532函數(shù)的極值與最大（?。┲担ㄊ箢}型）（原卷版）

5．3．2函數(shù)的極值與最大（?。┲怠绢}型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的極值題型二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍題型三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題題型四：不含參函數(shù)的最值問題題型五：含參函數(shù)的最值問題題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題題型七：導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題題型十：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題題型十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型十二：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的極值（一）函數(shù)的極值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，（1）若對(duì)于附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；（2）若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱極值．在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)詮釋：由函數(shù)的極值定義可知：（1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)在及其附近有定義，否則無從比較．（2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，是一個(gè)局部概念；在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極值，也可能無極值．由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最?。?）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值．極小值不一定是整個(gè)定義區(qū)間上的最小值．（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．（二）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③求方程的根；④檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則在這個(gè)根處取得極小值．（最好通過列表法）知識(shí)點(diǎn)詮釋：①可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件．例如函數(shù)，在處，，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)．②可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)的符號(hào)相異．知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的最值（一）函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得．②函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只有一個(gè)．（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①求函數(shù)的最值時(shí)，不需要對(duì)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可．②若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（小）值即為最大（?。┲担ㄈ┳钪蹬c極值的區(qū)別與聯(lián)系①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域上的函數(shù)值得出的（具有絕對(duì)性），是整個(gè)定義域上的整體性概念．最大值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有函數(shù)值中的最小值．函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對(duì)性），是局部的概念；②極值可以有多個(gè)，最大（?。┲等舸嬖谥挥幸粋€(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點(diǎn)取得；最大（?。┲悼赡苁悄硞€(gè)極大（小）值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；③有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值．知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)極值與最值的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題．一些含參不等式，一般形如，若能分離參數(shù)，即可化為：（或）的形式．若其恒成立，則可轉(zhuǎn)化成（或），從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．若不能分離參數(shù)，就是求含參函數(shù)的最小值，使．所以仍為求函數(shù)的最值問題，只是再求最值時(shí)可能需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．2、證不等式問題．當(dāng)所要證的不等式中只含一個(gè)未知數(shù)時(shí)，一般形式為，則可化為，一般設(shè)，然后求的最小值，證即可．所以證不等式問題也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．3、兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（方程解的個(gè)數(shù)問題）一般可轉(zhuǎn)化為方程的問題，即的解的個(gè)數(shù)問題，我們可以設(shè)，然后求出的極大值、極小值，根據(jù)解的個(gè)數(shù)討論極大值、極小值與0的大小關(guān)系即可．所以此類問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的極值例1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).例2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).例3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).變式1．（2024·福建·高二校聯(lián)考）已知函數(shù)在時(shí)取得極小值為(1)求的值；(2)令，證明：．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟（1）確定函數(shù)的定義域．（2）求方程的根．（3）用方程的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符號(hào)，來判斷在這個(gè)根處取極值的情況．題型二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍例4．（2024·江西宜春·高二校考期末）若函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)但有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例5．（2024·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在處有極值0，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11例6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·安徽安慶·高二安慶一中?？迹┮阎瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則的最小值為（

）A． B． C． D．7【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法（1）對(duì)于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)．注意：求出參數(shù)后，一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件．（2）對(duì)于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為或在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立．題型三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題例7．（2024·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例8．（2024·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若函數(shù)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．例9．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期末）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便．（2）解決這類問題，一個(gè)就是注意借助幾何圖形的直觀性，另一個(gè)就是正確求導(dǎo)，正確計(jì)算極值．題型四：不含參函數(shù)的最值問題例10．（2024·湖北·高二期末）函數(shù)的最小值為.例11．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為m，n，則.例12．（2024·重慶江北·高二重慶十八中校考）函數(shù)的最小值是．變式4．（2024·山東濟(jì)寧·高二嘉祥縣第一中學(xué)?？迹┖瘮?shù)的最小值為，函數(shù)的最小值為.變式5．（2024·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中，a，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)最值的步驟（1）求函數(shù)的定義域．（2）求，解方程．（3）列出關(guān)于，，的變化表．（4）求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較．題型五：含參函數(shù)的最值問題例13．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求極值：(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值．例14．（2024·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．例15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【方法技巧與總結(jié)】含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況（1）能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題．（2）對(duì)于不能求出參數(shù)值的問題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值．題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題例16．（2024·黑龍江雞西·高二校考期末）若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．4 D．例17．（2024·云南昭通·高二?？迹┖瘮?shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2024·陜西西安·高二）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式6．（2024·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)，的最小值為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．3 D．【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值（或范圍）是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程（不等式）解決問題．題型七：導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用例19．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：元）與日產(chǎn)量（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量滿足函數(shù)關(guān)系式：，已知每日的利潤(rùn)，且當(dāng)時(shí)．(1)求的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值．例20．（2024·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某玩具廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本：，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，銷售100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元.(1)試寫出總利潤(rùn)關(guān)于產(chǎn)品銷售的件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)定為多少件，總利潤(rùn)最大.例21．（2024·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考）某企業(yè)在2023年全年內(nèi)計(jì)劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x百件，生產(chǎn)過程中總成本w（x）（萬元）是關(guān)于x（百件）的一次函數(shù)，且，．預(yù)計(jì)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，且當(dāng)年產(chǎn)量為x百件時(shí)，每百件產(chǎn)品的銷售收入（萬元）滿足．(1)寫出該企業(yè)今年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百件）的函數(shù)關(guān)系式；(2)今年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，該企業(yè)在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，，）變式7．（2024·浙江杭州·高二?？茧A段練習(xí)）2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每一百輛車售價(jià)800萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤(rùn)（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤(rùn)＝銷售額－成本）(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【方法技巧與總結(jié)】解決最優(yōu)問題應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手（1）設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域．（2）在實(shí)際應(yīng)用問題中，若函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn)．題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題例22．（2024·浙江溫州·高二溫州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值.例23．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考）已知函數(shù).(1)若，求在定義域內(nèi)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．例24．（2024·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上既有最大值又有最小值，求a的取值范圍．變式8．（2024·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的極小值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．變式9．（2024·重慶江北·高二重慶十八中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，(1)若，求的極值；(2)若，設(shè)的最大值為，求的范圍.【方法技巧與總結(jié)】（1）已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義．（2）討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即的正負(fù)．（3）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的那個(gè)值是最大值，最小的那個(gè)值是最小值．題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題例25．（2024·江蘇宿遷·高二校考）已知函數(shù)在和處取得極值.(1)求的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.例26．（2024·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）（1）已知對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.例27．（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．變式10．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，且.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.【方法技巧與總結(jié)】解決不等式恒成立問題，有兩種求解方法．一種是轉(zhuǎn)化為求最值，另一種是分離參數(shù)．分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟題型十：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例28．（2024·湖北武漢·高二武漢市育才高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．例29．（2024·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（

）A． B．C． D．例30．（2024·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，且，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式11．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知為偶函數(shù)，且，令，若時(shí)，，關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或【方法技巧與總結(jié)】解決不等式問題，通常先構(gòu)造新函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，從而使不等式問題得以解決．題型十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例31．（2024·全國·高二專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，證明：不等式.例32．（2024·北京東城·高二北京二中?？迹┮阎瘮?shù)．(1)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明不等式恒成立．例33．（2024·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)證明:對(duì)于任意的正整數(shù),不等式成立.變式12．（2024·陜西商洛·高二?？迹┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：不等式在上恒成立．變式13．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對(duì)，不等式恒成立.【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（比較大小）常與函數(shù)最值問題有關(guān)．因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，然后考察這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值使問題得以求解．題型十二：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題例34．（2024·安徽安慶·高二安慶一中?？迹┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．例35．（2024·四川眉山·高二眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線垂直.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，求m的取值范圍.例36．（2024·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校校考）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值(2)若函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍變式14．（2024·北京東城·高二東直門中學(xué)校考）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（只需寫出結(jié)論）變式15．（2024·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】解決零點(diǎn)問題，有兩種求解方法．一種是直接法，另一種是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點(diǎn)問題．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線：相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谀┤缬覉D所示為的圖像，則下列判斷正確的是

（

）①在上是增函數(shù)；②是的極小值點(diǎn)；③在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；④是的極小值點(diǎn)A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②③5．（2024·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題9．（2024·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的減區(qū)間是，B．函數(shù)的減區(qū)間是，C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）