＞:BA=6:10=3:5,

22

根據(jù)梯形蝴蝶定理，0al-SCOE-.SCOA=3:（3x5）:（3x5）:5=9:15:15:25,

所以S陰影：SWiADEC=（15+15）:（9+15+15+25）=15:32,即S陰影=^^ADEC；

x

又^^,jfiADEc=—10x10-—X6x6=32,所以S陰影=^S^iADEC=15.

【答案】15

【例13］如圖，四邊形ABCD和EFG”都是平行四邊形，四邊形他C￡＞的面積是16,8G:GC=3:1,貝!）四

邊形EFGH的面積=.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，精英邀請賽

【解析】因為尸G"E為平行四邊形，所以EC//AG,所以AGCE為平行四邊形.

BG:GC=3:1,那么GC:8c=1:4,所以S4浜=(xS,口，=；xl6=4.

叉AE=GC,所以A￡:8G=GC:8G=1:3,根據(jù)沙漏模型，

33

FG:AF=BG:AE^3:l,所以S—AGC￡=-x4=3.

【答案】3

【例14】已知三角形ABC的面積為a,AF:FC^2:1,￡是比＞的中點，目EF〃BC,交CD于G,求陰

影部分的面積.

A

D

E/\\F

/G\\

BC

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】已知AF:尸6=2:且EF〃BC,利用相似三角形性質可知￡F:3。=所：AC=2:3,所以

2

EF=-BC,且S但：S血=4:9.

11?

又因為￡'是BE）的中點，所以EG是三角形08c的中位線，那么EG=—BC,EG;EF=—:—=3:4,

223

所以GF:EF=1:4,可得SCFG：S"E=1：8,所以S什。：S詆=1：謳，那么5詆=/.

【答案】-

18

【例15］已知正方形438,過C的直線分別交AB、A。的延長線于點E、F,且AE=10cm,AF=15cm

,求正方形ABC/）的邊長.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：本題有兩個金字塔模型，根據(jù)這兩個模型有3C:=產(chǎn)，DC:AE=CF:EF,設正

方形的邊長為xcm,所以有史+生=0+e=1,即2+土=1,解得x=6,所以正方形的邊

AFAEEFEF1510

長為6cm.

方法二：或根據(jù)一個金字塔列方程即二=立三,解得x=6

1015

【答案】6

【例16］如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=I2O毫米，高AE>=80毫米，要把它加工成正

方形零件，使正方形的一邊在8c上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長

是多少？

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

PNAPPHBP

【解析】觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以有三生=色二，一_—,

BCABADAB

PNPHAPRPrX

設正方形的邊長為X毫米，—+—=J2￡+￡￡=1(即上+二=1,解得X=48,即正方形的邊

BCADABAB12080

長為48毫米.

【答案】48

【鞏固】如圖，在ZVRC中，有長方形DEFG,G、E在8c上，D、E分別在鉆、AC上，AH是zMBC

邊BC的高，交DE于M,DG:DE=\-.2,BC=12厘米，A〃=8厘米，求長方形的長和寬.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以匹=絲，—,

BCABAHAB

“*DEDGADBD.九八"nI___“+2xx],024-48

所以有-----F----=--------F---=1,段￡>G=x,則LE=2,所以有一+—=1,解付x=—,2x=一,

BCAHABAB12877

74

因此長方形的長和寬分別是A竺Q厘米，三厘米.

77

【答案】長4竺8，寬?三4

77

【例17】圖中43CD是邊長為12。利的正方形，從G到正方形頂點C、。連成一個三角形，已知這個三角形

在初上截得的防長度為4cm,那么三角形GDC的面積是多少？

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】根據(jù)題中條件，可以直接判斷出砂與DC平行，從而三角形G￡F與三角形GOC相似，這樣，就可

以采用相似三角形性質來解決問題.

做GM垂直。C于M,交4?于N.

因為EF〃DC,所以三角形GEF與三角形GOC相似，且相似比為斯：￡>C=4:12=1:3,

所以GN:GM=1:3,又因為MN=GM-GN=12,所以GM=18(tw),

所以三角形GDC的面積為gx12x18=108（CTO2）

【答案】108

【例18]如圖，將一個邊長為2的正方形兩邊長分別延長1和3,割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積

是多少？

NF3FM1

【解析】根據(jù)相似三角形的對應邊成比例有：上=_2_；-=—

1+22+32+31+2

則NF=*,EM=-,

93

【答案】—

30

【例19】圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)（厘米），它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積

是.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】101中學

【解析】設大、小正方形的邊長分別為，"厘米、”厘米（,“>”），則相2+〃2=52,所以m<8.若機45,則

n^+n2<52X2=50<52,不合題意，所以機只能為6或7.檢驗可知只有加=6、〃=4滿足題意，

所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和4厘米.根據(jù)相似三角形性質，

BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得8G=3.6（厘米），所以陰影部分的面積為：

-x6x3.6=10/（平方厘米）.

2

【答案】108

【例20］如圖，O是矩形一條對角線的中點，圖中已經(jīng)標出兩個三角形的面積為3和4,那么陰影部分的一

塊直角三角形的面積是多少？

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】連接08,面積為4的三角形占了矩形面積的！，所以5徵￡8=4-3=1,所以OE:瓦卜1:3,所以

4

CE:C/E5:&由三角形相似可得陰影部分面積為8x（62=y

25

【答案】

8

【例21】已知長方形488的面積為70厘米，E是AD的中點，F(xiàn)、G是BC邊上的三等分點，求陰影

4EHO的面積是多少厘米？

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】因為E是AD的中點，F(xiàn)、G是3C邊上的三等分點，由此可以說明如果把長方形的長分成6份的

話，那么匹=AO=3份、BF=FG=GC=2份,大家能在圖形中找到沙漏和ABOG：有

ED：BG=3：4,所以O￡）：8O=3：4,相當于把8。分成（3+4）7份，同理也可以在圖中在次找到沙

漏：△￡//￡>和也是沙漏，ED：BF=3：2,由此可以推出：HD：BH=3：2,相當于把跳）分

成（3+2）5份，那么我們就可以把班）分成35份（5和7的最小公倍數(shù)）其中0￡）占15份，BH占14份，

35

HO占6份，連接EB則可知△?￡?的面積為70+4==，在8。為底的三角形中“。占6份，則面

2

積為：更x_L=3（平方厘米）.

235

【答案】3

【例22】ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB、3c的中點，則圖中陰影部分的

面積為平方厘米.

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】方法一：注意引導學生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關性質.

設G、”分別為AD、DC的中點，連接GH、EF、BD.

可將S4H>=平行四邊形Age?>

23

對角線8D被EF、AC>G”平均分成四段，叉OMHEF,所以DO:ED=-BD:—BD=2:3,

44

OE:ED=（ED-OD）:ED=（3-2）:3=1:3,

所以S平行四邊揚版。=§、^'72=6（平方厘米），S4no=2xSAEO=12（平方厘米）.

同理可得SCFM=6平方厘米，Sczw=12平方厘米.

所以SABC~^ABQ-SCFM=36-6-6=24（平方厘米），

于是，陰影部分的面積為24+12+12=48（平方厘米）.

方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CD^AO:OC=1:2,FC:AD^CM:AM,因此QM為AC的

二寺分點，SAOD”=工5平行四邊形Ape?=公*72=12（平方厘米），S=；548=：><12*2=6（平方厘米）,

6644AA￡O0

同理=6（平方厘米），所以％影=72-12-6-6=48（平方厘米）.

【答案】48

【例23］如圖，三角形PDW的面積是8平方厘米，長方形的長是6厘米，寬是4厘米，M是8C的

中點，則三角形APD的面積是平方厘米.

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】本題在矩形內(nèi)連接三點構成一個三角形，而且其中一點是矩形某一條邊的中點，一般需要通過這一

點做垂線.

取AD的中點N,連接MN,設MN交。D于K.

則三角形PDW被分成兩個三角形，而且這兩個三角形有公共的底邊MK,可知三角形PDW的面積

1QQA

等于一xMKxBC=8（平方厘米），所以MK=—（厘米），那么NK=4--=—（厘米）.

2333

O

因為NK是三甬形APD的中位線，所以AP=2xNK=2（厘米），所以三角形APD的面積為

3

Ig

—x-x6=8（平方厘米）.

23

【答案】8

【例24］如圖，長方形ABC。中，￡為AD的中點，AF與BE、9分別交于G、H,垂直4）于E,

交"于0,已知A"=5cm,HF=3cm,求AG.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】由于AB〃DF,利用相似三角形性質可以得到A屎DFuA/^HRnS^,

又因為E為AD中點，那么有OE:￡D=1:2,

3

所以A8:OE=5:==10:3,利用相似三角形性質可以得到AG:GO=A5:OE=10:3,

2

而4O=gAF=；x（5+3）=4（cm）,所以AG=4x￡=曰（cm）.

40

【答案】—

13

【例25】右圖中正方形的面積為1,E、尸分別為AB、8。的中點，GC=|fC.求陰影部分的面積.

【考點】相似三南形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】題中條件給出的都是比例關系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現(xiàn)最

多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質.

陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可求出面積.可以作切垂直

BC于H,G/垂直BC于/.

根據(jù)相似三角形性質，CI:CH=CG:CF=1;3,又因為CH=HB,所以C7:C8=1:6,即

B/:BC=（6-1）:6=5:6,所以S=

v78GE22624

【答案】—

24

【例26】梯形的面積為12,AB=2CD,￡為AC的中點，BE的延長線與4。交于尸，四邊形CD莊

的面積是.

【考點】相似三角形模型【難度】4星

【解析】延長BF、C￡＞相交于G.

由于E為AC的中點，根據(jù)相似三角形性質，CG=AB=2CD,GD=-GC--AB,再根據(jù)相似三

22

角形性質，AF:FD^AB:DG^2A,GF:GB=1:3,而S3D：S2CD=AB:CD=2:1,

x

所以S\BCD=§^ABCD=—12=4,SACBC=2sA8cB=8.

又==；,s=1s4CBC,所以ScDFE卜ACBC=；SAGBC.

SAGBC2362k26J33

【答案】-

3

【例27］如圖，三角形ABC的面積為60平方厘米，D,E、尸分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積

是平方厘米.

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉化為兩個三角形的面積之差.而

從圖中來看，既可以轉化為A8防與AEMN的面積之差，又可以轉化為ABCW與ACFN的面積之差.

（法1）如圖，連接DE.

由于￡）、E、F分別為各邊的中點，那么比）EF為平行四邊形，且面積為三角形A8C面積的一半,

即30平方厘米；那么ABE尸的面積為平行四邊形或出尸面積的一半，為15平方厘米.

根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于為三角形A5C的中位線，長度為3c的一半，則

EM:BM=DE:BC=1:2,所以

3

EN.FN=DE:FC=\:\,所以EN=^EF.

2

那么A￡MV的面積占ABE尸面積的，所以陰影部分面積為12.5（平方厘米）.

236k6）

（法2）如圖，連接A".

根據(jù)燕尾定理，SMBM:S^CM=AE:EC=\A,S^CM-.S^CM^AD-.DB^-A,

所以5ABeo=g5MBe=gx60=20平方厘米，

而S&BDC—S^BC=5、60=30平方厘米，所以S.CN=_S.oc=7.5平方厘米,

那么陰影部分面積為20-7.5=12.5（平方厘米）.

【總結】求三角形的面積，一般有三種方法：

⑴利用面積公式：底x高+2;

（2）利用整體減去部分；

⑶利用比例和模型.

【答案】12.5

【例28］如圖,ABC￡>是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3.那么梯形ABC/）的面積是多少?

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】延長EO交43于尸點，分別計算△A8,4AOB,^￡>OC,Z\6OC的面積，再求和.

DE：BF=DO：OB=3：1

,,S〉AOD,SAAOB=3?1：S△3c=S/\BOC=3.1

S/XAOD=S△加c

又???SLA\nAD切LJ=-2x4x5=10

?3

帖

,,SAAOD=~SAABD=75,SAAOB=2.5,S0c—7.5,SADOC=3sAB0C=3x7.5=22.5

??S梯形人8co=7.5+2.5+7.5+22.5=40

【答案】40

【例29】邊長為8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米?

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】給圖形標注字母，按順時針方向標注，大正方形為ABCD,4、正方形為MNDE,￡B分別交AC,AT>

于O,H兩點，

AO：OC=M：￡Cf2：20=3：5,AH：BC-AO'OC^3：5

AO：AC=3：8,AH：AD=3：5,S.。：S△皿=9：40

；s△的=?122=72

99

；?S4Mm=—SAAK=而x72=16.2

【答案】16.2

【例30】如右圖，長方形ABCD中，EF=\6,FG=9,求AG的長.

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】因為DA〃BE,根據(jù)相似三角形性質知生=生，

GBGE

又因為DF〃AB,-,

GBGA

所以絲=型AG2=G￡FG=25x9=225=152,所以AG=15.

GEGA

【答案】15

【例31］如圖，已知正方形ABC/）的邊長為4,尸是BC邊的中點，￡是DC邊上的點，且￡>￡:￡C=1:3,

AF與座相交于點G,求治.c

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯

［解析】方法一:連接AE,延長AF,DC兩條線交于點M,構造出兩個沙漏，所以有AB:CM=W7:FC=1:1,

因此C/W=4,根據(jù)題意有CE=3,再根據(jù)另一個沙漏有G8:GE=M:K以=4:7,所以

443：

S/XABL7Vs△4x（4x唱為一

方法二：連接AE,￡F,分別求=4x2+2=4,SAA￡f=4x4-4x14-2-3x2^2-4=7,根據(jù)

4432

蝴蝶定理S△椀：5△心=8G:GE=4:7,所以工,如=干5=打、（4乂4+2）=7P

32

【答案】—

11

【例32］如圖所示，已知平行四邊形ABC。的面積是1,E、尸是Afi、4）的中點，BF交EC于M,求

AaWG的面積.

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】解法一：由題意可得，E、F是A3、的中點，得EFUBD,布FD:BC=FH:HC=1:2,

EB:CD=BG:GD=1;2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、H是BD的三等分點、,所以BG=GH,所以

BG:EF=BM:MF=2:3,

1

所以%切=萬%8￡)=5X55Age=4：

11?1211

又因為所以SMMC=-X—乂

BG=-BD,5A.sm=-*—x—=—.

3we35e3543()

解法二：延長CE交D4于/,如右圖，

可得，A/:8C=A￡:ES=1:1,

從而可以確定M的點的位置，

BM:MF=BCJF=2:3,

21

BM=-BF,8G=-8。(鳥頭定理)，

53

4超c_21c_211_1

丁傳SABMG_gXg_WXgX'SAHCD——

【答案】—

30

【例33]正方形"C￡＞的面積是120平方厘米，E是43的中點，廠是8c的中點，四邊形8GH尸的面積是

平方厘米.

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】清華附中，入學測試

【解析】欲求四邊形BGH5的面積須求出AEBG和ACHF的面枳.

由題意可得到：EG.GC=EB:CD=\-.2,所以可得：5出即=3sAecE

將AB、延長交于M點，可得：

BM.DC=MF:FD=BF-.FC=\A,

12

而EH:HC=EM:CD=(—AB+AB):CD=3:2,得CH=—CE,

25

1171

x

而CF=-BC,所以SgF=--SABCt=-5^

x-ABXBC-11X203

Me、24

1177

S四邊形BCHh黑BC-XEB%55g爽fg幻1=。

本題也可以用I蝴蝶)理I來做,連接EF,確定”的位置(也就是在同樣也能解出.

【答案】14

【例34]如圖，已知工械=14,點尸分別在A&3CC4上，且仞二二處二6人尸二代，

S四邊形3BEF=S4AHK則是多少？

c

c

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】人"。的面積已知，若知道入包組的面積占△/WC的幾分之幾就可以計算出入組組的面積.連接

CD.

S叫邊%DBEF=$4ABE

,?S^DKF=

，AC與DE平行，

,?S&&DE=S&CDE

**S4AB亂=S&CDB

VAD=2,80=5

,?S^g^;SCDB=2:5

S&ABB=S&CDB=~寸嘰=—xl4=10

【答案】10

【例35］如圖，長方形他CZ）中，E、尸分別為8、邊上的點，DE=EC,FB=2AF,求PM:MN:NQ.

【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】如圖，過E作4）的平行線交PQ于G.

由于E是。C的中點，所以G是P。的中點.

由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:￡>E=2:3,BF:CE=4:3.

根據(jù)相似性，PM:MG=AM:ME^AF:DE^2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,

2333644

于是PM=^PG,MN=qPG+；GQ=^PG,NQ=-GQ^-PG,

所以PM:MN:N0=2:更:±=7:18:10.

5357

【答案】7:18:10

【例36】如下圖，D、E、F、G均為各邊的三等分點，線段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果

四邊形尸OGC的面積是24平方厘米，求三角形ABC的面積.

AA

【考點】相似三角形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】設三角形以為底的高為人,

由于FG:AN=2:3,所以。：AG=1:2;

192

所以三角形OGb以G/7為底的高是一〃x—二—〃；

339

2

又因為三角形CFG以FG為底的高是一〃，

3

22

所以三角形OGF的面積與三角形CG尸的面積之比=一〃：一〃=1:3,

93

3

所以三角形CFG的面積為24x——=18（平方厘米），

3+1

224

而三角形CFG的面積占三角形ABC的一乂一二一，

339

4

所以三角形"C的面積是18+§=40.5（平方厘米）.

【答案】40.5

【例37］如圖，4BCO為正方形,AM^NB=DE=FC=lcmS.MN=