（人教A版2019必修第一冊）高一數(shù)學上學期同步精講精練 5.7三角函數(shù)的應用（精練）（原卷版+解析）

5.7三角函數(shù)的應用（精練）A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2022·全國·高一）心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)，其中為血壓(單位：)，t為時間(單位：)，則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一課時練習）人的血壓在不斷地變化，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的度數(shù)就是收縮壓和舒張壓，度數(shù)為標準值.設甲某的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（單位：），為時間（單位：），對于甲某而言，下列說法正確的是（

）A．收縮壓和舒張壓均高于相應的標準值 B．收縮壓和舒張壓均低于相應的標準值C．收縮壓高于標準值?舒張壓低于標準值 D．收縮壓低于標準值?舒張壓高于標準值3．（2022·湖南·高一課時練習）如圖所示的是一個單擺，以平衡位置OA為始邊、OB為終邊的角θ(-π<θ<π)與時間t(s)滿足函數(shù)關系式θ=sin，則當t=0時，角θ的大小及單擺的頻率是（

）A．， B．2， C．，π D．2，π4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．105．（2022·湖南·高一課時練習）在兩個彈簧上各有一個質(zhì)量分別為和的小球做上下自由振動，已知它們在時間離開平衡位置的位移和分別由下列兩式確定：，.當時，與的大小關系是（

）A． B． C． D．不能確定6．（2022·全國·高一課時練習）某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈的模型波動（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價最高，為9千元，7月出廠價最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高一課時練習）時鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開放到閉合與體內(nèi)的一種時鐘酶有關.研究表明，當氣溫上升到20時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當氣溫上升到28時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17時的氣溫T（單位：）與時間t（單位：）近似滿足關系式，則該景區(qū)這天時鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷（

）A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.68．（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米二、多選題9．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中位移為1的相鄰時刻差為，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．610．（2022·江西南昌·高一期末）漢代數(shù)學家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長相同的長度得到如圖所示的一個“數(shù)學風車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標原點O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學風車”繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點的縱坐標，那么以下選項正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過平移后可以重合B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)圖象的一個對稱中心為D．函數(shù)在上單調(diào)遞減三、填空題11．（2022·湖南·長沙市明德中學高一期末）已知某地一天的溫度（單位：）與時間（單位：）近12．（2022·全國·高一課時練習）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運動習慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動稱為潮流．早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r刻，把發(fā)生在早晨的最高的潮叫潮，發(fā)生在晚上的最高的潮叫汐，這是潮汐名稱的由來．下表中給出了某市碼頭某一天水深與時間的關系（夜間零點開始計時）．時刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0用函數(shù)模型來近似以地描述這些數(shù)據(jù)，則函數(shù)________．四、解答題13．（2022·山東·高一階段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為，點О距地面的高度為，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每6min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處．(1)已知在時刻時點P離地面的高，（其中，，），求2017min時點P距離地面的高度；(2)當離地面以上時，可以看到公園全貌，求轉(zhuǎn)一圈中有多少時間可以看到公園全貌．14．（2022·陜西·西安市閻良區(qū)關山中學高一階段練習）如圖，它表示電流，在一個周期內(nèi)的圖象．（1）試根據(jù)圖象寫出的解析式；（2）在任意一段秒的時間內(nèi)，電流既能取得最大值，又能取得最小值嗎？B能力提升15．（2022·廣西桂林·高一期末）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應關系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？16．（2022·上海市建平中學高一期中）一個半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時針作勻速轉(zhuǎn)動，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．(1)以過點O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，試將點P距離水面的高度h（單位：米）表示為時間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，有多長時間點P距離水面的高度不低于2米？5.7三角函數(shù)的應用（精練）A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2022·全國·高一）心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)，其中為血壓(單位：)，t為時間(單位：)，則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知，血壓的最大值與最小值分別為收縮壓和舒張壓，又血壓函數(shù)為正弦三角函數(shù)，則相鄰的收縮壓和舒張壓即血壓函數(shù)的半個周期，則，時間間隔為.故選：A.2．（2022·全國·高一課時練習）人的血壓在不斷地變化，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的度數(shù)就是收縮壓和舒張壓，度數(shù)為標準值.設甲某的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（單位：），為時間（單位：），對于甲某而言，下列說法正確的是（

）A．收縮壓和舒張壓均高于相應的標準值 B．收縮壓和舒張壓均低于相應的標準值C．收縮壓高于標準值?舒張壓低于標準值 D．收縮壓低于標準值?舒張壓高于標準值【答案】C【詳解】，，.所以，甲某血壓的舒收縮壓為，舒張壓為.因此，收縮壓高于標準值?舒張壓低于標準值.故選：C.3．（2022·湖南·高一課時練習）如圖所示的是一個單擺，以平衡位置OA為始邊、OB為終邊的角θ(-π<θ<π)與時間t(s)滿足函數(shù)關系式θ=sin，則當t=0時，角θ的大小及單擺的頻率是（

）A．， B．2， C．，π D．2，π【答案】A【詳解】當t=0時，θ=sin，由函數(shù)解析式易知單擺的周期為=π，故單擺的頻率為.故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.故選：C5．（2022·湖南·高一課時練習）在兩個彈簧上各有一個質(zhì)量分別為和的小球做上下自由振動，已知它們在時間離開平衡位置的位移和分別由下列兩式確定：，.當時，與的大小關系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【詳解】當時，，，所以.故選：C6．（2022·全國·高一課時練習）某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈的模型波動（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價最高，為9千元，7月出廠價最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題意得：，解得：，又最小正周期為，所以，所以，將代入，解得：，則，，因為，所以當時，符合題意，綜上：.故選：D7．（2022·全國·高一課時練習）時鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開放到閉合與體內(nèi)的一種時鐘酶有關.研究表明，當氣溫上升到20時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當氣溫上升到28時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17時的氣溫T（單位：）與時間t（單位：）近似滿足關系式，則該景區(qū)這天時鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷（

）A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6【答案】B【詳解】設時開始開放，時開始閉合，則又，解得，，由得，.故選：B.8．（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【詳解】因為角速度為，所以游客從離地面最近的位置進入座艙，游玩中到地面的距離為，由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和，因為，所以，所以，，所以，所以，即他們所在的高度之和的最大值約為，故選：C二、多選題9．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中位移為1的相鄰時刻差為，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】AC【詳解】解：令得或，，所以兩相鄰時刻差為或，當時，得，當時，得.故選：AC.10．（2022·江西南昌·高一期末）漢代數(shù)學家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長相同的長度得到如圖所示的一個“數(shù)學風車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標原點O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學風車”繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點的縱坐標，那么以下選項正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過平移后可以重合B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)圖象的一個對稱中心為D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】AC【詳解】由題意得，，逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時間為2秒，則每秒旋轉(zhuǎn)，t秒旋轉(zhuǎn)，則，，對于A，顯然函數(shù)的圖象向左平移個單位即得的圖象，A正確；對于B，，顯然最大值為，B錯誤；對于C，，當時，，則函數(shù)圖象的一個對稱中心為，C正確；對于D，，當時，，因為，顯然函數(shù)先遞減再遞增，D錯誤.故選：AC.三、填空題11．（2022·湖南·長沙市明德中學高一期末）已知某地一天的溫度（單位：）與時間（單位：）近似地滿足，則該地這一天的最大溫差為______．【答案】【詳解】因為，則，所以，，，所以最大溫差為．故答案為：.12．（2022·全國·高一課時練習）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運動習慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動稱為潮流．早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r刻，把發(fā)生在早晨的最高的潮叫潮，發(fā)生在晚上的最高的潮叫汐，這是潮汐名稱的由來．下表中給出了某市碼頭某一天水深與時間的關系（夜間零點開始計時）．時刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0用函數(shù)模型來近似以地描述這些數(shù)據(jù)，則函數(shù)________．【答案】【詳解】解：由題知，所生潮的高的最大值為，最小值為，周期為所以且，解得，，故，因為在零時，所生潮的高的最大值為，所以，，解得，所以.故答案為：四、解答題13．（2022·山東·高一階段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為，點О距地面的高度為，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每6min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處．(1)已知在時刻時點P離地面的高，（其中，，），求2017min時點P距離地面的高度；(2)當離地面以上時，可以看到公園全貌，求轉(zhuǎn)一圈中有多少時間可以看到公園全貌．【答案】(1)35(2)轉(zhuǎn)一圈中有1分鐘時間可以看到公園全貌(1)依題意，，所以又，所以所以(2)由題意知即即解得，即，因為，所以轉(zhuǎn)一圈中有1分鐘時間可以看到公園全貌．14．（2022·陜西·西安市閻良區(qū)關山中學高一階段練習）如圖，它表示電流，在一個周期內(nèi)的圖象．（1）試根據(jù)圖象寫出的解析式；（2）在任意一段秒的時間內(nèi)，電流既能取得最大值，又能取得最小值嗎？【答案】（1）；（2）不能.【詳解】（1）由題圖知，，∴，所以，又是該函數(shù)圖象的零點，∴結(jié)合圖形可得：，即，符合，∴．（2）不能．因為由（1）有，所以不可能B能力提升15．（2022·廣西桂林·高一期末）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應關系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多