七年級數(shù)學下冊第16課 二元一次方程（組）的相關(guān)概念（教師版）

第16課二元一次方程（組）的相關(guān)概念目標導航目標導航課程標準1.理解二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的含義；2.會檢驗一組數(shù)是不是某個二元一次方程（組）的解.知識精講知識點01二元一次方程知識精講含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1．像這樣的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程滿足的三個條件：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.知識點02二元一次方程的解一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一組解．注意：(1)二元一次方程的解都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般用大括號聯(lián)立起來如：(2)一般情況下，二元一次方程有無數(shù)個解，即有無數(shù)多對數(shù)適合這個二元一次方程．（3）在一直二元一次方程的解，可將這組解代入方程；知識點03二元一次方程組把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.注意：組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數(shù).例如也是二元一次方程組.知識點04二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.注意：（1）二元一次方程組的解是一組數(shù)對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成的形式．(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個．能力拓展能力拓展考法01二元一次方程【典例1】已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是關(guān)于x、y的二元一次方程，求m、n的值．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義作答．【答案與解析】解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程為2y=2，不合題意，舍去，則m=0，n=2．【點睛】二元一次方程和二元一次方程組中系數(shù)的求解，要同時考慮兩個未知數(shù)的系數(shù)與次數(shù)，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是一次且方程左右兩邊都是整式這三個條件．【即學即練】已知方程是二元一次方程，則m=，n=.【答案】-2，【即學即練】方程，當時，它是一元一次方程．【答案】；考法02二元一次方程的解【典例2】已知是方程2x﹣6my+8=0的一組解，求m的值．【分析】把方程的解代入方程可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．【答案與解析】解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一組解，∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2．【點睛】本題主要考查二元一次方程解的定義，掌握方程的解滿足方程是解題的關(guān)鍵．【即學即練】已知方程2x-y+m-3=0的一個解是，求m的值.【答案】解：將代入方程2x-y+m-3=0得，解得.答：m的值為3.【典例3】寫出二元一次方程的所有正整數(shù)解.【分析】可以把二元一次方程中的一個未知數(shù)看成已知數(shù)，先解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元一次方程，當兩個未知數(shù)的取值均為正整數(shù)才是方程的解，寫時注意按一定規(guī)律寫，做到不重、不漏.【答案與解析】解：由原方程得，因為都是正整數(shù)，所以當時，.所以方程的所有正整數(shù)解為：，，，.【點睛】對題意理解，要注意兩點：①要正確；②不重、不漏.兩個未知數(shù)的取值均為正整數(shù)才是符合題意的解.【即學即練】已知是關(guān)于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．【答案】解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：2a+3（2a﹣3）=7，解得：a=2．【即學即練】在方程中，若分別取2、、0、－1、－4，求相應的的值.【答案】將變形得.把已知值依次代入方程的右邊，計算相應值，如下表：20－1－4－226考法03二元一次方程組及解【典例4】甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為．乙看錯了方程②中的b．得到方程組的解為．試計算：的值．【分析】把x、y的值代入正確的方程，就可以求出字母的值．【答案與解析】解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，所以．【點睛】一組數(shù)是方程的解，那么它一定滿足這個方程，利用方程解的定義可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的學習中要會靈活運用它．【即學即練】已知關(guān)于的二元一次方程組，求．【答案】解：將代入原方程組得：，解得，所以．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．有下列方程組：①；②；③；④；⑤，其中二元一次方程組有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】略2．已知是二元一次方程，則的值為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，即含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)均為1，即可求解．【詳解】解：∵是二元一次方程，∴，且，解得：．故選：C【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)均為1．3．若關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，則m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出且，再求出答案即可．【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，∴且，解得：m=1，故選C．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，能熟記二元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．4．已知x=2，y=﹣1是方程ax+y=3的一組解，則a的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】【分析】把x=2，y=﹣1代入方程ax+y=3中，得到2a-1=3，解方程即可．【詳解】∵x=2，y=﹣1是方程ax+y=3的一組解，∴2a-1=3，解得a=2，故選A．【點睛】本題考查了二元一次方程的解即使方程兩邊相等的一組未知數(shù)的值，一元一次方程的解法，正確理解定義，規(guī)范解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．下列各組數(shù)值是二元一次方程2x﹣y＝5的解是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】將選項中的解分別代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即為所求．【詳解】解：A.把代入方程2x﹣y＝5，-4-1=-5≠5，不滿足題意；B.把代入方程2x﹣y＝5，0-5=-5≠5，不滿足題意；C.把代入方程2x﹣y＝5，2-5=-3≠5，不滿足題意；D.把代入方程2x﹣y＝5，6-1=5，滿足題意；故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．能正確掌握方程的解得概念是解答此題的關(guān)鍵．6．方程x+y＝6的正整數(shù)解有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．無數(shù)個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求二元一次方程的特殊解，根據(jù)解為正整數(shù)，分別令進而求得對應的值即可【詳解】解：方程的正整數(shù)解有，，，，共5個，故選：A．【點睛】本題考查了求二元一次方程的特殊解，理解解為正整數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．已知是二元一次方程的解，則的值為（）A．3 B．-3 C． D．【答案】A【解析】【分析】知道了方程的解，可以把這對數(shù)值代入方程，得到一個含有未知數(shù)m的一元一次方程，從而可以求出m的值．【詳解】解：把代入二元一次方程5x+my-1=0，得10-3m-1=0，解得m=3．故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．8．已知方程組是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】二元一次方程組：由兩個整式方程組成，兩個方程一共含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是，這樣的方程組是二元一次方程組，根據(jù)定義列方程或不等式，從而可得答案.【詳解】解：方程組是關(guān)于x，y的二元一次方程組，解得：故選：【點睛】本題考查的是二元一次方程組的定義，掌握二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵.9．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【答案】B【解析】【分析】將代入即可求出a與b的值；【詳解】解：將代入得：，∴a+b=2；故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程組的解；熟練掌握方程組與方程組的解之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練10．在（1），（2），（3）這三組數(shù)值中，_______是方程x-3y=9的解，______是方程2x+y=4的解，_________是方程組的解．【答案】（1），（2）（1），（3）（1）【解析】【分析】根據(jù)二元一次方程解的定義：使二元一次方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值，分別將三組數(shù)值代入兩個方程中求出各自的解，即可得到方程組的解．【詳解】解：當時，方程的左邊為：，方程左右兩邊相等，∴是方程的解；當時，方程的左邊為：，方程左右兩邊相等，∴是方程的解；當時，方程的左邊為：，方程左右兩邊不相等，∴不是方程的解；當時，方程的左邊為：，方程左右兩邊相等，∴是方程的解；當時，方程的左邊為：，方程左右兩邊不相等，∴不是方程的解；當時，方程的左邊為：，方程左右兩邊相等，∴不是方程的解；∴方程組的解為；故答案為：①（1），（2）；②（1），（3）；③（1）．【點睛】本題主要考查了二元一次方程和二元一次方程組的解，數(shù)值二元一次方程解得定義是解題的關(guān)鍵．11．若是二元一次方程的解，則______．【答案】-1【解析】【分析】把代入即可求出a的值．【詳解】把代入方程得：，解得：，故答案為：【點睛】本題考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．12．若x2a﹣3+yb+2＝3是二元一次方程，則a﹣b＝__．【答案】3【解析】【分析】先根據(jù)二元一次方程的定義求出a、b的值，然后代入a﹣b計算即可．【詳解】解：∵x2a﹣3+yb+2＝3是二元一次方程，∴2a﹣3＝1，b+2＝1，∴a＝2，b＝﹣1，則a﹣b＝2﹣(﹣1)＝2+1＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解答本題的關(guān)鍵．方程的兩邊都是整式，含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次的方程叫做二元一次方程．13．已知5xm﹣2﹣y2n+5＝0是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m﹣n＝___．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義（如果一個方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知項的次數(shù)都為1次，那么這個整式方程就叫做二元一次方程）列出方程求解可得，n﹣2，然后代入代數(shù)式求值即可得．【詳解】解：由題意得：，，解得：，，，故答案為：5．【點睛】題目主要考查二元一次方程的定義及求代數(shù)式的值，深刻理解二元一次方程的定義是解題關(guān)鍵．14．已知是方程的一組解，則=______．【答案】1【解析】【分析】把代入方程得出，再變形，最后代入求出即可．【詳解】解：是關(guān)于、的方程的一組解，代入得：，，故答案是：1．【點睛】本題考查了二元一次方程的解和求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是能夠整體代入求值．15．若方程是關(guān)于，的二元一次方程，則_______．【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)二元一次方程定義：一個含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程，求出，的值即可得出答案．【詳解】解：方程是關(guān)于，的二元一次方程，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程的概念以及有理數(shù)的乘方運算，根據(jù)二元一次方程的概念得出，的值是解本題的關(guān)鍵．16．已知方程組的解是，則方程組的解是_________．【答案】【解析】【分析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，把方程組的解代入，可得，把①和②分別乘以5可得，和所求方程組比較，可知，因此方程組的解為.17．已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的一組解，則a+b=_____．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)方程組解的定義，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，求出a、b即可解決問題；【詳解】∵是關(guān)于x，y的二元一次方程組的一組解，∴，解得，∴a+b=5，故答案為5．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，理解題意，用轉(zhuǎn)化的思想解答是解題的關(guān)鍵.18．小亮解方程組的解為，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個數(shù)●和★，則兩個數(shù)●和★的值為__________．【答案】和【解析】【分析】把x=5代入方程組中第二個方程求出y的值，即為“★”表示的數(shù)，再將x與y的值代入第一個方程求出“●”表示的數(shù)即可．【詳解】解：把x=5代入2x-y=12中，得：y=-2，把x=5，y=-2代入得：2x+y=10-2=8，則“●”“★”表示的數(shù)分別為8，-2．故答案為：8，-2．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，能使方程組中每個方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值即是方程組的解．解題的關(guān)鍵是要知道兩個方程組之間解的關(guān)系．題組C培優(yōu)拔尖練19．已知關(guān)于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.(1)當m為何值時，它是一元一次方程？(2)當m為何值時．它是二元一次方程？【答案】(1)當m＝－2時，它是一元一次方程；(2)當m＝2時，它是二元一次方程．【解析】【分析】(1)根據(jù)一元一次方程的定義，得到m2－4＝0且m＋2＝0或m2－4＝0且m＋1＝0；(2)根據(jù)二元一次方程的定義，得到m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0.【詳解】(1)依題意，得①m2－4＝0且m＋2＝0，解得m＝－2，②m2－4＝0且m＋1＝0，無解，即當m＝－2時，它是一元一次方程；(2)依題意，得m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0，解得m＝2，即當m＝2時，它是二元一次方程．【點睛】此題主要考查二元一次方程的定義，熟知一元一次方程與二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.20．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是求m＋n的值．【答案】m＋n＝1.【解析】【分析】先把代入二元一次方程組中可得:,從而解得:,最后代入計算即可.【詳解】解：∵是二元一次方程組的解,∴,解得∴m＋n＝1.【點睛】本題主要考查二元一次方程組的定義和解方程組,解決本題的關(guān)鍵是要理解二元一次方程組的解.21．已知方程2x-y+m-3=0的一個解是，求m的值．【答案】3【解析】【分析】將代入方程2x-y+m-3=0中進行求解即可得．【詳解】解：