2022－2023學年山西省重點學校高三（上）期末聯考數學試卷（含解析）

2022—2023學年山西省重點學校高三（±）期末聯考數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合4={x∣χ2-3χ+2>0},集合B={xeN∣l≤%≤4},則力nB=()

A.{x?2<x≤4}B.{2,3,4}C.{3,4}D.0

1A1

2.已知a=2022癡，b=(?7j)2°22'C=Iog2022淅，則a，b,C的大小關系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

3.已知tατια=則Y-=()

2SinZa

55C2D5

A.4-2-

4.設公差不為零的等差數列｛α"的前律項和為5，a4=1a5,則￡=（）

A.15B.1C.-1D.-9

5.隨著我國經濟的迅猛發(fā)展，人們對電能的需求愈來愈大，而電能所排放的氣體會出現全

球氣候變暖的問題，這在一定程度上威脅到了人們的健康.所以，為了提高火電廠一次能源的

使用效率，有效推動社會的可持續(xù)發(fā)展，必須對火電廠節(jié)能減排技術進行深入的探討.火電廠

的冷卻塔常用的外形之一就是旋轉單葉雙曲面，它的優(yōu)點是對流快、散熱效果好，外形可以

看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面（如圖1）.某火電廠的冷卻塔設計圖紙比例（

長度比）為1：40（圖紙上的尺寸單位：m）,圖紙中單葉雙曲面的方程為/+y2—,z2=1（-2≤

z≤1）（如圖2）,則該冷卻塔占地面積為（）

A.2800πm2B.3000τrm2C.3200πm2D.4800πm2

6.已知正實數α,h,則''2α+b=4”是“αb≥2”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，有8個不同顏色的正方形盒子組成的調味盒，現將編號為4B,C,。的4個蓋子蓋

上(一個蓋子配套一個盒子)，要求4B不在同一行也不在同一列，C,D也是此要求.那么不

同的蓋法總數為()

1234

5678

A.224B.336C.448D.576

8.已知偶函數f(x)=>Λ3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ~)(ω>0,?φ?<今在(0,2)上有且僅有一

個極大值點，沒有極小值點，則3的取值范圍為()

A.(^,τt]B.(π,y]C.(y.2π]D.(2ττ,4π]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.若復數Z滿足z(2+i)=1-12023,則()

A.z的虛部為IB.z=∣-∣

C.∣z∣=YD?z在復平面內對應的點位于第四象限

10.已知定義在R上的奇函數y=/(x)對任意的X∈R有f(x+2)=一/(x),當一1≤x≤1時,

/(x)=ax(β.≥1).函數g(x)={-x,x<OhI(X+l),x>0.,則下列結論正確的是()

A.函數f(x)是周期為4的函數

B.函數g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調遞減

C.當α=1時，方程f(x)=g(x)在R上有2個不同的實數根

D.若方程/(x)=g(x)在R上有4個不同的實數根，則α≥InG

如圖，在平面直角坐標系中，線段過點且

11.XOy48P(1,0),yka

?AO?=?AB?,若需=?，則下列說法正確的是()/

A.點4的軌跡是一個圓心PP

B.乙40P的最大值為號IB

C.當4,0,B三點不共線時，AABO面積的最大值為2

D.I萬I的最小值為2√^Z-2

12.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖，將

正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體,點4

B,C是該多面體的三個頂點，且棱長4B=2,則下列結論正確的是（)

A.該多面體的表面積為24門

B.該多面體的體積為竺P

C.該多面體的外接球的表面積為22兀

D.若點M是該多面體表面上的動點，滿足CM_LAB時，點M的軌跡長度為4+4，？

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知同=2,㈤=2/3,五不=一4，則口+國=.

14.已知函數/（x）=∕,（l）ex-X,則/（0）=.

15.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數民族醫(yī)藥在內的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是反映中華民族對

生命、健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術方法的醫(yī)藥學體系，是中華

民族的瑰寶.某科研機構研究發(fā)現，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量》（單位：克）與藥物功效

y（單位：藥物單位）之間具有關系y=IOx-尤2.檢測這種藥品一個批次的6個樣本，得到成分

甲的平均值為6克，標準差為2,則估計這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.

16.把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這

個比值即為黃金分割,黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，

這一比值能夠引起人們的美感，被認為是建筑和藝術中最理想的比例，若橢圓的離心率為此

比值，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.若“黃金橢圓”C:3+,=l（α>b>0）的左，右焦點

分別為a,F2,點P為橢圓C上異于頂點的任意一點，4&PF2的平分線交線段RF?于點4,則

IPFIl-

?F1A?------------

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.(本小題10.0分)

已知數列｛α7l｝的前n項和為Srι,且滿足%=1,2S"+ι=Sn+2.

(1)求數列｛即｝的通項公式；

(2)若數列｛%｝滿足砥=即+；，求數列｛%｝的前n項和r7l?

an

18.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面4BC.PC=2AC=2AB=4,。為PC中點，S.BDA.AC.

⑴求BC的長;

(2)求銳二面角4-BD-C的余弦值.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四邊形ABeD中，已知乙4BC=§,/-BDC=≡AB=BC=7√-3?

??

(1)若BD=5/耳，求4。的長;

(2)求AAB。面積的最大值.

20.(本小題12.0分)

周末可以去哪里？帶著挖沙桶、皮球、滑板車和野餐墊，踩踩沙灘、在草地上跑累了隨手拿

起野餐墊上的蛋糕往嘴巴里塞，沙灘和野餐沒有哪個家庭會拒絕的.小蕓正在考慮購買一些物

品，和父母一起在本周末去離家不遠的度假村游玩.買挖沙桶需要40元，買皮球需要60元，買

野餐墊需要100元，假設是否購買相互獨立，小蕓購買三種物品的概率依次為pι,P2,%只不

購買野餐墊的概率為W至少購買一件物品的概率為聯

66

(1)求小蕓恰好購買兩件物品的概率；

(2)求小蕓購買物品的總金額X的分布列和數學期望.

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點4(。2),拋物線C的準線與X軸的交點為B,且IABl=2√7?

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點8的直線2與拋物線C交于E,F兩點(異于點4),若直線E4FA分別交準線于點M,N,

求踹的值.

22.(本小題12.0分)

已知定義在(一］,+8)上的函數f(x)=(x-k)sinx.

Q)若曲線y=f(x)在點G，/?))處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為2,求k的值；

(2)將/(久)的所有極值點按照從小到大的順序排列構成數列{x7l},若與，x2,不成等差數列，

求k的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合a=(x?x2-3x+2>0)={x∣x<1或X>2},

集合B={x∈W∣l≤x≤4)={1,2,3,4},

則ACB={3,4}?

故選：C.

解一元二次不等式得到集合4再利用交集的定義求解結果.

本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：根據指數函數y=2022'為單調遞增函數可得，0=2022劇>2022°=1-

即Q∈(1,+8)；

再由指數函數y=(武尸為單調遞減函數可知，b=(?)2022<(?)0=1，

結合指數函數值域可得b∈(0,1)；

根據對數函數y=lθg2022%在％e(0,+8)上為單調遞增可知，C=ZOg2022蔡lo?2Q22^=。，

即Ce(—8,0)；

所以α>b>c.

故選：A.

利用指數函數單調性和值域，以及對數函數單調性可分別限定α,b,C的取值范圍，即可比較出

其大小.

本題考查實數的大小比較，考查函數性質的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

3.【答案】B

2oO

【解析】解：二_=_2_=?=Sina+c°s%=tanα+l.

sin2a2sinacosaSinaCOSaSinaCoSatancr

?

因為tɑnɑ=

所以二_=taMα+l=熨+1=ξ

^sin2atana12

故選:B.

利用二倍角公式，進行弦化切代入即可求解.

本題主要考查了二倍角公式及同角基本關系的應用，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：設等差數列｛atl｝的公差為d,(d>0).

???a4=Ct5,二α4=g(α4+d),解得：a4=d,α5=2d.

?*?ɑ?=CZ43d=2d,

??.ɑ?+α4=-d.

.S9_(aj+dg)×9_2a5×9_4dx9_θ

"S4(a1+ci4)x4(a1+a4)×4—d×4

故選：D.

設等差數列｛斯｝的公差為d,利用基本量代換求出，=窯卷獸進而求解.

本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式的應用，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：令Z=-2,得方程為/+y2=2,這是一個半徑為，乏的圓.

乘上比例尺，即圓的實際半徑為40，訝加，

則建筑的占地面積為TrX(40√^2)2=3200τr(m2).

故選：C.

令z=-2,可得出/+y2=2,可得出圓的半徑，乘以比例尺，可得出實際圓的半徑長，再利用

圓的面積公式可求得結果.

本題考查雙曲線的幾何性質，屬基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：根據基本不等式可得2a+b=4≥2√2a?b，即2≥√2a?b,可得ab≤2,

所以充分性不成立；

若ab≥2,可令a=2,b=2滿足ab≥2,此時2a+b=6=≠4;

即必要性不成立；

所以“2a+b=4"是"ab≥2''的既不充分也不必要條件.

故選：D.

利用基本不等式由2α+b=4可得αb≤2,可得充分性不成立；當a=2,b=2時可得必要性不成

立，即可得出結果.

本題主要考查了基本不等式的應用，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：第一步：先蓋4,B,有8x3=24種方法；

第二步：再蓋C,D.

①若C與A或B在同一列，則有2種蓋法，。就有3種蓋法，共2x3=6種方法；

②若C與A或B不在同一列，則有4種蓋法，D就有2種蓋法，共4x2=8種方法.

綜上所述，滿足要求的有24X(6+8)=336種方法.

故選；B.

根據題意可得先分步，先蓋4B,再進行分類討論蓋上C,D,利用分類加法和分步乘法基本計

數原理即可得出其結果.

本題主要考查分步乘法計數原理，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：由題可知,∕^(x)=2[^sin(ωx+φ^)—∣cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ—專)為偶函數,

???<p-=+kπ(k∈Z),即W=ITr+∕cτr,k€Z,

v?ψ?<pψ=-p

.?./(x)=2sin(ωx—1—=-2cos(ωx'),

令t=ωx,由0<X<2得t∈(0,2ω),

???f(x)轉化為f(t)=一2cost,t6(0,23),如圖：

/(，)4

f(t)=-2CoSt在(0,23)上有且僅有一個極大值點沒有極小值點時，則兀<2ω≤2π,

???<ω≤π,

即3的取值范圍為￠,兀].

故選：/.

利用輔助角公式和三角函數的性質把函數的關系式變形成余弦型函數，進一步利用余弦型函數的

性質的應用求出3的取值范圍.

本題主要考查了三角函數的恒等變形，考查了余弦函數的圖象和性質，屬于中檔題.

9.【答案】BC

.20231...

【解析】解：因為Z=與λ一=二l=季o，

2+i2+i5

對于a,Z的虛部為高，故A錯誤；

對于B,W=Id故B正確；

對于C,∣z∣=J(|)2+(_/=?,故C正確；

對于D,Z在復平面內對應的點(Iq)位于第一象限，故O錯誤.

故選：BC.

根據復數的除法運算求得z,再根據復數Z的特征逐一判斷各選項.

本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，復數的幾何意義，屬于基礎題.

對于B,：x<0時，g(x}=-X,

二函數g(久)在區(qū)間(一8,0)上單調遞減，.?.B正確；

對于C,?；函數/(x)是R上的奇函數，

???f(x)=-f(x),又f(x+2)=一f(x),

f[x+2)=/(-X),.?.y=f(X)的圖象關于直線X=1對稱,

?.?a=1時，當一1≤x≤1時，，f(x)-x,

二當l≤x≤3時，-1≤2-xSl,/(x)=/(2—x)=2—X,

???函數f(x)在［一1禹上單調遞增,在［1,3］上單調遞減，-l≤∕(x)≤l,

???函數/Q)在R上的值域為［-1,1］,

當-l≤x<O時，g(x)>0>/(%),當x<—1時,g(x)>1≥/(x),

???方程f(x)=g(x)在(一8,0)上無解，

當0≤X≤1時，令∕ι(x)=x—In(x+1),∕ι,(x)=1-?-,

當X∈(0,1)時有∕ι'(X)>O,∕ι(x)在［0,1］匕遞增，

???當Xe(0,1］時，h(x)>∕ι(O)=O,二函數∕ι(x)在［0,1］上有唯一零點，

當l≤x≤3時,,令(p(x)=2-X-In(X+1),顯然函數尹(尤)在［1,3］上單調遞減，

又0(1)=1-m2>0,￠(3)=-1一m4<0,.?.函數W(X)在［1,3］上有唯一零點，

當%>3時，g(x)>仇4>1≥/(尤)，即方程/。)=9。)在(3,+8)上無解，

??.當α=1時，方程/(x)=g(x)在R上有2個不同的實數根，.?.C正確；

對于D,函數f(x)在上單調遞增，在［1,3］上單調遞減，

又/(l)=α,而函數/(x)的周期為4,

???fMmax=f(4k+1)=a,kez,/(0)=g(0)=0,

由選項C知，當Xe(0,1］時,ax≥x>ln(x+1),

即方程f(久)=g(x)在［0,1］上有一個根，當1≤%≤3時，/(x)=α(2-X),

???函數M(X)=α(2-X)-In(X+1)在［1,3］上單調遞減，???u(l)>0,u(3)<0,

即方程f(X)=g(x)在(1,3)上有一個根，

顯然函數/(x)在［3,5］上單調遞增，在［5,7］上單調遞減，當/(5)>g(5),即α>"6時，

方程f(x)=以乃在(3,7)上有兩個根，要方程f(x)=9(x)在R上有4個不同的實數根，

必有/(9)<g(9),即a<InlO,又/(-3)=a<InlO<3=g(-3),

因此當a<ZnlO時，方程f(x)=g(x)在(一8,0)上無解，

所以方程/(%)=9(乃在/?上有4個不同的實數根，m6<a<)10,。錯誤.

故選：ABC.

分析函數/^(x)的周期判斷4確定g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調性判斷B；分析/(x)的最大值判斷C；

由方程有4個根求出a的范圍判斷D作答.

本題主要考查了抽象函數的應用，考查了函數的零點與方程根的關系，同時考查了數形結合的數

學思想，屬難題.

11.【答案】ABC

【解析】解：因為|4。I=NB|、嘿=?，

∣∕1DIZ

所以器=年設小辦心山嚀,

|4。12Jχ2+y22

化簡得Q-4)2+y2=i2,所以點A的軌跡是以(4,0)為圓心，2，W為半徑的圓，故A正確,

當直線O力與圓(X-4)2+y2=12相切時，NAOP最大，

設直線(M的方程為y=kx,則有了比一2V3,解得卜=i√-3,

所以此時直線OA的傾斜角為?即乙4。P的最大值為基故8正確，

因為隅=?，所以SfBo=亨S“p0,

因為4”。=T?∣0P∣?MI=TMl，Ml的最大值為2，？，

所以Sgpo的最大值為√至，SAABO的最大值為2,故C正確，

當A,0,P三點共線且點P位于4,。之間時，I而I最小，最小值為23，故。錯誤，

故選；ABC.

由條件可得察J=孕，設Zl(X,y),由此可化得(％—4)2+y2=12＞即可判斷4當直線04與圓(X-

IAUl乙

4)2+y2=12相切時，44。P最大，由此可判斷B,S^AB0=^-ShAp0,求出SMPO的最大值可判

斷C,當4,0,P三點共線且點P位于4。之間時，I而I最小，求出最小值可判斷D?

本題考查動點的軌跡方程，考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對于4選項，因為AB=2,“阿基米德體”一共有八個面，

其中有四個面是邊長為2的正六邊形，有四個面是邊長為2的正三角形，

因此，“阿基米德體”的表面積為S=4×?5×22+4×6×^×22=28√^3,故A錯誤；

44

對于B選項，如下圖所示，在棱長為ɑ的正四面體P-MNG中，設頂點P在底面MNG的射影點為點

0,

延長M。交NG于點，，則H為GN的中點，

因為△MNG為等邊三角形，則MH1NG,且MH=√MN2-NH2=?a，

易知點。為△MNG的中心，則M。=IMH=IXya=?a,

因為PO_L平面MNG,MoU平面MNG,所以P。_LM。，

故Po=√PM2-MO2=Ja2一(?ɑ)2=?a，

KP-MMG=WSAMNG?P。=WX—a2X?a-

即棱長為a的正四面體的體積為著a3,

因為“阿基米德體”是在棱長為6的正四面體上截去了4個棱長為2的正四面體，

因此，“阿基米德體”的體積為U=MX63-4X瞪X23=竺?，故B正確;

對于C選項，設等邊ACEF的中心為N,與平面CE尸平行的底面正六邊形的中心記為點M,

則MN1平面CEF,

原正四面體（棱長為6）的高為?×6=2λΓ6,則MN=I×2，%=亨，

由題意可知，“阿基米德體”的外接球球心。在直線MN上，

易知EN=|x?x2=1I即正△CEF的外接圓半徑為小，

底面正六邊形的外接圓半徑為2,

設。N=d,“阿基米德體”的外接球半徑為R,則R2=cf2+（亨）2=I亨一d『+22,

解得d=亨，則R2=（筆）2+（亨）2=與

因此，該多面體的外接球的表面積為4兀/?2—4τt×~?=22ττ,C正確；

對于。選項，如下圖所示：

由正六邊形的幾何性質可知44BK=乙BKC=120°,

因為BK=CK,則NKBC=30。,所以∕4BC=44BK-NCBK=120°-30°=90。,即BCIAB,

同理可知BQ1AB,

因為4BCBQ=B,BC、BQU平面BCQ,則ABL平面BCQ,

因為CQU平面BCQ,所以，AB1CQ,

由余弦定理可得BC=√BK2+CK2-2BK-CKcosl200=J4+4-2×4×(-?)=2√^3?

同理可得BQ=243,易知CQ=4,

所以，點M的軌跡長度為BC+BQ+CQ=4√^己+4,故。正確.

故選：BCD.

計算出該多面體的表面積和體積，可判斷ZB選項；作出圖形，根據幾何關系計算出該多面體的外

接球半徑，利用球體表面積公式可判斷C選項；找出與AB垂直的直線，可求出點M的軌跡長度，

可判斷。選項.

本題考查了立體幾何的綜合問題，屬于難題.

13.【答案】2√~Σ

【解析】解：?∣α∣=2,∣K∣=2√^3,五?石=一4,

可得Ia+b?=J位+3)2=Ja2+b2+2a?b=√4+12+2×(-4)=2＜7-

故答案為：2/7.

2

利用M+b?=I(a+b)＞展開計算即可求得答案.

本題主要考查了向量數量積的性質，屬于基礎題.

14.【答案】-?-

e-l

【解析】解：/(x)=f(l)ex-%,

則尸(X)=/(I)靖一1,

令％=1,

則尸(l)=e/解得尸(I)=

e-JL

故/⑶=含＞-％,

所以/(O)=占

故答案為：-T.

根據已知條件，先求出f'(x),將X=I代入，求出f'(l),即可推得/Q),再將X=O代入/(χ),即

可求解.

本題主要考查導數的運算，屬于基礎題.

15.【答案】20

【解析】解：設這6個樣本中成分甲的含量分別為Xi,x2,x3,x4,x5,x6,平均值為3

則X=X1+X2+X33%+X5+X6=6,所以Xl+X2+X3+X4+X5+X6=36,

所以(XI-x)2+(X2-x)2H-------F(X6-x)2=(X1+X2+…+?i)-6χ2=24，

所以好+好4-----+以=240,

于是%+>2+…+B=Io(Xl+X2+…+?)-(后+μ+…+蟾)=120,

則,=Z112聯U20.

故答案為：20.

設這6個樣本中成分甲的含量分別為右,不，，辦，與，％6，平均值為3即可求出好+好+…+好,

即可求出力+V2+???+y6,從而求出平均數.

本題主要考查了平均數和方差的計算公式，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題.

16.【答案】手?

【解析】解：已知把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長

的比值等于較小部分與較大的比值，

設線段較大部分為y,較小部分為X,X>0,y>0.

則焉=］，X2+χy-y2=0,

則X=年>即：=字，則e=咨二.

如圖，已知P4是4F1P&的平分線，

則由角平分性質定理可以得出照=隔,

IPFIlIPFlI+∣PF2∣：：2α1√^^5+l

則由橢圓的定義得e=-2~

IF遇I-?F1A?+?F2A?—2c

故答案為：與1

根據NFlPF2的平分線的性質及橢圓的定義，正弦定理，即可求解.

本題考查橢圓的幾何性質，平分線的性質，正弦定理，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)由2S.+1=Sτι+2,知2(SJI+I-2)=Srl—2,即今用=也

又工一2=的-2=1-2=-1,

所以數列｛Sn-2｝是首項為-1,公比為T的等比數列，

所以Sn-2=_1??)"-1=一聲，

所以Sn=2-聲，

當n≥2時，an=Sn-S"_]=2-??-2+=??,

而%=1,滿足上式，

所以α?=p?T?

n1

(2)bjl=αn+?=2-+/，

所以〃=2。+2】+...+2"-】+/+/+...+聲=1^+^^|^=2二號+1.

【解析】(1)由2Sn+ι=Sn+2,構造得2(Sn+ι-2)=Sn-2,從而知數列｛Sn-2｝是首項為一1,

公比為T的等比數列，求得Sn后，再利用αn=Sn-Szιτ(n≥2),即可得解，注意檢驗τι=1的情

形；

(2)采用分組求和法，結合等比數列的前n項公式，得解.

本題考查數列的通項公式與前n項和的求法，熟練掌握利用αzι=Sn-SnT(Tl≥2)和構造法求通項

公式，等比數列的前n項和公式，分組求和法是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于

中檔題.

18.【答案】解：（1）因為P4_L底面力BC,如圖建立空間直角坐標系,

設B(X,y,0),C(0,2,0),P(0,0,2√^),D(0,l,√-3).

所以前=(—光,1—y,C),AC=(0,2,0).

即2(l-y)=0

所以AC=O,

1=2?/X2+y2=2,

解得匕=C或匕=舍去〉

所以8(C,L0),所以近=(-/3,1,0),

所以I前I=J(-C)2+12=2,即BC的長為2.

(2)由(1)可知前=(一口1,0),詼=(0,-l,√3),

設平面BCD的法向量為元=(α,b,c),

則g?包=。，即卜;Cz=O,則可取五=(1，31),

(n-BC=0I-Cx+y=0

因為而=(0,l,√-3)-AB=(√^^,1,0)

設平面48。的法向量為沅=（%,y,z）,

AD?m=y÷√-3z=0

則令y=y∏,則記=（一1,二,一1）,

AB?m=-?Λ3x+y=0

所以COS（而用=器f=j,即銳二面角A-BD-C的余弦值為最

【解析】（1）建立空間直角坐標系，設B（x,y,O）,根據｛：焉［：得到方程組，解得x、y,即可

求出B的坐標，再求出I配即可得解；

（2）利用空間向量法計算可得.

本題主要考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間中距離的求解，考查空間想象能力,

推理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數學運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)在ABCD中，由余弦定理，WBC2=BD2+DC2-2BD-DC-COSΔBDC,

222

■■(7√3)=(5<3)+CD-2×5√3XCD?cos≡整理得亦—5√1CD-72=0,

解得CD=8√"3或CD=-3/3(舍去)，

222222

rιnz,_BD+BC-CD_(5√^3)+(7ΛΛ^3)-(8^)1

C°S.皿=-—=2×5√3×7>Γ3=7,

Tf∏Z.DβC∈(θ,?),故SinZ?DBC=與』

?CosZ.ABD——cos(—-乙DBC)=—-cosz,DBC+)Sin乙DBC———?

故在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB-BD-COS乙4BD=(7vr3)2+(5√3)2-2×7√^×

5λΛ^×∣i=57,

.?.AD=√-57;

(2)設NCBD=仇。∈(0,等，則在ABCD中,BC_BD

SinzFDC-s?n?BCDf

BCsin?BCD

則8。=14sin(Θ+^),

sin?BDC

所以SMBD=?BDsinz-ABD=∣×7√3×14sm(0+勺xSin(W—。)=49√3sin2(0+≡),

44???

當si∏2(0+卞=1,即8=(時,△4BO面積取到最大值49C.

【解析】(I)在ABCD中，由余弦定理求得CD=8，？，繼而求得COSNDBC,sin/DBC,再求得

cos?ABD,在4力BD中利用余弦定理即可求得AC的長；

(2)設4CBD=。，由正弦定理表示出BD,利用三角形面積公式表示出AABD面積，結合正弦函數

性質即可求得最大值.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

PlP2(1-?)=7

36I、，

I-(I-P)(I-P)(I-I)=I

I12

..JP1P2-4,解得Pi=P2=/，

(p1+p2=1

：?小蕓恰好購買兩件物品的概率為:^×Z×(1-?÷^,×(l-?)×z÷(l-?×^×^=τ;

乙乙?CΛCΛ?乙乙??

(2)根據題意可知X=O,40,60,100,140,160,200,

又P(X=O)=(IT)X(IW)X(IV)=Oq

P(x=40)=l×(i-l)×(i-∣)=?=l,

1121

XXθ--

-2--o6-

12

11131

XX+XX=

-3-2-2-4-

12

P(X=140)=i1×(l-i1)×1i=1?,

P(X=160)=(l-i)×i×i=?

P(X=200)=i×i×i=?,

???x的分布列為：

X04060IOO140160200

IIIII11

P

6664121212

111111I2S0

:?E（X）=0×?÷40×?÷60×i÷100×?+140×?+160×?÷200×?=

OOO4IZIZIZ?

【解析】（1）由題意列出關于Pl，P2的方程組，解得Pl，P2,進而求出小蕓恰好購買兩件物品的概

率；

（2）X的所有可能取值為0,40,60,100,140,160,200,求出對應的概率，得出分布列，進而

計算數學期望.

本題考查獨立事件的積事件的概率乘法公式，對立事件的概率公式，互斥事件的并事件的概率加

法公式，離散型隨機變量的分布列與期望的求解，屬中檔題.

2P

則

t故40-

=「

21.【答案】解：（1）依題意，222PP2

?AB?=JC+獷+22=2/7,解得P=2（負值舍去）,

拋物線C的標準方程為y2=4x；

(2)由(I)及題設，3(-1