2022-2023學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市武功縣高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

如22-2023學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市武功縣高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)(文)試題

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(l+2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)得到z=-2+i,從而得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

【詳解】z=i(l+2i)=-2+i,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-2,1)位于第二象限.

故選：B

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別對(duì)一組變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn)，并分別計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，?，則線性

相關(guān)程度最高的是()

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)H越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，

所以線性相關(guān)程度最高的是乙.

故選：B

3.若復(fù)數(shù)Z滿足(l+2i)z=l,貝”的共軌復(fù)數(shù)是()

12.12,-12.1

A.-----1--1B.--------1C.—+—1D.一—

5555555

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得z,根據(jù)共輾復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.

1l-2il-2i12.12.

【詳解］JT2i=(l+2i)(l-2i)=3,,',Z=5+5*'

故選：C.

4.下列三句話按“三段論”的表述形式，排列順序正確的是()

①y=ln∣M是偶函數(shù)；②N=InlXl的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；③偶函數(shù)的圖像關(guān)于N軸對(duì)稱(chēng).

A.①T②T③B.③T②T①C.②T①T③D.③T①T②

【答案】D

【分析】根據(jù)“三段論”的結(jié)構(gòu)即可求解.

【詳解】根據(jù)“三段論”："大前提”，"小前提''則"結(jié)論”可知：偶函數(shù)的圖像關(guān)于夕軸對(duì)稱(chēng)是“大前提”,

?=?nH是偶函數(shù)是“小前提"，V=InlXl的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)是“結(jié)論”，

故選：D

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)，事件8：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3,則事

件/與事件B()

A.相互獨(dú)立B.對(duì)立C.互斥但不對(duì)立D.概率相等

【答案】A

［分析］根據(jù)P(AB)=P(A)P(B)即可得到答案。

【詳解】拋擲骰子可能得到的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,其中質(zhì)數(shù)為2,3,5,

121

所以P(/)=5，P(8)=3，P(/8)=§,故尸(48)=P(N)P(B),

所以4與8相互獨(dú)立.

故選：A

6.甲射擊命中目標(biāo)的概率是之，乙命中目標(biāo)的概率是,，丙命中目標(biāo)的概率是:，現(xiàn)在三人同時(shí)射

432

擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()

32723

A.-B.~∑C.-D.—

43824

【答案】D

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)甲射擊命中目標(biāo)為事件A,乙射擊命中目標(biāo)為事件5,丙射擊命中目標(biāo)為事件C,

321

則尸(4)=［,尸(8)=§,P(C)=-,

因?yàn)?8,C相互獨(dú)立，所以Z瓦。也相互獨(dú)立，

則三人都沒(méi)擊中目標(biāo)的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(I-尸(/))(I-P(5))(l-P(C))

所以目標(biāo)被擊中的概率是1-二1=鄉(xiāng)23,

故選：D.

7.某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠面積增加值分別為0.2萬(wàn)公頃0.4

萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠面積增加數(shù)V（萬(wàn)公頃）關(guān)于年數(shù)X（年）的函數(shù)關(guān)系較為接近的是

（）

A.y=0?2xB.y=0.1x2+0.1x

γ

C.γ≈0.2+Iog4%D.y=~

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將（1。2）,（2,0.4）,（3,0.76）分別代入選項(xiàng)中的函數(shù)，逐項(xiàng)驗(yàn)證比較，即可求

解.

【詳解】由題意，最近三年測(cè)得沙漠面積增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，

即（1,0.2）,（2,0.4）,（3,0.76）,

對(duì)于A中，函數(shù)y=0.2x,當(dāng)x=3時(shí)，y=0?6和0.76相差較大；

對(duì)于B中，函數(shù)y=O.lχ2+o.iχ,當(dāng)χ=2時(shí)，y=0.6和0.4相差較大；

對(duì)于C中，函數(shù)y=O.2+log4X,當(dāng)χ=2時(shí)，N=0.7和0.4相差較大；

對(duì)于D中，函數(shù)y=—，當(dāng)x=l時(shí)，y=0.2,當(dāng)χ=2時(shí)，歹=0.4,

10

當(dāng)X=3時(shí)，片0?8和0.76相差0.04,

綜合可得，選用函數(shù)關(guān)系y=三較為近似.

故選：D.

8.已知復(fù)數(shù)Z滿足∣z∣gz-4i∣（i為虛數(shù)單位），則Z的虛部是（）

A.—2iB.2iC.—2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意IZl=IZ-4i∣可列式Ja?+從=J/+（6_4『，即可解出復(fù)數(shù)虛部.

【詳解】設(shè)z=α+6i,IZl=IZ-4i∣nJ"+/=42+伍一4）2,解得6=2

故選：D

9.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某班甲、乙、丙三名同學(xué)中的一人獲獎(jiǎng).甲說(shuō)：“我沒(méi)有獲獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“我獲

獎(jiǎng)了“；丙說(shuō)："乙沒(méi)有獲獎(jiǎng)”.如果三人中恰有二人的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則最終獲獎(jiǎng)的是（）

A.甲B.乙C.丙D.不確定

【答案】A

【分析】先假設(shè)說(shuō)法正確，通過(guò)推理分析即可得出結(jié)論.

【詳解】假設(shè)甲的說(shuō)法是正確的，則乙、丙二人的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則乙沒(méi)獲獎(jiǎng)，所以丙的說(shuō)法是正

確的，兩者矛盾，所以甲的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；

假設(shè)乙的說(shuō)法是正確的，即獲獎(jiǎng)的是乙，則甲、丙二人的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，所以甲獲獎(jiǎng)了，

與三名同學(xué)中的一人獲獎(jiǎng)矛盾，所以乙的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；

因?yàn)槿酥星∮卸说恼f(shuō)法是錯(cuò)誤的，所以丙的說(shuō)法是正確的，所以最終獲獎(jiǎng)的是甲.

故選：A.

10.我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)&,.)到直線∕x+取+C=0的距離公式為d=也F知。=9,通過(guò)

y∣A+B^

類(lèi)比的方法，貝I」：在空間中，點(diǎn)(2,5,1)到平面》+2＞；+22+1=0的距離為()

A.7B.5C.3D.2√5

【答案】B

【分析】利用平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式類(lèi)比得到空間中點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)而可以求解.

【詳解】平面內(nèi)點(diǎn)(?,Λ))到直線Ax+By+C=0的距離公式d=叫,

y∣A2+B2

類(lèi)比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式，可得空間中點(diǎn)(2,5,1)到直線X+2y+2z+1=0的距離為:

_|lx2+2x5+2xl+l|_15_

=-√i2+22+22-=T=5-

故選：B.

11.圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角

形演化而成的，其中04=44=44=…=44=1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記

OAl,OA2,…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為｛4｝，則%5=()

A.25B.24C.5D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可推出4=1，且d=Yτ+l("≥2),從而說(shuō)明數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的

等差數(shù)列，求得數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知，04=44=44=…=44=1，

AOA1A2,AOA2A3,…，AoA7…都是直角三角形，

???%=1,且端“3+l("≥2),故Y-dτ=1(〃≥2),

數(shù)列｛3｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

,a；=1+(〃-I)XI=勿.

又?！ā?，.?.atl=4n,

?數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=〃，

=，25=5,

故選：C.

12.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)出以下公式e"=cosx+isinx

QeR,i為虛數(shù)單位)，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)

此公式，下面四個(gè)結(jié)果中不成立的是()

022

f1?V

t

A.e"+l=0B.-+—i=1

\227

C.∣eit+e^∣<2D.-2≤elt-e^ix≤2

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)X=兀時(shí)，因?yàn)閑`=Cos兀+isinπ=-l,所以”+1=0,故選項(xiàng)A正確；

20222022

(1/7λ/?2022/πA

對(duì)于B,—+——i=cos—÷isin-=e?=e674πι=cos674τβ-isi∏674τF1,

122)(33；)

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,由e"=cosx+isinx,eu=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e"+e?=2cosX,得出卜"+e"∣=∣2CoSXI≤2,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由C的分析得e"-e-"=2isinx,推不出-2≤e"-小≤2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

二、填空題

13.若(l-i)z=l+i,則IZI=.

【答案】1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再求出其模.

【詳解】因?yàn)?l-i)z=l+i,所以Z=N=77[M=里±==i,

1-1(I-I)(I+1)2

所以∣z∣=l.

故答案為：1

14.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N=3,那么輸出的S=

【答案】∣5/Iy2

【分析】根據(jù)程序框圖把N=3代入，逐步求解可得結(jié)果.

【詳解】第一次運(yùn)算：T=LS=LK=2；

13

第二次運(yùn)算：Γ=-,S=-Λ=3;

第三次運(yùn)算:r??S=f-Λ=4;

此時(shí)K=4>3,退出循環(huán)體，輸出S為:

故答案為：y.

15.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某款熱銷(xiāo)品的銷(xiāo)售量共萬(wàn)件）與廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）之間滿足回歸直線方程j=以+3.5.

若樣本點(diǎn)中心為（45,35）,則當(dāng)銷(xiāo)售量為52.5萬(wàn)件時(shí)，可估計(jì)投入的廣告費(fèi)用為萬(wàn)元.

【答案】70

【分析】根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心得3=0.7,進(jìn)而得i=0.7x+3.5,再計(jì)算j=0.7x+3.5=52.5

即可.

【詳解】解：依題意，回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心，

故將（45,35）代入回歸直線方程j=以+3.5得35=菽45+3.5，解得3=0.7，

所以回歸直線方程為j=0.7x+3?5.

令i=0.7x+3.5=52.5,得x=70.

所以當(dāng)銷(xiāo)售量為52.5萬(wàn)件時(shí)，可估計(jì)投入的廣告費(fèi)用為7（）萬(wàn)元.

故答案為：70

16.一個(gè)口袋中裝有5只口罩，其中一次性醫(yī)用口罩4只，普通一次性口罩1只，從中取2只，每

次任取1只（不放回）.設(shè)事件/="第一次取到的是一次性醫(yī)用口罩“，事件8="第二次取到的是一

次性醫(yī)用口罩”，則條件概率尸（8|/）=.

3

【答案】:/0.75

4

【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】事件/3="第一次取到的是一次性醫(yī)用口罩，第二次取到的是一次性醫(yī)用口罩”，

z?C；C；_12

所以P(8∣∕)=然12_3

16-4

3

故答案為：-

三、解答題

17.某地?cái)M于2024年將游泳列為中考體育內(nèi)容.為了了解當(dāng)?shù)?023屆初三學(xué)生的性別和喜歡游泳是

否有關(guān)，對(duì)100名初三學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳不喜歡游泳總計(jì)

男生10

女生20

總計(jì)

3

已知這IOO人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為；

⑴請(qǐng)補(bǔ)充完整上述2x2列聯(lián)表；

(2)判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).

n(ad-bc)^

附：K2n=a+b+c+d.

(?+6)(C+d)(a+c)(b+d)

2

P(κ≥k0)0.050.0250.010.0050.001

k。3.4815.0246.6357.87910.828

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)題意計(jì)算即可完善列聯(lián)表；

(2)計(jì)算卡方值，和10.828比較即可得出結(jié)論.

3

【詳解】(1)因?yàn)樵?00人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為:，所以喜歡游泳的學(xué)生

3

人數(shù)為IooXl=60.

其中女生有20人，男生有40人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

喜歡游泳不喜歡游泳總計(jì)

男生401050

女生203050

總計(jì)6040100

⑵因?yàn)榉?100x(40x30-20x10)2

≈16.667>10.828,

60×40×50×50

所以有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).

18.設(shè)復(fù)數(shù)Z]=2+αi(其中。∈R),z?=4-3i,i為虛數(shù)單位.

⑴若z∣+Z2是實(shí)數(shù)，求H⑦的值;

(2)若五是純虛數(shù)，求。的值.

Z2

【答案】⑴17+6i

【分析】(1)4+為是實(shí)數(shù)，說(shuō)明虛部為0,可求出。的值，再去計(jì)算ZE即可

(2)先將五進(jìn)行化簡(jiǎn)，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，說(shuō)明實(shí)部為0,且虛部不為0,從而求出α.

?2

，

［詳解］⑴.?Z］=2+αi(其中4wR),z1=4-3i,

,

..z1+z2=6+(α-3)i,

由4+入是實(shí)數(shù)，所以〃—3=0,解得α=3.

,

..z1=2+3i,z2=4-3i,

則z∣∕2=(2+3i)(4-3i)=17+6i；

z2+αi(2+oi)(4+3i)8-3。6+4a.1一一

(2)由ι三1二4—3i=(4—3i)(4+3i)=25∣251是純虛數(shù)'

8-3a=0

，解得

6+4ɑ≠0

19.(1)已知X為正數(shù)，α=-x+-,b=5x-',用反證法證明：a,6中至少有一個(gè)不小于6；

XX

(2)用分析法證明：當(dāng)x24時(shí)，√T≡3+√Γ^>√T≡4+√7^1.

【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)假設(shè)均小于6,則“+b<12,再由基本不等式證明α+6≥12得矛盾，即可得證;

(2)利用分析法從結(jié)論往前推即可.

【詳解】(1)假設(shè)a,b均小于6,即4<6,b<6,則α+bvl2,

K10,1

而a=一1+—,b=5rx——,x>0,

XX

o/9

則a+6=4x+—≥2.4x?—=12>

xyx

93

當(dāng)且僅當(dāng)4x==,即X==時(shí)，取等號(hào)，

X2

與假設(shè)矛盾，

所以“，b中至少有一個(gè)不小于6；

(2)當(dāng)χ24時(shí)，^iiE√7≡3+√x≡2>√x≡4+√x≡l,

需證(JX-3+Jx-2)>(Jx-4+JX-1)>

只需證X-3+2J(x-3)(x-2)+x~2>x-4+2J(x-4)(x-1)+x—1,

即證λ^(x-3)(x-2)>Λ∫(X-4)(X-1),

也就是證f-5x+6>X?-5x+4，

即證6>4,此式顯然成立，

所以Jx-3+JX-2>JX-4+-Jx-l.

20.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有三關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選

手從第一關(guān)開(kāi)始依次通關(guān)，只有通過(guò)本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過(guò)率為0.7,第二關(guān)通過(guò)率

為0.5,第三關(guān)的通過(guò)率為0.3,三關(guān)全部通過(guò)可以獲得一等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為300元)，通過(guò)前兩關(guān)就可以

獲得二等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為200元)，如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，則獎(jiǎng)金可以累加為500元.假設(shè)選手

是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).

(1)求甲最后沒(méi)有得獎(jiǎng)的概率；

(2)已知甲和乙都通過(guò)了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元的概率.

【答案】(1)0.65

(2)0.105

【分析】(1)甲沒(méi)中獎(jiǎng)分為第一關(guān)沒(méi)有通過(guò)，和第一關(guān)通過(guò)且第二關(guān)沒(méi)有通過(guò)兩種情況，分別求得

兩個(gè)事件的概率再求和即可；

(2)根據(jù)最后獎(jiǎng)金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎(jiǎng)，一人獲得二等獎(jiǎng)，根據(jù)概率乘法和加法公

式即可求解.

【詳解】(1)甲第一關(guān)沒(méi)通過(guò)的概率為l-0?7=0.3,

第一關(guān)通過(guò)且第二關(guān)沒(méi)通過(guò)的概率為0?7×0-0-5)=0.35,

故甲沒(méi)有得獎(jiǎng)的概率P=0.3+0.35=0.65.

(2)記甲和乙通過(guò)了第二關(guān)且最后獲得二等獎(jiǎng)為事件E,

通過(guò)了第二關(guān)且最后獲得一等獎(jiǎng)為事件尸，

貝IJP(E)=O.5X(1-0.3)=0.35,P(F)=0.5x0.3=0.15,

??,甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元，

二甲和乙一人得一等獎(jiǎng)，一人得二等獎(jiǎng)，

若甲得了一等獎(jiǎng)，乙得了二等獎(jiǎng)的概率為6=0.35x0.15=0.0525,

若乙得了一等獎(jiǎng)，甲得了二等獎(jiǎng)的概率為6=0.35x0.15=0.0525,

二甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元的概率P=P,+P2=0.0525+0.0525=0.105.

21.已知復(fù)數(shù)2=》+4。€&卜€(wěn)1<)滿足|2-1|=1.

(1)求∣z-3∣的最小值與最大值；

2

(2)若Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，且Z+」為實(shí)數(shù)，求證：z-z=].

Z

【答案】(1)最小值為1,最大值為3

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形關(guān)系即可求解，

I13

(2)利用模長(zhǎng)關(guān)系以及z+L為實(shí)數(shù)，可得x==代入化簡(jiǎn)即可求解.

Z24

【詳解】(1)復(fù)數(shù)z=x+yi(xwRjeR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x∕),由IZ-II=I可知，表示點(diǎn)

Z(XJ)到(1,0)的距離為1,故點(diǎn)Z(Xj)的軌跡為以(1,0)為圓心，半徑為1的圓上，所以∣z-3∣表示

圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離，由圖可知：當(dāng)點(diǎn)Z(0,0)時(shí)，此時(shí)∣z-3∣最大，且最大值為3,當(dāng)點(diǎn)Z(2,0)

時(shí)，此時(shí)∣z-3∣最大,且最小值為1,

Iy

由于Z十?實(shí)數(shù)，所以。，解得2或―,

Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以x>0,y>0,故P=O舍去，取χ2+∕=ι,

又IZ-II=I得(χ-iy+∕=ι,所以解得χ=g,r=:

z-z2=x+yi-(x+yi)2=x+yi-x2-2xyi+y2=?-→→(-2X,i=?-UI

22.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某市一家新能源企業(yè)2022年近5個(gè)月的產(chǎn)值如下表：

月份7月8月9月10月11月

月份代碼X12345

產(chǎn)值y（億元）1620273037

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與X間的線性相關(guān)系數(shù)「，并說(shuō)明y與X的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；（結(jié)果保留

兩位小數(shù)，若0.75≤H≤l,則認(rèn)為V與X線性相關(guān)性很強(qiáng)；若H<0.75,則認(rèn)為V與X線性相關(guān)性不

強(qiáng).)

(2)求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該企業(yè)什么時(shí)候的產(chǎn)值為67.6億元.

“n