小學(xué)奧數(shù)教程-等差數(shù)列計算題教師手冊

比較與估算

尊承包強

本講是在分數(shù)計算方面技巧的基礎(chǔ)上，進一步認識小數(shù)、分數(shù)，只是從比較大小方面認識它們，這一

講主要介紹一些比較較為復(fù)雜的小數(shù)、分數(shù)大小的方法，主要有通分子、通分母、倒數(shù)法、放縮法等。

一、小數(shù)的大小比較常用方法

為方便比較，往往把這些小數(shù)排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)

相同的小數(shù).（如果是循環(huán)小數(shù)，就把它改寫成一般寫法的形式）

二、分數(shù)的大小比較常用方法

⑴通分母：分子小的分數(shù)小.

⑵通分子：分母小的分數(shù)大.

⑶比倒數(shù)：倒數(shù)大的分數(shù)小.

⑷與1相減比較法：分別與1相減，差大的分數(shù)小.（適用于真分數(shù)）

⑸重要結(jié)論：

①對于兩個真分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分數(shù)比較大；

②對于兩個假分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都小的分數(shù)比較大.

（6）放縮法

在實際解題的過程中，我們還會用到其它一些思路！同學(xué)們要根據(jù)具體情況展開思維！

三、數(shù)的估算時常用方法

(1)放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設(shè)法放大或縮小.使結(jié)果介于某兩個接近數(shù)之間，從而估算結(jié)果.

(2)變換結(jié)構(gòu)：將原來算式或問題變形為便于估算的形式.

模塊一、兩個數(shù)的大小比較

【例1】如果a=陋，人2006

,那么a,匕中較大的數(shù)是

20062007

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】方法一：〈與1相減比較法》

」2005120061r*1

1-------=-------；1d—------=--------.因為------>,所以b較大；

200620062007200720062007

+、+—彼工20052006,

方?法—：V比LL倒數(shù)法'+〉因B為.---1->---1--,所-以r--2--0-0-6>-2-0--0-7,進而----<-----,SPAna<b；

200520062(X)5200620062007

方法三：兩個真分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，分子和分母都大的分數(shù)比較大，所以。大

【答案】b

【鞏固】試比較史史和史竺的大小

19981949

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空

19951946

【解析】

19981949

【答案】19951946

19981949

“處444443詢555554

【鞏固】比較-------和-------的大小

444445555556

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空

因為—竺4444嚀43=2555554222

【解析】1,1-，顯然-------->---------,根據(jù)被減數(shù)一定，減數(shù)

444445444445555556~555556444445555556

越大差越小的道理，

有,-4-4-4-4-4--3<-5--5-5-5-5-4

.444445555556

444443555554

【答案】---------<---------

444445555556

.A111111110C444444443

[例2]如NF果FLA=----------,B=/與8中哪個數(shù)較大？

222222221888888887

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】方法一：觀察可以發(fā)現(xiàn)48都很接近1,且比它小.我們不防與上比較.

22

-------1------，，一8<_1一/,即8比/更接近1，換句話說

2-A=------------------,-----B=B

22x22222222122x888888887222

>A.

111111110111111110x4444444440444444443?

方法二,即A<5.

―222222221—22222222lx4-888888884888888887一

-=2——!——顯然，貝|JA<8

方法三—二2---------

A111111110B444444443AB

【答案】B

【鞏固】如果聯(lián)程'八需'那么”和“中較大的數(shù)是一■

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】祖沖之杯

222221666663666662333331

【解析】A=>---------=----------=Bo，即4大

222223-666669666668333334

【答案】A

【鞏固】試比較黑和溫的大小

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】方法一：觀察可知，這兩個分數(shù)的分母都比分子的10倍多1.對于這樣的分數(shù)，可以利用它們

的倒數(shù)比較大小.”的倒數(shù)是1+-HL=io—，5L的倒數(shù)是1+-H1L=io—,

1111111111111111111111111

我們很容易看出io—L>io—匚，所以W<U1L；

HImimimu

方法二：_LU_=ULJ2=_LU2,兩個真分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母

11111111x1011110

都大的分數(shù)比較大，所以黑〈器即“mi

<-----

mi11111

1111111

【答案】----<-----

111111111

［例3］在5=20032003x2002和6=20022003x2003中，較大的數(shù)是比較小的數(shù)大

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】Z>a=20022003x2003-20032003x2002=20020000x2003+2003x2003-20030000x2002-2003x2

002=2003x(2003-2002)=2003

所以a比。大2003

【答案】a比。大2003

設(shè)於11,K111,則在a與。中，較大的數(shù)是

［例4］+++

34567

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

所以！+工>!+」+!，即日是較大的數(shù)。

【解析】可采用放縮法。因為1:i>-+

366674534567

當(dāng)然這道題目我們也可采用通分求結(jié)果的一般方法。

【答案】

w/1111與1的大小.

［例5］比較r+r+—7+…+—r

82921026428

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】如果直接放縮：

11111111

+???-1-----<------H--------H---------+???+

正+余+方6427x88x99x1063x64

1

+63~64

764

但是，<_L__L，所以不能確定3+二+—1+…+工與’的大小關(guān)系,

876482921026428

同樣如果如下進行放縮：

11111二+」1

,,+---r>-------+...+

記+班+『.64-8x99x1010x1164x65

,也不能確定.

865

但是如果保留!，將4+4+-+1進行放縮，則有：

8292102不

11111111

------十+?..+

記+還+…+商<記+8x99x1063x64

1111

=-----1---------=—,

648648

可見兩者中，較大.

8

［較大

【答案】

8

135799與、相比，哪個更大，為什么？

【鞏固】-X—X-X-X,??X--------

2468100

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【135768100

【角單析】lC67=—X—X—X—X...X—,顯然有:a<h=-x-X-X—X,?,X--------

24681003579101

而"=」-<」一，有/<_L，所以原分式比-L小.

10110010010

【答案】上更大

10

［例6］試比較：［x2x?…x2與?x3x3x…x3哪一個大？

-296^2185個3

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

8個2

【解析】296=37x8,185=37x5,因為2x2x2”…x2=變>]所以?x2x2x…x2>?x3x3X…X?

3、__x__3__x__3___x___…___x__3/24329?b2185個3

5個3

【答案】2x2x2x???x2

-296^2-

［例7］圖中有兩個黑色的正方形，兩個白色的正方形，它們的面積已在圖中標出(單位：厘米2).黑色

的兩個正方形面積大還是白色的兩個正方形面積大?請說明理由.

19932I9922

1996219972

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，口試

【解析】此題利用到平方差公式：合一匕2=0+力x(a-b)

19972-19962=(1997+1996)x(1997-1996)=1997+1996=3993

19932-19922=1993+1992=3985

所以19972-19962>19932-19922

即19972+19922>1996:+19932,兩個白色正方形的面積大.

【答案】兩個白色正方形的面積大

【例8】在llll,...,—中選出若干個數(shù)使它們的和大于3,最少要選多少個數(shù)？

23499100

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】為了使選出的數(shù)最少，那么必須盡可能選擇較大的數(shù).

有J」」,…,」,一L依次減小，所以我們選擇時應(yīng)從左至右的選擇.

23499100

<1141141111?2.925

+23+4+56+7+89++10

234567891011

所以最少選擇11個即可使它們的和大于3.

【答案】11個

【例9】已知：A=±7x3SxR?x…x絲，那么A與0.1中比較大，說明原因；

369999-----------

【考點】兩個數(shù)的大小比較【難度】4星【題型】填空

3〃一23〃（3”—-—I（3/1-1）2

【解析】3H-1X3^H-（3W）2-1<（3n）2

123997998999

>——X——X——X???X--------X---------X------------

23499899910001000

A>,,即A比0」大

10

【答案】A比較大

模塊二、多個數(shù)的大小比較

【例10】⑴比較以下小數(shù)，找到最大的數(shù)：l.izi,1.121,1.12,1.12121,1.12

⑵比較以下5個數(shù)，排列大?。?,0.42,-,1.667,

73

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴題目中存在循環(huán)小數(shù)，將所有小數(shù)位數(shù)補至相同的位數(shù)，如下所示：

1.121-1.12112112/

1.121->1.121000000

1.12-1.121212121

1.12121-1.121210000

1.12-+1,120000000

于是可以得出結(jié)果，1.近是最大的數(shù).對于循環(huán)小數(shù)的問題，首先考慮的就是將其展開，從中獲

得足夠的信息，然后按照小數(shù)比較原則判斷，不處理而一味的觀察是沒有意義的.

⑵題目中出現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)、假分數(shù)，可以先把數(shù)分為兩個部分，一部分為小于1的數(shù)，一部分

為大于等于1的數(shù)，然后兩部分內(nèi)部比較，無須兩部分間重復(fù)比較.

??Q_Q??????

①小于/的部分為0.42和—，將小數(shù)展開，并把二化為小數(shù)得：0.428571,顯然0.428571>0.42,

77

3??

即一〉0.42；

7

②大于等于1的部分中，有整數(shù)、小數(shù)、假分數(shù)：1,1,667,-,先將假分數(shù)化為帶分數(shù)12,

33

比較三數(shù)整數(shù)部分，發(fā)現(xiàn)都為1，然后比較其他部分:1-=1.666666...<1.667，所以得到1<1-

33

??32

<1.667.即得：0.42<-<1<1-<1.667.

73

????72

【答案】（1）1.12（2）0.42<-<1<1-<1.667.

73

【鞏固】在L,2,3中，最小的數(shù)是______o

3711

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析］！=2>2=烏>21=3所以最小的是3

36777771111

【答案】-

II

【鞏固】在口、3.04、31四個小數(shù)中，第二小的數(shù)是一

53

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽

【解析】由于"=3.4,3-=3.333333.,可以看出，其中第二小的數(shù)為31。

533

【答案】3-

3

分數(shù)黑鏡中最大的一個是

【鞏固】

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級

【解析】—

301

【答案】—

301

【鞏固】有8個數(shù)，o.5i,2,2,0.51,U是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)

394725

是0.5i,那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)？

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

252413

【解析】—=0.6,-=0.5,—?0.5106,—=0.52，顯然有0.5106之0:51v0.51v。，即

394725

—<051<0.-^?<3，8個數(shù)從小到大排列第4個是0.5i,

47259

741QS7

WWn<Q<—<0.51<0.51<-<-<-.（"□”表示未知的那2個數(shù)）.所以，這8個數(shù)從大到小排列

472593

第4個數(shù)是0.5i.

【答案】0.51

199819981999199920002000.八融白

【鞏固】在---------,----------中，最小的分數(shù)是一

199919992000200020012001

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)愛好者夏令營

199819981998199919991999200020002000珀后壬詼公、人g工4人百八枇

【解析】因為---------=-----根據(jù)重要結(jié)論----對于兩個真分數(shù),

19991999~199920002000~2000200120012001

如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分數(shù)比較大；而且：

19981999200019981998

-----<------v------,所以，最小的是

19992000200119991999

19981998

【答案】

19991999

[^J111(1)把下列各數(shù)按照從小到大的順序排列：5，得，V,￡

(2)(幼苗杯數(shù)學(xué)邀請賽)把下列分數(shù)用“<”號連接起來：岑,

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴我們可以用通分子的方法，可得：

3x15_455x9459x54515x345

7xl5-105,13x9-n7,16x5-80,28x3-84，

分母大的反而小，所以2<±<三〈二.

1372816

⑵這五個分數(shù)的分母都不相同，要通分變成同分母的分數(shù)比較麻煩.再看分子，60正好是10、

12、15、20、60五個數(shù)的公倍數(shù).利用分數(shù)的基本性質(zhì)，可以將題中的各分數(shù)化為分子都是60

的分數(shù).我們稱之為“通分子比大小”的方法.

10601260156020606060.-r6060606060

__—___m

=

1710219952392'3399919110299959291

〃『曰1020121560

一<一.

1733192391

..53159..1020121560

——<—<—<—(2)—<—<——<——<—

13728161733192391

【鞏固】將史、0.523,0.523.0.5。從小到大排列，第三個數(shù)是_______.

25040

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級，決賽

13121

【解析】——=0.524,—=0.525

25040

17121

所以：0.52<0.523<0,523<—<—,第三小的數(shù)是0.52

25040

【答案】0.523

【鞏固】這里有五個分數(shù)：如果按大小順序排列，排在中間的是哪個數(shù)？

38231719

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

1?

【解析】-

19

【答案】-

19

【鞏固】將下列乘式結(jié)果按從小到大排序：661x669,662x668,663x667,664x666,665x665.

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】看式子前兩位相同，于是我們想到可不可以變成“前面部分一樣+一個簡單算式”的形式.

看661x669,我們的目標是把十位和百位的6提取出來，轉(zhuǎn)化算式：

661x669=(660+0x(660+9)=660x660+lx660+9x660+1X9=6602+(1+9)x660+1x9

可以看到，這5個乘式的前兩項結(jié)果是一樣的，即我們只要比較1x9,2x8,3x7,4x6,5x5

的大小，就可以得出：661x669<662x668<663x667<664x666<665x665.

【答案】661x669<662x668<663x667<664x666<665x665

【鞏固】編號為1、2、3的三只螞蟻分別舉起重■為空，—,史克的重物.問：金、銀、銅牌應(yīng)分

127333488

別發(fā)給幾號螞蟻？

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽

12_111

【解析】

—=1--

12712712710.5…'

12

302131_11_11

333333333-10.7…

31

439?491111

------=1---------=1----------=1------------

4884884889.9…

49

302115439

所以，------>------>-------.

333127488

悟案】翳捺爵

【鞏固】請把竺，工，竺叱,號這4個數(shù)從大到小排列。

6575326809

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】將1與這四個分數(shù)依次做差，得一!一、—,—L顯然有

-----<----<一<—，被減數(shù)相同,

65753268092680657539

2679656528

差小的數(shù)反而大，所以----->---->--->一

2680657539

2679656528

【答案】------->------>—>-

2680657539

【例12]—,在上式的方框內(nèi)填入一個整數(shù)，使兩端的不等號成立，那么要填的整數(shù)是多少？

3109

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】將不等式中的三個數(shù)同時除以80,不等號的方向不改變，有317,而上3、,7的倒

310口720310720

數(shù)分別為呼、一，而口應(yīng)該在半口工手之間，即在103.33~102.86之間（在計算循環(huán)小數(shù)時，

將其小數(shù)點后保留2位數(shù)字），其中的整數(shù)只有103,所以口內(nèi)所填的整數(shù)為103.

【答案】103

【鞏固】⑴比,大比g小的分數(shù)有無數(shù)多個，則分子為27的分數(shù)是.（寫出一個即可）

⑵右面方框里填什么自然數(shù)時，不等式成立？1

9U

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴設(shè)比2大比1小的分數(shù)為x，貝ij:-<x<-,EP—<x<—,—<x<—,所以竺<x〈空，

7373212142428484

不妨取工二工,那么2<2Z<J_,滿足題意.再比如等也滿足題意.

847843858683

⑵分子5+4=9,可以把1看成4上,利用加成分數(shù)原理得口=13.

4

【答案】⑴名（2）13

84

【鞏固】比2大，比3小的分數(shù)有無窮多個，請寫出三個：。

34------------

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試

818389

【解析】

no；120120

818389

【答案】

120120120

【鞏固】⑴找出一個比士大，比』小的分數(shù)。

56

⑵滿足下式的括號里的數(shù)字有多少個自然數(shù)：

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴方法一：任意兩個分數(shù)，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分數(shù)叫做加成分數(shù).加

成分數(shù)的值介于原來兩個分數(shù)之間.根據(jù)加成分數(shù)原理4"+三5二9二,92是介于34和25之間的一個

5+6111156

分數(shù).

方法二：如果通分母，可以得到同分母分數(shù)上和2.把這兩個分數(shù)的分子、分母擴大2倍，可

3030

以找出一個比4上大，比52小的分數(shù)49竺；如果把這兩個分數(shù)擴大3倍，可以再得到兩個中間的分

5660

數(shù)萬等等.

90

我們也可以用類似的方法，通過通分子去找比已大、比°小的分數(shù).同學(xué)們可以自己試一試.

56

⑵首先判斷第一個不等號兩邊的關(guān)系，;，因此（）<35,再判斷第二個不等號兩邊的關(guān)系，

,因此（）>15.根據(jù)以上分析，可以確定（）中能填入19個自然數(shù).

根據(jù)分數(shù)基本性質(zhì)等值放縮分數(shù)是處理分數(shù)問題最常用的方法.

Q

【答案】（D—（2）19

11

【鞏固】下式中五個分數(shù)都是最簡真分數(shù)，要使不等式成立，這些分母的和最小是多少？

>工

()()()())

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】由于要求分母的和最小，則從最小的自然數(shù)開始考慮，1是不符合最簡真分數(shù)要求的分母，因此

可選擇的最小自然數(shù)為2,2只能放在第一個分數(shù)上做分母.后面要找比萬小的最簡分數(shù)：3、4

依次被淘汰，5被選中放入第二個分數(shù)中.依次規(guī)律，

可得結(jié)果：.

2581114

【答案】2+5+8+11+14=40

【例13】在下面9個算式中:

^35^36^37^38^39310311312313

①一+—，②一十—，③一十—，④一+—，⑤一+—，⑥一+—，⑦一+—,?—+—，⑨一+—,

5""206‘"20J7"20c8"20c9"20…10”20…112012201320

第幾個算式的答數(shù)最小，這個答數(shù)是多少？

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】方法一：

3+36

①-②=----1------_2__±>Oifip?>a)；

620

z367

r*

②即③

=-+-->O>

6

<202020

3831

-->O即>④

+一

-一---

87X8

2020

383931

+-+-<O即④<⑤

一

-=--一

898X9

202020

⑤■⑥，⑥-⑦，⑦?⑧，⑧?⑨所得的差依次為‘------3-1_3一J_均小于0,所以

10x1120llxl2-2011x1220

⑤〈⑥，⑥〈⑦，⑦〈⑧，⑧<⑨,那么這些算式中最小的為④，有④為三+金=三

82040

方法二：注意到每組內(nèi)兩個分數(shù)的乘積相等，均為』.

20

因為當(dāng)兩個數(shù)的乘積相等時，這兩個數(shù)越接近，和越小.其中第4個算式中3、§最接近，所

820

以第4個算式最小?

【答案】第4個，衛(wèi)

40

過2005x2006—2006x20072007x2008府”一/、

【鞏固】若5=---------------,b=---------------,0=---------------,則有(}>

2007x20082008x20092009x2010

(A)a>b>c(B)a>ob(C)a<c<b(D)a<txc

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】略

【答案】D

【鞏固】甲、乙兩個天平上都放著一定重■的物體，問：哪一個是平衡的？

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】考慮除以3,所得的余數(shù)

因為478除以3余1,9763除以3也余1（只要看4+7+8,9十7+6十3除以3的余數(shù)），所

以478x9763除以3余1=1，而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2）,

因此478x9763^4666514,從而天平甲不平衡.天平乙是平衡的.

【答案】天平乙是平衡的

【例14】用“〉”號把下列分數(shù)連接起來：—-352_

24168812

【考點】多個數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空

【解析】這道題目本身并不難，孩子們用自己的辦法可以很快的做出來，但如果數(shù)字變的復(fù)雜些，那么我

們就必須找到一個有效方法了。從這道題目，我們可以給大家展示另外2種典型思路。

法1:

1311911311511711

--=--1--，--=--1--，-=--9-=-1-,--=--1--,

242241621682882812212

81216248

法2:觀察可以發(fā)現(xiàn)分母都是4的倍數(shù)，所以我們不妨把分母都化為4,可得：

1313^6