2024屆河南省鄭州市四校數學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆河南省鄭州市四校數學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在（x－）10的展開式中，的系數是（）A．－27 B．27 C．－9 D．92．已知，，，則的大小關系為()．A． B． C． D．3．已知是虛數單位，若復數滿足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-34．若復數，則復數在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如圖，在正方形中，點E，F分別為邊，的中點，將、分別沿、所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，下列說法錯誤是（）A．存在某個位置，使得直線與直線所成的角為B．存在某個位置，使得直線與直線所成的角為C．A、C兩點都不可能重合D．存在某個位置，使得直線垂直于直線6．已知曲線的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為()A．1 B．ln2 C．2 D．e7．設全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，則實數a的值為()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或88．已知展開式中常數項為1120，實數是常數，則展開式中各項系數的和是A． B． C． D．9．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．10．中國古代數學名著《九章算術?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個長方體沿不在同一表面上的相對兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．11．用數學歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．12．已知函數的導函數為，且對任意的實數x都有（e是自然對數的底數），且，若關于x的不等式的解集中恰有兩個整數，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____．14．已知復數是純虛數，則實數_________.15．已知函數，則曲線在處的切線方程為_____16．已知不等式對于大于的正整數恒成立，則實數的取值范圍為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四核錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）某海濕地如圖所示，A、B和C、D分別是以點O為中心在東西方向和南北方向設置的四個觀測點，它們到點O的距離均為公里，實線PQST是一條觀光長廊，其中，PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里，QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等，ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里，以O為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.（1）求觀光長廊PQST所在的曲線的方程；（2）在觀光長廊的PQ段上，需建一服務站M，使其到觀測點A的距離最近，問如何設置服務站M的位置?19．（12分）一個口袋內有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求.21．（12分）已知函數．（1）討論的單調性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍．22．（10分）若，(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：通項Tr＋1＝x10－r（－）r＝（－）rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系數為9考點：二項式定理2、A【解題分析】

利用指數函數、對數函數的性質求解．【題目詳解】顯然，，，，因此最大，最小，故選A.【題目點撥】本題考查三個數的大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數函數、對數函數性質的合理運用．3、D【解題分析】

利用復數代數形式的乘除運算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復數z的虛部是-3故選：D【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題．4、B【解題分析】

把復數為標準形式，寫出對應點的坐標．【題目詳解】，對應點，在第二象限．故選B．【題目點撥】本題考查復數的幾何意義，屬于基礎題．5、D【解題分析】

在A中，可找到當時，直線AF與直線CE垂直；在B中，由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到，自然可取到；在C中，若A與C重合，則，推出矛盾；在D中，若AB⊥CD，可推出則，矛盾.【題目詳解】解：將DE平移與BF重合，如圖：在A中，若，又，則面，則，即當時，直線AF與直線CE垂直，故A正確；

在B中，由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到，必然會存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°，故B正確；在C中，若A與C重合，則，不符合題意，則A與C恒不重合，故C正確；

在D中，，又CB⊥CD，則CD⊥面ACB，所以AC⊥CD，即，又，則，矛盾，故D不成立；

故選：D.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題.6、D【解題分析】

對函數進行求導，然后讓導函數等于2，最后求出切點的橫坐標.【題目詳解】，由題意可知，因此切點的橫坐標為e，故選D.【題目點撥】本題考查了導數的幾何意義，考查了導數的運算法則，考查了數學運算能力.7、D【解題分析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.詳解：由，且，又集合，實數的值為或，故選D.點睛：本題考查補集的定義與應用，屬于簡單題.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.8、C【解題分析】分析：由展開式通項公式根據常數項求得，再令可得各項系數和．詳解：展開式通項為，令，則，∴，，所以展開式中各項系數和為或．故選C．點睛：賦值法在求二項展開式中系數和方面有重要的作用，設展開式為，如求所有項的系數和可令變量，即系數為，而奇數項的系數和為，偶數項系數為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．9、D【解題分析】

根據直線方程求得斜率，根據斜率與傾斜角之間的關系，即可求得傾斜角.【題目詳解】設直線的傾斜角為，故可得，又，故可得.故選：D.【題目點撥】本題考查由直線的斜率求解傾斜角，屬基礎題.10、B【解題分析】

首先根據題意得到“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【題目詳解】由題知：“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，如圖所示：設外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【題目點撥】本題主要考查三棱柱的外接球，同時考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.11、B【解題分析】分析：分析，時，左邊起始項與終止項，比較差距，得結果.詳解：時，左邊為,時，左邊為,所以左邊需添加的項是，選B.點睛：研究到項的變化，實質是研究式子變化的規(guī)律，起始項與終止項是什么，中間項是如何變化的.12、B【解題分析】

先利用導數等式結合條件求出函數的解析式，由，得，轉化為函數在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標為整數的點，然后利用導數分析函數的單調性與極值，作出該函數的圖象，利用數形結合思想求出實數的取值范圍.【題目詳解】由等式，可得，即，即（為常數），，則，，因此，，，令，得或，列表如下：極小值極大值函數的極小值為，極大值為，且，作出圖象如下圖所示，由圖象可知，當時，.另一方面，，則，由于函數在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標為整數的點，由圖象可知，這兩個點的橫坐標分別為、，則有，解得，因此，實數的取值范圍是，故選B.【題目點撥】本題考查函數的單調性、函數不等式的整數解問題，本題的難點在于利用導數方程求解函數解析式，另外在處理函數不等式的整數解的問題，應充分利用數形結合的思想，找到一些關鍵點來列不等式求解，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

令分別代入等式的兩邊，得到兩個方程，再求值.【題目詳解】令得：，令得：，.【題目點撥】賦值法是求解二項式定理有關問題的常用方法.14、【解題分析】

將化簡為的形式，根據復數是純虛數求得的值.【題目詳解】因為為純虛數，所以.【題目點撥】本小題主要考查復數乘法運算，考查純虛數的概念，屬于基礎題.15、【解題分析】

利用導數的幾何意義，求出切線斜率，由點斜式即可求得切線方程?！绢}目詳解】因為，所以，切點坐標為，故切線方程為：即。【題目點撥】本題主要考查利用導數的幾何意義求函數曲線在某點處的切線方程。16、【解題分析】

先求得的最小值，為此作差，確定的單調性，得最小，然后解不等式即可。【題目詳解】設，，，所以，遞增，最小值；于是有，所以，所以，由且，所以，所以，又因為，所以.故答案為：?！绢}目點撥】本題考查不等式恒成立問題，解題方法是轉化為求函數的最值，本題不等式左邊作為自然數的函數，可以看作是數列的項，因此可用研究數列單調性的方法來研究其單調性，即作差，由差的正負確定數列的增減，從而確定最小值．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）過作垂線，垂足為，由得，．又，可得平面，即可證明．（Ⅱ）易得到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)過作垂線，垂足為，由得，．又，∴平面，∴平面平面；（Ⅱ）∵，∴到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即直線與平面所成角的正弦值為．【題目點撥】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的求解、是中檔題．18、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意知，QS的軌跡為圓的一部分，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，ST的軌跡為雙曲線的一部分，分別求出對應的軌跡方程即可；（2）由題意設點M（x，y），計算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值與對應的x、y的值．【題目詳解】解：（1）①由題意知，QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等，QS的軌跡為圓的一部分，其中r＝4，圓心坐標為O，即x≥0、y≥0時，圓的方程為x2+y2＝16；②PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0時，雙曲線方程為1；③ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里，ST的軌跡為雙曲線的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0時，雙曲線方程為1；綜上，x≥0、y≥0時，曲線方程為x2+y2＝16；x＜0、y＞0時，曲線方程為1；x＞0、y＜0時，曲線方程為1；[注]可合并為1；（2）由題意設點M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；則|MA|2y2x2+16＝232；當且僅當x＝﹣2時，|MA|取得最小值為4；此時y＝42；∴點M（﹣2，2）．【題目點撥】本題考查了圓、雙曲線的定義與標準方程的應用問題，解題的關鍵是利用定義求出雙曲線和圓的標準方程．19、（1）115（2）186【解題分析】

（1）從中任取4個球，紅球的個數不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，紅球2個和白球2個，紅球4個，取法有種，紅球3個和白球1個，取法有種；紅球2個和白球2個，取法有種；根據分類計數原理，紅球的個數不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據分類計數原理，總分不少于7分的取法有20、(1)(2)【解題分析】分析：（1）由參數方程消去參數t即可得直線的普通方程，利用直角坐標與極坐標的互化公式即可得曲線的直角坐標方程；（2）由（1）求出圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，代入弦長公式求出.詳解：（1）直線：（為參數）的普通方程為.因為，所以，所以，又，，故曲線的普通方程為.（2）據（1）求解知，直線的普通方程為，曲線：為以點為圓心，半徑長為的圓，所以點到直線的距離，所以直線被曲線截得線段的長為.點睛：轉化與化歸思想在參數方程、極坐標問題中的運用在對坐標系與參數方程的考查中，最能體現坐標法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答．例如，將題設條件中涉及的極坐標方程和參數方程等價轉化為直角坐標方程，然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應數學問題求解的“化生為熟”原則，充分體現了轉化與化歸的數學思想．21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先求得函數的導函數，然后根據三種情況，討論的單調性.（2）由題可知在上恒成立，構造函數，利用導數研究的單調性和最值，