2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題練習(xí)-二次函數(shù)與四邊形

2023年中考數(shù)學(xué)高頻壓軸題突破一一二次函數(shù)與四邊形

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x＜刀中，菱形O4SC的邊OC在X軸上，點，在點。的右

側(cè)，拋物線的圖像經(jīng)過，A,6三點，ZAoC=60。，OA=4,若點〃以每秒2個單位

的速度從點。出發(fā)沿邊向點Zf運(yùn)動，同時點E以每秒3個單位的速度從點0出發(fā)沿

邊OC向點。運(yùn)動，點廠在AC上，ZDEF=60°,設(shè)運(yùn)動時間為力.

(1)求拋物線解析式；

(2)設(shè)_。?！旰虯CEF的面積和為是S,當(dāng)f為何值時，S最小，并求出S的最小值；

(3)若點。在拋物線上，當(dāng)C=I時，在平面內(nèi)是否存在點Q,使得以O(shè)E為邊，點〃E,

P,0為頂點的四邊形為矩形，若存在，求出點。的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系XOy中，拋物線y=αχ2+bx+c與X軸相交于點A,B(A

在B的左邊)，與V軸相交于點C,已知A(L0)、B(3,0),C(0,3).M是V軸上的動點

(M位于點C下方)，過點M的直線/垂直于y軸，與拋物線相交于兩點尸、Q(P在。

的左邊)，與直線BC交于點N.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1四邊形PMG〃是正方形，連接CP,ZXPNC的面積為正方形PMG”的面

積為邑.求今的取值范圍.

⑶如圖2,以點。為圓心，為半徑作(0.

①動點尸在。。上，連接B尸、CF,請直接寫出8尸+；CF的最小值為；

②點P是)'軸上的一動點，連接PA、PB,當(dāng)SinNAPB的值最大時，請直接寫出戶的坐

標(biāo).

3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。4BC的邊在X軸的負(fù)半軸上，點8在第二

象限，點C在第一象限，對角線AC交y軸于點。，線段8C交軸于點E,拋物線

丫=，/+3X經(jīng)過點0，A,C,已知點C的橫坐標(biāo)為3,點P是直線AC上的一點(不

與點A,C重合).

y,

圖ι

(1)求點A,C,。的坐標(biāo)和直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)點P在線段AC上時，連接OP,BD,若二AO尸與ABCD面積相等，求點尸的坐

標(biāo)；

⑶過點P作X軸的平行線，交拋物線y=9d+3χ于用，N兩點(點”在點N的左側(cè)

OO

),如圖2,直線AC上是否存在這樣的點P,使以點E,C,P,N為頂點的四邊形

是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖2

4.如圖1,拋物線y=加+?r+3(α≠0)與X軸正半軸交于點4B,與y軸正半軸交于

圖1圖2

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點/為直線BC下方該拋物線上任意一點,點￡為直線8C與該拋物線對稱軸的交點,

求APBE面積的最大值；

(3)如圖2,將該拋物線沿射線CB的方向平移20個單位后得到新拋物線》'，新拋物線

y'的頂點為。￠,過(2)問中使得aPBE面積為最大時的點尸作平行于y軸的直線交新

拋物線y'于點也在新拋物線y'的對稱軸上是否存在點兒使得以點只D￠,胴/V為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.如圖，二次函數(shù)的圖象交X軸于點A(-2,0),β(8,0),交y軸于點C(0,4),連接4G

仇?，點尸是線段加上一動點，過點尸作直線PD〃AC,交y軸于點〃交線段比1于點

E,交X軸上方二次函數(shù)的圖象于點片

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)當(dāng)點P為線段OE的三等分點時，求點〃的坐標(biāo).

(3)在線段OB上是否存在點。，使得四邊形AEFC為平行四邊形？若存在，求出點。的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線,=如2+區(qū)+2(αHθ)與X軸交于A(T,O),

3(3,0)兩點，與y軸交于點G連接BC.

備用圖備用圖

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點尸為直線BC上方的拋物線上一點，過點夕作y軸的垂線交線段BC于機(jī)過點P

作X軸的垂線交線段BC于N求PMV的周長的最大值.

⑶若點/V為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M使得以6,C,M,N為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點"的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

7.如圖1,拋物線y=0r2+?r+3與X軸交于點A。,。)，點3(-3,0),與y軸交于點C,

頂點是D.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)A

⑵如圖1,點E(x,y)是線段3。上的動點(不與反〃重合)，斯，X軸于廣，設(shè)四邊

形OFEC的面積為S,求S與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

⑶如圖2,將拋物線丫=以2+法+3向下平移左個單位長度，平移后的頂點為?！?與X

軸的交點是4',B'.若aA'8Ty的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出衣的取值范圍.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=gY+?x+c與直線AB交于點A(0,-4),

B(4,0).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點尸作X軸的平行線交AB于點C,過點尸

作N軸的平行線交X軸于點D,求尸C+PD的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)中PC+PD取得最大值的條件下,將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，

點E為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點尸，M為平移后的拋物線的對稱

軸上一點.在平移后的拋物線上確定一點N,使得以點E,F,M,N為頂點的四邊

形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo).

9.如圖(1),拋物線y=-f-30c-4”與X軸交于46兩點(點Zl在點6的左邊)，

與了軸交于點G且O8=OC=4,若點〃是直線BC(不與6,C重合)上一動點，過

點〃作X軸的垂線交拋物線于點E.

圖⑴圖⑵

(1)求拋物線的解析式.

Q

(2)連接CE,OD,當(dāng)點〃的橫坐標(biāo)為§時，求證：ZCOD=ZDCE.

⑶如圖(2),若點尸是y軸上的動點，是否存在點凡使以點GD,E,b為頂點的四

邊形是菱形？若存在，請直接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.如圖，已知拋物線產(chǎn)-丁+加+c與一直線相交于A(T,O),C(2,3)兩點,與y軸

(1)求拋物線及直線AC的解析式.

⑵設(shè)點用(3,，")，求使MN+的值最小時0的值.

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點8,￡為直線AC上的任意一點，過￡作

E/〃皮)交拋物線于點凡以反D,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，

求出點￡,尸的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

11.己知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與X軸交于點A(-2,0),β(4,0),與y軸交于

點C(0,4).

⑵在BC上方的拋物線上有一動點P.

①如圖1,當(dāng)點P運(yùn)動到某位置時，以線段BP,80為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰

好也在拋物線上，求出此時點P的坐標(biāo)；

②如圖2,過動點P作/5DLBC于點D,求線段加長的最大值.

12.拋物線曠=以2+法+4(。≠0)與矛軸交于4B兩點、,與y軸交于點C,點6的坐標(biāo)

為(4,0),拋物線的對稱軸為X=1,直線初交拋物線于點Q(2,m).

(1)求拋物線和直線AD的解析式；

⑵如圖1,點0是線段AB上一動點，過點。作QE〃AD,交BD于點、E,連接。。，

若點。的坐標(biāo)為(機(jī)0),求-Qa的面積S與勿的函數(shù)表達(dá)式，并寫出S是否存在最大

值？若存在，求出S的最大值，并直接寫出此時點￡的坐標(biāo)；

⑶如圖2,直線Ao交y軸于點R點."為拋物線對稱軸上的動點，點/V在X軸上，當(dāng)

四邊形CMNr周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標(biāo).

13.拋物線y="V+?r+c(a≠0)與X軸交于點4-3,0),B(U))兩點，與y軸交于點

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵如圖1,點P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(不與4C重合)，過點一作PD_LAB,

垂足為〃，Po交AC于點工作PFJ_AC,垂足為凡若點尸的橫坐標(biāo)為t,請用￡的

式子表示PE,并求！PEF的面積的最大值；

⑶如圖21點0是拋物線的對稱軸/上的一個動點，在拋物線上存在點P,使得以點A,

P,C,0為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點一的坐標(biāo)，并把

求其中一個點P的坐標(biāo)的過程寫下來.

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y+bx+c(αwθ)與X軸交于點A,B兩

點(點A在點B的左側(cè))，與〉軸交于點C,其中點A的坐標(biāo)為(-1,0),直線BC的解析

式為：y=-；x+3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。位于拋物線在直線8C上方的部分，DELBC于點、E,EF平行于X軸且與》軸

交于點F,求EF-qDE的最小值；

(3)如圖2,將拋物線y=0r2+bx+c(aHθ)向左平移，使得平移后的拋物線的對稱軸為

＞軸，若點G是平移后拋物線上一點，點M、N都是直線AC上的動點，點2為定點，

其坐標(biāo)為(1,2),請直接寫出以M、N、G、。為頂點的四邊形為平行四邊形的點G的

橫坐標(biāo)，并把其中一個求點G的橫坐標(biāo)的過程寫出來.

15.如圖1,拋物線y=如2+灰+《。工())與X軸相交于點/、6(點6在點4左側(cè))，與

y軸相交于點C(0,3).已知點4坐標(biāo)為(1,0),..ASC面積為6.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是直線BC上方拋物線上一動點，過點尸作直線BC的垂線，垂足為點￡,過點

尸作尸尸〃y軸交BC于點凡求！PEF周長的最大值及此時點尸的坐標(biāo)：

(3)如圖2,將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線y',平移后的拋物線與

原拋物線相交于點。，點M為直線BC上的一點，點“是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在

點MN,使以點8,〃，機(jī)N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點”的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=加+版-2(αw0)與X軸交于A(T0),

8(3,0)兩點，與y軸交于點與

備用圖

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點〃與點C關(guān)于拋物線的對稱軸/對稱,連接CO,點/為Co下方拋物線上一動點，

PQ_LCZ)于點Q,求尸。+。。的最大值及此時點〃的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線向左平移，使新拋物線恰好經(jīng)過原點，點￡為點〃的對

應(yīng)點，點廠在/上，點G在新拋物線上，直接寫出所有使得以點P,E,F,G為頂點的

四邊形是平行四邊形的點G的坐標(biāo)，把求其中一個點G的坐標(biāo)的過程寫出來.

17.如圖，頂點為。的拋物線y=-?√+?r+c與X軸交于A,B兩點(點A在點B的左

側(cè))，與V軸交于點C,直線y=τ+3經(jīng)過點B,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AC,CD,BD.求證：ΛACO^ΛDBC；

(3)點P為拋物線對稱軸上的一個動點，點M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，當(dāng)以點A,C,

M,P為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點P的坐標(biāo).

18.已知如圖，拋物線)，=?2+桁+4”工0)與坐標(biāo)軸分別交于點A(0,3),8(-3,0),

C(1,O).

(1)求拋物線解析式；

(2)點P是拋物線第三象限部分上的一點，若滿足NPCB=NASC,求點尸的坐標(biāo)；

(3)若。是X軸上一點，在拋物線上是否存在點E,使得以點A、B、D、E為頂點的

四邊形是平行四邊形，若存在，請寫出E點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

參考答案:

1∩?24小

1.U)V=------X+----X

63

⑵,=2，S.=純

13m'n13

⑶存在，±4,4±0

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出點4B,利用待定系

數(shù)法即可求解；

(2)過點〃作Z)M_LoC于點弘FN，。C于點M證明ODE^∕?CEF,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)得出ACEF的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得S的最小值；

(3)根據(jù)矩形得到OQ=2,QE=3,D(l,⑹,E(3,0),過點后作/JQE,過點。作IQDE,

作DHLOC于H,延長?！苯花M∣于用，先證..DEHs-EKH,得到K”,求出4，乙解析式,

根據(jù)平移即可得到答案；

【解析】(1)解：過點/作AG,X軸于點G,

.?.NAGO=90°,

VZAOC=60°,OA=4,

在,.AOG中，AG=OAsinZAOC=4sin60°=4×-=2√3,

2

.*.OG=QACOSNAOC=4cos60"=4×-=2,

2

Λλ(2,2√3),

又菱形OABC,

ΛOA=AB=4,AB//OC,

/.β(6,2√3),

由拋物線過原點，設(shè)拋物線解析式為y=加+bx(a≠0).

4a+2?=2√3,、后

由題意得廠解得一坦,

36α+66=2√3,6

：.拋物線的解析式為y=一餐+且X.

63

(2)解：由題意得OD=2l,OE=3z^0≤f≤—

過點〃作。Λ/，OC于點機(jī)FNLoC于點、M

Y菱形。4BC,

：.OA=OC=4,

.*.EC=4—3(,

又NACO=ZAOC=N。耳'=60",

,ZFEC+60o=NOoE+60°,

.?ZFEC=ZODEf

：?ODES∕?CEF,

.ODOE

ββCE^CF,

2/3tZ,9t

心=彳，解得CF=6-豆,

在Rt-OOM中，OM=Oo?sin60°=2fχ且=√Jf

2

田=3異衿,

在RtAFCN中，F(xiàn)N=FCsin600=64T

5=^OE?DΛ∕+∣EC?FjV=∣×3z×√3z+i(4-3r)×^3√3-∣√3rj

=至也產(chǎn)一9G+6√J

8

39√312、，24√3

=——(z/----)^+——，

81313

...至@>0,開口向上，ovf≤g,

83

(3)當(dāng)/=1時，在平面內(nèi)存在點0,使得以O(shè)E為邊，以點〃，E,P,。為頂點的四邊形為

矩形，

止上時，OZ)=2,OE=3,θ(l,?/?,￡(3,0),

如圖，過點后作4，。石，過點〃作(，。石，作DHJ_O。于"延長DH交L于K,

,

.?DKlOE9

：?4DHE=NKHE=90。,

o

：?ZDEH+ZHDE=909

?：ZDEP=90o=ZDEH÷ZKEH,

：?ZHDE=/KEH,

：.二DEHs乙EKH,

??一，HJC(~,

EHDH2√3

解得KH=逑■

3

.?⑹

??K1,—^一

3

*/26ΓΓ

??Z1:y=-x-2√3,

./.2√3√3

??∕->.V=-----X4------?

33

2√3

-2-j3,

由題得

y^x

■6

解得％=-2或z=6,

二點0的橫坐標(biāo)為-2或6,

Λ0∕7=2COS600=2×-!-=1,DW=2sin60u=2×-=√3,EH=OE-OH=3-}=2,

22

.?.將點P先向左平移2個單位，再向上平移/個單位，得點。，

點。的橫坐標(biāo)為-4或4.

2√3√3

y=-----X+—

3,解得Λ=2-√Σ或Λ=2+√Σ,

由題意得334

y=一旦二白

63

，點一的橫坐標(biāo)為2-√Σ或2+JΣ,

將點。先向右平移2個單位，再向下平移6個單位，得點。,

，點。的橫坐標(biāo)為4-應(yīng)或4+&，

綜上，滿足題意的矩形有。E[Q∣,DEP2Q2,DEQiPi,力后04個，點0的橫坐標(biāo)分別為γ,

4,4—√2>4÷?√2?

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)、相似三

角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，兩直線平行問題，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

2.(1)y=x2-4x+3

⑵1<??<6

⑶①亨；②點。的坐標(biāo)為(θ,√I)或(0,-有).

【分析】(1)將A(1,0)、8(3,0),C(0,3)代入y=α√+bx+c,利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)由8(3,0),C(0,3)可得直線5C表達(dá)式為y=-X+3,設(shè)M(O,〃z),相<3,則N(3—八”)，

MN=3-m,設(shè)點P(r,產(chǎn)-4f+3),用含/的代數(shù)式表示PM,PN,CM,根據(jù)三角形的面

積公式即可得到5，邑，進(jìn)一步求得卷，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(3)①連接。尸，在y軸上上取(θ,g),連接WF,BW,證明一CoFSFOW,可得WF=gCF,

將求BF+’C尸得最小值轉(zhuǎn)化為BF+WF的最小值，當(dāng)W,F,B,共線時，BF+-CF

33

小，最小值即為BW的長度，利用勾股定理求得BW即可；

②當(dāng)點夕在y軸的正半軸時，作,ABP的外接圓7,作TXLx軸于K,連接AT,BT,PT,

由圓周角定理得/APB=《/46,可知當(dāng)AT最小時，PT最小，此時/AP3最大，根據(jù)垂

直平分線的性質(zhì)可得AK=BK=1,由PTJ?y軸，TXLX軸，OK_Ly軸，推出四邊形Om

是矩形，則HT=OK,再根據(jù)勾股定理求解求解點P的坐標(biāo)，同法可求得點〃在y軸的負(fù)

半軸時，點尸的坐標(biāo).

【解析】(1)解：把A。,。)、B(3,0),C(0,3)代入y=α√+bx+c,

a+b+c=0

得：<9a+3?+c=0,

c=3

a=1

解得：fe=-4,

c=3

拋物線的表達(dá)式為y=W-4x+3；

(2)W-：設(shè)直線BC表達(dá)式為y="+d,

/、/、[l>k-?-d=0

由33,0,C(0,3可得，

4=3

解得

d=3

直線BC表達(dá)式為y=-%+3,

設(shè)M(0,〃?)，m<3,

MV〃x軸，

.?N(3-mym),

.?.MN=3—m,

設(shè)點P,/-4/+3),貝!j/-4r+3=〃?，即3-〃2=-產(chǎn)+4/,

；.PM=t,PN=MN-PM=3-m-t=-t2+3t,CM=3-m=-t2+4t.

222

.?.sι=LPN?CM=∣(-∕+3∕)(-∕+4∕),S2=PM-=t,

y=X2-4X+3=(X-2)^-1,

拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,-1),

Ine3,

.?-l<m<3,

.?.0<∕<2,

Q∣>θ-

7S

???當(dāng)時，U1的值隨,的增大而減小，

2%

當(dāng)f=O時,W"的值最大為6,

當(dāng)f=2時，4L的值最小為1,

%

SS

，節(jié)的取值范圍為I<甘<6;

(3)解：①連接。尸，在)’軸上取點W(O連接W/,BW,如圖:

.OFOW

'~δc~~OF9

ZCOF=ZFOWt

.?^COF^FOWf

WFOF?

---=---=—，

CFOC3

.-.WF=-CF,

3

:.BF+-CFBF+WF,

3

當(dāng)W,F,B,共線時，8尸+W尸最小，

，當(dāng)W,F,B,共線時，BF+；CF最小，最小值即為BW的長度,

W(O,,,B(3,O),

8/+ger的最小值為返，

33

故答案為：膽；

3

②當(dāng)點尸在y軸的正半軸時，作一AB尸的外接圓T,作TXLX軸于K,連接AT,BT,PT,

.?.ZAPB=-ZATB,

2

，當(dāng)/47B最大時，NAPB最大，SinzAP8也最大，

AT=BT=PT,

，當(dāng)AT最小時，即PT最小時，此時/AP8最大，

當(dāng)PTI.y軸時，PT最小，

，此時/AP3最大，SinZAP8最大，

A(LO)、8(3,0),

/.AB=29

：.AK=BK=-AB=I,

2

P7J.y軸，TXJ_x軸，OKLy軸，

四邊形Om是矩形，

:.PT=OK=OA+AK=2,

AT=2,

:.TK=4AT1-AK2=√22-l2=√3'

.??P(θ,√3).

當(dāng)點尸在y軸的負(fù)半軸時，同理可求得「(0,-有)，

綜上所述點夕的坐標(biāo)為(0,6)或(。,-⑹.

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積,

二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形外接圓的性質(zhì)，圓周角

定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

3.(l)A(-5,0),C(3,4),D(0,∣),γ=→+∣

⑵《W

(3)點尸的坐標(biāo)為-4+",；+，］或-4-77,?--?j

【分析】(1)分別令y=0,X=3,求得AC的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得AC的解析式，進(jìn)而

求得點。的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，AoP與aBS面積相等，得出點。到8C的距離與點尸到AO的

距離相等為∣4-]∣=],進(jìn)而將y=1代入AC的解析式，得出P的坐標(biāo)，即可求解.

(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出EC=PN,設(shè)P(p,；p+1),則W=；P+g,將W=TP+|

代入y='χ2+^χ得，N點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)尸N=EC=3,建立方程，即可求解.

【解析】(1)解：令y=o,貝,χ=o,

66

解得%=0,X2=-5,

：.A(-5,0),

將x=3代入yd/+，得，

66

y=4,

??.C(3,4),

設(shè)直線AC的解析式為y="+b(&Nθ),將A(-5,0),c(3,4)代入得，

f-5Λ+?=0

[3k+b=4'

k=-

.2

.?.直線AC的解析式為?=→+∣,

當(dāng)X=O時，y=?∣,

(2)Y四邊形AoCB是菱形，

???BC=AO9

??q_c

?UAOP—IJBCD，

53

???點D到6。的距離與點尸到AO的距離相等為14-51=Q

315

將％=/代入y=5χ+5得，％=—2,

(3)存在這樣的點P,使以點￡,C,P,N為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下:

VN〃x軸，MN//AO,四邊形AOC8是菱形，

OA//BC,

：.BC//MN//AO,

即EC〃尸N,

要使以點E,C,P,N為頂點的四邊形是平行四邊形，

則EC=PN,

設(shè)P(p,1+∣),

,.15

則n%=5P+5,

將VN=<P+?f代入)'=:—+，*得，

2266

x2+5x-3p-15=0,

解得x=-∣±J^+3p,

???點N的橫坐標(biāo)為-2+

2

.??PTV=--+

2

?：PN=EC=3,

5

-----1-p-p=3,

2

即p2+8p+9=0,

解得月=Y+幣,R=T—百

當(dāng)p=Y+√7時，ln+^=l+2∕Σ,

2222

當(dāng)E=-4-√7時，LPa=L一五,

2222

.?.點〃的坐標(biāo)為-4+",g+*)或-4-77,?-?j.

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合，面積問題，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(l)y=f-4x+3

(2)l

(3)存在，M點坐標(biāo)為(4,-7)或(4,1)

【分析】(1)求出46兩點的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法即可求出函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)P(r∕-4r+3),先求出直線尸B的解析式為y=(r-l)x+3-3r,則PB與對稱軸的交

點為(2,1—r),可得S=LX(I-I+f)x(3-f)=-工k一3丫+2,即可得出結(jié)論；

2212J8

(3)求出平移以后得拋物線的解析式為y'=(x-4)2-3,則0(4,-3),設(shè)N(4,f),分；兩

種情況討論：①當(dāng)PD為平行四邊形的對角線時，∕V(4-7),②當(dāng)PD為平行四邊形的對角

線時,7V(4,1).

【解析】(1)令X=0,則y=3,

???C(0,3),

???OC=3,

YOC=OB=304,

：.0B=3,OA=I9

：.A(l,0),8(3,0),

將A(1,O),8(3,0)代入y=^Λ2+?x+3,

.?6Z÷?÷3=0

**[‰+3?+3=0,

[a=\

解得人,，

[?=-4

y=x~-4x+3；

(2)Vy=x2-4x+3=(x-2)2-l,

.?.拋物線的對稱軸為直線x=2,

設(shè)直線Be的解析式為y="+3

將B(3,0),C(0,3)代入，得

∫3?+?=0

1b=3,

解得

b=3

.*.y=-%÷3,

???￡(2,1),

設(shè)尸(r∕2-4f+3),直線尸8的解析式為y=k'χ+",

.(3k,+h,=0

???tk,+b,=t2-4t+39

k,=t-l

解得

b,=3-3tf

/.y=(r-l)x+3-3/,

.β.PB與對稱軸的交點為(2,lτ),

?'?s?PBE=BX(IT+3(37)=4(…5)+,，

.?.當(dāng)f=?j時，面積的最大值為

(3)存在點M使得以點只以，MM為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：

,/直線BC的解析式為y=-X+3,

.?.將該拋物線沿射線CB的方向平移2&個單位，即拋物線沿X軸正方向平移2個單位，沿

y軸負(fù)方向平移2個單位，

/.平移后的拋物線解析式為y=(x-4)2-3=x2-8x+13,

.?.O'(4,-3),

3_3

由知，

(2)P2,^4

'：PM4y軸,

313

.?.M

2,^4^

設(shè)N(4j),

,.?PM//Niy,

.?.加與NZy一定是平行四邊形的一組對邊,

①當(dāng)PO為平行四邊形的對角線時,

3

.?.PM=ND',即

4

解得f=-7,

ΛW(4,-7);

②當(dāng)PO為平行四邊形的對角線時，

：.PM=IyN,即+UT-3),

解得f=l,

.?.N(4,l);

綜上所述：從點坐標(biāo)為(4,-7)或(4,1).

【點評】本題綜合考查二次函數(shù)和平行四邊形的相關(guān)知識，屬于壓軸題，熟練掌握二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

?3

5.(1)y=——X2+-x+4

42

⑵點戶的坐標(biāo)為(Q)或件o1

(3)不存在，理由見解析

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用正切函數(shù)求得tanNACO=tan∕C3O,即NACO=/CBO,推出NA。=9()。.得

至UtanNoDP=孚=',設(shè)OP=%，則OC>=2根，由SinZCBO=隹=生，得到PE=,

分兩種情況討論，PE=2PD或PD=2PE,列式計算即可求解；

(3)假設(shè)存在.則EF=AC=2指，過點尸作"/LAB于點〃交5C于點。利用面積公

式得到FG=5,設(shè)”(％0),得至IJFG=+2〃=5,利用根的判別式即可判斷.

【解析】(1)解：；二次函數(shù)的圖象交X軸于點A(-2,0),8(8,0),

.?.設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=α(x+2)(x-8).

將點C(0,4)代入y=α(x+2)(x-8),得“?(θ+2χθ-8)=4,解得a=-；.

11Q

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-：a+2)(x—8)=—：f+4；

442

(2)解：；A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

ΛQ4=2,0C=4,OB=8.

:?AC=J2?+4,=26，BC=√42+82=4√5.

VtanZACO=-=-,IanZCBO=-=-,

CO2BO2

.*.tanZACO=tanNC80.

：?ZACO=ZCBO.

：?ZACB=ZACO+ZBCO=NCBO+ZBCO=90o.

?：PD//ACf

：?NPEB=ZACB=90。,ZACO=ZODP.

OP1

.?.tanZODP=tanZACO=—=-.

OD2

設(shè)OP=m，則QD=2〃z.

.*.PD=y∕5m,PB=8—m.

...CPEOC

.sinZCBO=——=----

PBBC

?PE4

??8-/H4Λ∕5'

.?,PE=?,

點P為線段龍的三等分點，

，PE=2PD或PZ)=IrPE,

即~J=~=2X45m或?JSm=2קj"

8f16

??m=—或加=一.

117

.??點2的坐標(biāo)為(\，0)或軻;

(3)解：不存在.

理由：假設(shè)在線段08上存在點R使得四邊形的C為平行四邊形，則政=AC=2百.

連接PC,FB,AE,如圖所示，

貝IJSABw=gBC?FE=1x46x2后=20.

過點Q作FH_LAB于點H,交BC于點G,

=-FGOH+-FGBH

22

=^FG(OH+BH)=^FGOB=4FG=20.

：.FG=5.

?.?B(8,0),C(0,4),

("8?+?=Ok=~-

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=H+6,則，，解得2,

仍=4Zl,.

.?.直線BC的表達(dá)式為y=—gχ+4.

設(shè)則G’,一；〃+4),尸(〃,-；〃2+1+4).

.?.FG=I--n2+3“+4)_/_L〃+4]=_L“2+2"=5,

I42)I2)4

整理，得*-8"+20=0.

VΔ=(-8)2-4×l×20=-16<0,

該方程無實數(shù)解.

.??假設(shè)不成立.

在線段OB上不存在點P,使得四邊形物C為平行四邊形.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，平行

四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式,一元二次方程根的判別式.解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件，

列出方程.

2,4

6.(1)y=--x+-x+2；

33

⑵10+2√I?

(3)點M的坐標(biāo)為(2,2)或(4,-T)或,2,一5).

【分析】(1)將點A(T0)、3(3,0)代入y=α√+*+2(α≠0)即可;

(2)求出BC的解析式，設(shè)小-|產(chǎn)+§+2),根據(jù)題意得2≤f<3,易得

P∕V=--G--Λ∣+-,求得其最大值，易證ABOCsAMPN,可得PM=3PN,

2)22

MN=—PN,進(jìn)而得.PMN的周長為PN+PM+MN=PN+3PN+叵PN=^^PN,

2222

則當(dāng)PN最大時，PMN的周長有最大值，代入PN最大值即可求解；

(3)根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)可以得到存在點"使得以8,C,M,N為頂點的

四邊形是平行四邊形，分兩類考慮，以8C為對角線，以8C為邊利用平行四邊形對邊平行

且相等求點"的坐標(biāo)，和構(gòu)造直角三角形求點."的橫坐標(biāo).

【解析】(1)解：⑴:拋物線y7+旅+2(α≠0)過A(T,0),8(3,0)兩點,

∫<a-?+2=0

[‰+3?+2=0

2

a=—

3

,

解得4

b=-

3

2?4

???拋物線的解析式為y=--X2+-X+2；

(2)當(dāng)X=O時，尸2,即：C(0,2),

則OC=2,08=3,BC=岳,

設(shè)BC的解析式為:y=kx+bl9將8(3,0),C(0,2)代入可得:

,解得：卜q

b?=2

3左+4=O

A=2

2

二BC的解析式為：y^--x+2,

設(shè)P(W+2)

：點戶為直線BC上方的拋物線上一點，過點。作y軸的垂線交線段BC于必，過點戶作X

軸的垂線交線段BC于此

r>0

...r<3,則2≤f<3,

--z2+-r+2≤2

I33

2

當(dāng)X=/時，點N的縱坐標(biāo)為：y=--t+2,

則PN=-Z/+37+2_/_2.+2]=_2/+2]=_2'_』]+?(2≤Z<3),

33I3J33l2)2

?x(2斗」

，當(dāng)t=2時,PN有最大值為：,

3I2；23

由題意可知，NBOC=NP=90。，PN〃y軸，則NRW=NOe3,

：?∕?BOCS∕?MPN,

則黑=霧=法'則PM==PN'MN=叵PN，

PNPMMN22

.PMN的周長為尸N+PW+MN=PN+3PN+—PN=叵PN,

222

則當(dāng)PN最大時，PMN的周長有最大值，

即：一PMN的周長的最大值為如叵、3=也為叵；

233

M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,

①以BC為對角線，過。作CM〃X軸交拋物線與M點N在X軸上，NB=2=MC,M(2,2)；

②以BC為邊，過M作MG垂直拋物線對稱軸于G,當(dāng)MG=Q8=3,且OC=GN時，四邊形

CNMB為平行四邊形，"點橫坐標(biāo)x=3+l=4,縱坐標(biāo)y=-2χ42+&x4+2=-3,

333

③過N作NH〃x軸，與過"作〃＞軸交于〃，當(dāng)MH=CO=2,M∕=BO=3時，四邊形

CMNB為平行四邊形,"點橫坐標(biāo)為X=I—3=—2,縱坐標(biāo)y=-：X(-2)2+→(-2)+2--y,

Λ/(-2,一~；

綜上所述：點M的坐標(biāo)為(2,2)或(4,-g)或12,一5).

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，相似三角形的

判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，及分類討論的數(shù)學(xué)思想,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、

相似三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(1)y=-x2-2x+3,(-1,4)

⑵S=D+*3<x<T),??

(3)O≤?<3

【分析】(1)利用二次函數(shù)的雙根式得拋物線的解析式，并根據(jù)頂點式求頂點；

(2)先求出直線8。的解析式，￡在直線上，所以可表示出C的坐標(biāo)，利用梯形面積公式,

用X表示四邊形的面積S,得二次函數(shù)，配方求最值；

(3)找臨界條件，恰好AA'*D'是直角三角形，可求出發(fā)的值.

【解析】⑴把x=l,Y=O和X=-3,y=。代入y=爾+fer+3

a+b+3-0“，0=-l

可得9α-3b+3=0'解得

b=-2'

故拋物線解析式為y=-χ2-2x+3,y=-X2-2Λ+3=-(X+1)2+4,

故〃的坐標(biāo)為(-1,4)；

(2)由拋物線解析式可得C(0,3),設(shè)BO所在直線的解析式為y=依+，",

把x=-3,N=O和產(chǎn)一1,y=4代入機(jī)

-3>k+/W=Ok=2

可得,解得

-k+m=4m=6

.?.y=2x+6,

設(shè)E(X,2x+6).

由于四邊形MOC為梯形，

ΛS=∣(EF+OC)×OF=∣(2X÷6÷3)×(-X)=-X2-∣X=-^+∣^+^(-3<x<-l),

V-1<O,

???當(dāng)X=一9時，S有8最1大值為?.

(3)由題意得，AA'*D'為銳角三角形，

設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-(X+1Y+4-3

當(dāng)AABTX為直角三角形時，

根據(jù)拋物線對稱性可知，AA'MD'為等腰直角三角形，

?.?r>,(-ι,4-?),

Λβ,(?-5,0),Λ,(3-?,0),

將5l("5,0)或A'(3-Z,0)代入y=-(χ+iy+4T

得k=3或％=4(三點重合，舍去)，

Λ0≤Λ<3.

【點評】此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值問題，圖象的平移等

知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

8.(1)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=gV-x-4;

⑵PC+PD的最大值為字，此時噌，-當(dāng)；

4128J

⑶/、點-”的坐l、，標(biāo)(?為45或?i(卜1萬51或3V卜f51'11^3、J?

【分析】(1)將點48的坐標(biāo)代入拋物線y=gχ2+?r+c中求出4C即可；

(2)設(shè)PD交BC于H,可得PC=PH,求出直線AB的解析式，設(shè)PH2_-4),則

H{t,r-4),￡>(60),表示出PC+PD,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；

(3)根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點昆下坐標(biāo)，設(shè)M(T，加)，

+分情況討論：①當(dāng)￡?尸為對角線時，②當(dāng)日W為對角線時，③當(dāng)EN為

對角線時，分別根據(jù)對角線交點的橫坐標(biāo)相同列式計算即可.

【解析】（I）解：將點A（0,-4）,8（4,0）代入丫=5》2+法+0得：

8+4?+c=0

c=-4

解得:

b=-l'

，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=lχ2-x-4;

VA(0,-4),B(4,0),

：?OA=O5=4,

JΛOBA=ZOAB=45°1

VPC//OB,PD∕∕OAf

：./BCP=ZOBA=45o,ZPHC=/BHD=ZOAB=45°,

：,PC=PH,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+h^

h=-4?=-4

解得:1

4?+?1=Ok=?

???直線AB的解析式為V=4,

設(shè)尸，；產(chǎn)—_4),則”“，"4),D(f,0),

/.PC+PD=PH+PD

=f一4一(；產(chǎn)一/一4)+(一+/+41

=→2+3r+4

、

???當(dāng)時3，PC+P。取得最大值25弓，此時P<3丞一3方5卜

24?Zo√

1?17

(3)解：由題意得：平移后拋物線解析式為y=j(x+5)2-(x+5)-4=]χ2+4χ+;,

G9

1C