河北衡中同卷2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

河北衡中同卷2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．2．設(shè)是虛數(shù)單位，條件復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，條件，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．集合，那么（）A． B． C． D．4．與復(fù)數(shù)相等的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．5．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（）A． B． C． D．7．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C． D．8．設(shè)p、q是兩個(gè)命題，若是真命題，那么（）A．p是真命題且q是假命題 B．p是真命題且q是真命題C．p是假命題且q是真命題 D．p是假命題且q是假命題9．參數(shù)方程x=2t，A． B． C． D．10．復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣111．如圖，長方形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲線經(jīng)過點(diǎn)B,現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入長方形OABC中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為()A． B． C． D．12．曲線的圖像（）A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于原點(diǎn)對稱,但不關(guān)于直線對稱C．關(guān)于軸對稱D．關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)地球O的半徑為R，P和Q是地球上兩地，P在北緯45°，東經(jīng)20°，Q在北緯，東經(jīng)110°，則P與Q兩地的球面距離為__________。14．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24cm，深為8cm的空穴，則這球的半徑為______cm.15．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得成立的概率為．16．小明玩填數(shù)游戲：將1，2，3，4四個(gè)數(shù)填到的表格中，要求每一行每一列都無重復(fù)數(shù)字。小明剛填了一格就走開了（如右圖所示），剩下的表格由爸爸完成，則爸爸共有_______種不同的填法.（結(jié)果用數(shù)字作答）1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前和．18．（12分）已知橢圓:的上頂點(diǎn)為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)分別為、.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且,試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由.19．（12分）為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為40元，其余3個(gè)所標(biāo)的面值均為20元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球由標(biāo)有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標(biāo)有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡．請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．提示：袋中的4個(gè)球由標(biāo)有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個(gè)球所標(biāo)的面值“既有a元又有b元”．20．（12分）如圖，在三棱錐中，，在底面上的射影在上，于.（1）求證：平行平面，平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知集合，．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求A∩(?RB)；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)圖像最低點(diǎn)求得，根據(jù)函數(shù)圖像上兩個(gè)特殊點(diǎn)求得的值，由此求得函數(shù)解析式，進(jìn)而求得的值.【題目詳解】根據(jù)圖像可知，函數(shù)圖像最低點(diǎn)為，故，所以，將點(diǎn)代入解析式得，解得，故，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，并求三角函數(shù)值，屬于中檔題.2、A【解題分析】

復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有利用充分條件與必要條件的定義可得結(jié)果.【題目詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有所以由能推出；但若,不能推出復(fù)數(shù)是純虛數(shù).所以由不能推出.，因此是充分不必要條件,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡單題.判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.3、D【解題分析】

把兩個(gè)集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【題目詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生理解并集的定義掌握并集的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，屬基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

直接把給出的復(fù)數(shù)寫出代數(shù)形式，得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

由二項(xiàng)分布與次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型得：，，則，得解．【題目詳解】因?yàn)榉亩?xiàng)分布，，，所以，，即，，則，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布與次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

根據(jù)已知，將選項(xiàng)代入驗(yàn)證即可.【題目詳解】由，知且，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合間的關(guān)系，要注意特殊方法的應(yīng)用，減少計(jì)算量，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

先判斷出是假命題，從而判斷出p,q的真假即可.【題目詳解】若是真命題，則是假命題，則p,q均為假命題，故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)合命題的真值表的問題，在解題的過程中，首先需要利用是真命題，得到是假命題，根據(jù)“或”形式的復(fù)合命題真值表求得結(jié)果.9、D【解題分析】

由x=2t，得t=2x，代入y=2【題目詳解】由題意知x≠0，將t=2x代入y=解得y24-x22=1，因?yàn)椤绢}目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程化普通方程一般有以下幾種消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。消參時(shí)要注意參數(shù)本身的范圍，從而得出相關(guān)變量的取值范圍。10、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【題目詳解】解：∵復(fù)數(shù)，∴復(fù)數(shù)的虛部是﹣1，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】由定積分可得，陰影部分的面積為：，由幾何概型公式可得：.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)=.12、D【解題分析】

構(gòu)造二元函數(shù)，分別考慮與、、、、的關(guān)系，即可判斷出相應(yīng)的對稱情況.【題目詳解】A．，所以不關(guān)于軸對稱；B．，，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，也關(guān)于直線對稱；C．，所以不關(guān)于軸對稱；D．，所以關(guān)于直線對稱，同時(shí)也關(guān)于直線對稱.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用，難度一般.若曲線關(guān)于軸對稱，則將曲線中的換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于軸對稱，則將曲線中的換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于對稱，則將曲線中的換成、換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，則將曲線中的換成、換成，此時(shí)曲線的方程不變.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

首先計(jì)算出緯圈半徑，再根據(jù)經(jīng)度差可求得長；根據(jù)長度關(guān)系可求得球心角，進(jìn)而可求得球面距離.【題目詳解】由題意可知：緯圈半徑為：兩點(diǎn)的經(jīng)度差為即：兩地的球面距離：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查球面距離及其計(jì)算，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.14、13；【解題分析】

設(shè)球的半徑為，得到截面圓的半徑為，球心距為，再由，列出方程，即可求解.【題目詳解】設(shè)球的半徑為，將球取出，留下空穴的直徑為，深，則截面圓的半徑為，球心距為，又由，即，化簡得，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了球的幾何特征，其中解答中根據(jù)球的半徑，截面圓的半徑，以及球心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用零點(diǎn)分段法解不等式，得出解集與區(qū)間取交集，再利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí).所以，不等式的解集為，因此，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故答案為.s【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值不等式的解法、幾何概型概率公式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是解出絕對值不等式，解絕對值不等式一般有零點(diǎn)分段法（分類討論法）以及幾何法兩種方法求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．16、144【解題分析】分析：依據(jù)題意已經(jīng)放好一個(gè)數(shù)字，為了滿足要求進(jìn)行列舉出結(jié)果詳解：第一行將數(shù)字填入表格有種可能，然后將數(shù)字填入表格有種可能；那么第二行每個(gè)數(shù)字分別有、、、種可能；根據(jù)題意每一行每一列都無重復(fù)數(shù)字，所以第三行只有種可能，第四行每個(gè)數(shù)字都只有一種情況，所以一共有點(diǎn)睛：本題考查了排列組合，在解答題目時(shí)按照題意采取了列舉法，分別考慮每一行的情況，然后再進(jìn)行排列，在解題時(shí)注意是否存在重復(fù)的情況。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）首先根據(jù)題意得到，化簡得到，求出，再代入即可.（2）首先化簡得到，再利用裂項(xiàng)求和計(jì)算即可.【題目詳解】（1）由題知：，即化簡得：，，所以..（2）..【題目點(diǎn)撥】本題第一問考查等差、等比數(shù)列的綜合，第二問考查裂項(xiàng)求和，屬于中檔題.18、（1）（2）直線過定點(diǎn)【解題分析】

（1）根據(jù)圓的圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，令求得圓與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，由此列方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）根據(jù)，利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，并分別代入橢圓方程解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的方程，由此求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題目詳解】解：（1）依題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則以點(diǎn)A圓心，以為半徑的圓的方程為:，令得，由圓A與y軸的交點(diǎn)分別為、可得，解得，故所求橢圓的方程為.（2）由得，可知PA的斜率存在且不為0，設(shè)直線-①則-②將①代入橢圓方程并整理得，可得，則，類似地可得，由直線方程的兩點(diǎn)式可得：直線的方程為，即直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程的兩點(diǎn)式以及直線過定點(diǎn)的問題.屬于中檔題.要求直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要聯(lián)立直線和橢圓的方程，解方程組求得，這里需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力.直線過定點(diǎn)的問題，往往是將含有參數(shù)的部分合并，由此求得直線所過的定點(diǎn).19、（1）分布列見解析；期望為50；（2）應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個(gè)【解題分析】

（1）設(shè)顧客獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，隨機(jī)變量的可能取值為,分別求出對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，面值設(shè)計(jì)是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）設(shè)顧客獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，隨機(jī)變量的可能取值為.，，所以的分布列如下：所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為元.所以可先尋找使期望為60元的可能方案：當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)樵敲嬷抵偷淖畲笾?，所以期望不可能為；若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)樵敲嬷抵偷淖钚≈?，所以期望不可能?因此可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，同理可排除“”、“”的面值設(shè)計(jì)，所以可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為因?yàn)榧磧煞N方案獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但面值設(shè)計(jì)方案“”的獎(jiǎng)勵(lì)額的方差要比面值設(shè)計(jì)方案“”的方差小，所以應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了期望與方差的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）詳見解析（2）【解題分析】

（1）證明EF∥BC，從而BC∥平面DEF，結(jié)合AB⊥DF，AB⊥DE，推出AB⊥平面DEF，即可證明平面DAB⊥平面DEF．

（2）在△DEF中過E作DF的垂線，垂足H，說明∠EBH即所求線面角，通過求解三角形推出結(jié)果．【題目詳解】解：（1）證明：因?yàn)?，所以，分別是，的中點(diǎn)所以，從而平面又，，所以平面從而平面平面（2）在中過作的垂線，垂足由（1）知平面，即所求線面角由是中點(diǎn)，得設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，，，所以所求線面角的正弦值為【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是中檔題．21、（Ⅰ）{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}（Ⅱ）m＝1【解題分析】

（Ⅰ）求出A＝{y|﹣1≤y≤5}