2022-2023學年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個正確選項.

1.（5分）若復數(shù)Z=J-4+（α-2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)α的值為（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

2.（5分）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知必+c?-〃2=火，若

sin2A+sin2B=sin2C,則角B的大小為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

3.（5分）已知正三角形邊長為2,用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的

面積為（）

A.亞B.西C.2√2D.2√6

44

4.（5分）已知平面向量Z，E滿足（3a-2b）1（5a+b）.且之用高，若Ia1=1，則∣bI

=（）

A.旦B.生C.√7D.√2

22

5.（5分）下列命題正確的是（）

①平行于同一條直線的兩條直線平行；

②平行于同一條直線的兩個平面平行；

③平行于同一個平面的兩條直線平行；

④平行于同一個平面的兩個平面平行.

A.①②B.③④C.①④D.②③

6.（5分）某圖書館統(tǒng)計了某個月前8天紙質(zhì)圖書的借閱情況，整理數(shù)據(jù)得到如圖折線圖.根

據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.這8天里，每天圖書借出數(shù)的極差大于50

B.這8天里，每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)大于105

C.這8天里，每天圖書借出數(shù)的中位數(shù)大于IOl

D.前4天圖書借出數(shù)的方差小于后4天圖書借出數(shù)的方差

7.（5分）在正四棱錐S-ABC。中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為遙的等腰三

角形，則正四棱錐S-ABCD的外接球的體積為（）

A.至三B.9πC.2LD.18π

22

8.（5分）如圖，在平面四邊形中，AB±BC,ADLCD,ZBAD=?20°，AB=AD

=1.若點E為邊CO上的動點，則箴?而的最小值為（）

A.2LB.旦C.3D.2

1624

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多個正確選項，全部選對得5

分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）甲乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床的正品率是0.8,

乙機床的正品率為0.9,分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則（）

A.兩件都是次品的概率為0.02

B.事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件

C.恰有一件正品的概率為0.26

D.事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件

（多選）10.（5分）已知復數(shù)Z滿足（2+Z）z=1+3/,則（）

A.∣z∣=√2

B.W在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限

C.Z4≈4

D.z滿足方程Z2-2Z+2=0

（多選）11.（5分）在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若/+￠2-/>0,則^ABC為銳角三角形

B.若A>8,則sinΛ>sin3

C.若b=3,a=4,B工，則此三角形有2解

6

D.若sin2A=sin2B,則4ABC為等腰三角形

（多選）12.（5分）已知正四棱柱A8CO-48ιCιOι的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,點M

為側(cè)棱CCl上的動點（包括端點），平面α.下列說法正確的有（）

A.異面直線AM與BiC可能垂直

B.直線BC與平面α可能垂直

C.AB與平面α所成角的正弦值的范圍為哼，喙］

D.若Mea且CM=Me1,則平面a截正四棱柱所得截面多邊形的周長為3我

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）己知向量Z=（3,-1）（b=（2,k）,且Z與E共線，則Z昆

14.（5分）在AABC中，AB=2√5>AC=√5>NBAC=90°,則繞BC所在直線旋

轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為.

15.（5分）如圖所示，摩天輪的直徑為IlOm最高點距離地面的高度為120〃?，摩天輪按

逆時針方向做勻速轉(zhuǎn)動，且每304〃轉(zhuǎn)一圈.若游客甲在最低點坐上摩天輪座艙，則在

開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度為m.

16.（5分）/XABCΦ,AB=I,AC=4,∕A=60°,Az）是8C邊上的中線，E,F分別為

線段AB,AC上的動點，EF交AD于點G.若△他尸面積為AABC面積的一半，則同'EF

的最小值為.

A-

G

BD

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動，某場比賽中，甲、乙、丙

三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是3,

4

甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是,,乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是」.若各

124

家庭回答是否正確互不影響.

（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；

（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.

18.（12分）如圖，已知等腰aABC中，AB=AC=3,BC=A,點P是邊BC上的動點.

（1）若點P是線段BC上靠近B的三等分點，試用向量正，正表示向量方；

⑵求下?（Q+m）的值?

19.（12分）如圖①，在正方體ABeE>-AIBICIOI中，E,F,G分別為48,BC,BBl的中

點.

（1）求證：平面EFG_L平面

（2）將該正方體截去八個與四面體B-EFG相同的四面體得到一個多面體（如圖②），

若該多面體的體積是儂，求該正方體的棱長.

3

20.（12分）某校高一舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取

了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為IOO）作為樣本（樣本容量為"）進行統(tǒng)計，

按照［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］的分組作出頻率分布直方圖,

已知得分在［50,60）,［90,100］的頻數(shù)分別為8,2.

（1）求樣本容量”和頻率分布直方圖中的X,y的值；

（2）估計本次競賽學生成績的中位數(shù)；

（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生,

求所抽取的2名學生中至少有一人得分在［90,100］內(nèi)的概率.

21.（12分）如圖，在平面四邊形A8CI＞中，AC=4,BCVCD.

（1）若AB=2,8C=3,CD=J元，求AACQ的面積；

（2）若NB=2,,NDq求（q~+）AD-BC的最大值?

22.（12分）已知一圓形紙片的圓心為。，直徑A8=2,圓周上有C、。兩點.如圖，OC

"LAB,NAOD=三，點P是俞上的動點?沿48將紙片折為直二面角，并連結(jié)PO,PD,

6

PC,CD.

（1）當AB〃平面PCz）時，求PQ的長；

（2）當三棱錐尸-Co。的體積最大時，求二面角O-PO-C的余弦值.

2022-2023學年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個正確選項.

I.（5分）若復數(shù)Z=J-4+（α-2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)4的值為（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

’2

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，得到方程組［a-4=0,求解即可.

,a-2≠0

f2

【解答】解：復數(shù)Z=J-4+（fl-2）i為純虛數(shù)，則］a-4=0,解得α=-2.

,a-2≠0

故選：C.

【點評】本題考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎題.

2.（5分）在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知必+02-“2=秘，若

sin2A+sin2B=sin2C,則角B的大小為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【分析】根據(jù)已知條件，出現(xiàn)較多邊的平方項，自然選擇余弦定理，第一個式子解出/A

的值，第二個式子運用正余弦定理可求出/C,即可求解/艮

【解答】解：’.?zΛt?c2-α2=6c,由余弦定理可得COSA=工，.?.A=60°.

2

又；$缶2/4+5吊28=5皿2（7,，由正弦定理可得：a2+ft2=c2.

ΛcosC=0,ΛC=90o,.?.B=30°.

故選：A.

【點評】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查運算求解能力，屬中檔題.

3.（5分）已知正三角形邊長為2,用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的

面積為（）

A.亞B.?C.2√2D.2√6

44

【分析】求出直觀圖三角形的面積，利用平面圖形的面積是直觀圖面積的2點倍，求出

直觀圖的面積即可.

【解答】解：解法1：???三角形在其直觀圖中對應一個邊長為2正三角形，

.?.直觀圖的面積是」X2X2Xsin60°=近,

2

由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關系：J直雙星=e_,

S原圖4

；.直觀圖的面積為巨X近X22=遮.

44z4

解法2：如圖4AbC是邊長為2的正三角形ABC的直觀圖，

則AE=2,為正三角形A8C的高C。的一半，

即CD'=LX如=直

22__

則高CE=CD,sin45°=Y∑X亞=近，

224_

三角形AAEC的面積為：JLX2X遮=遮.

244

故選:B.

【點評】本題考查平面圖形的三視圖，由三視圖還原實物圖，是一個簡單的計算題目，

解題的關鍵是對于這兩個對應的圖形的面積之比要掌握.兩個面積可以互相推出.

4.(5分)已知平面向量Z工滿足(3?-2b)1(δl+b).且之后高，若IaI=I-則后I

-()

A.9B.至C.√7D.√2

22

【分析】根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，方程思想，即可求解.

【解答】解：Y平面向量a，b滿足(3a-2b)(5a+b),

?15a2-7a,b-2b2=0?^?a,b=？y,且Ial=L

λ15-1-2∣b∣2=0>?,?2∣b∣2=14'λ∣b∣=√7?

故選：C.

【點評】本題考查向量數(shù)量積的運算，方程思想，屬基礎題.

5.（5分）下列命題正確的是（）

①平行于同一條直線的兩條直線平行；

②平行于同一條直線的兩個平面平行；

③平行于同一個平面的兩條直線平行；

④平行于同一個平面的兩個平面平行.

A.①②B.③④C.①④D.②③

【分析】由平行公理判斷①；由平行于同一直線的兩平面的位置關系判斷②；由平行于

同一平面的兩直線的位置關系判斷③；由面面平行的判定判斷④.

【解答】解：①由平行公理可得，平行于同一條直線的兩條直線平行，故①正確；

②平行于同一條直線的兩個平面平行或相交，故②錯誤；

③平行于同一個平面的兩條直線有三種位置關系，即平行、相交或異面，故③錯誤；

④由平面與平面平行的判定可得，平行于同一個平面的兩個平面平行，故④正確.

.?.正確的命題是①④.

故選：C.

【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定及應用，考查空間想

象能力與思維能力，是基礎題.

6.（5分）某圖書館統(tǒng)計了某個月前8天紙質(zhì)圖書的借閱情況，整理數(shù)據(jù)得到如圖折線圖.根

據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

OI234S678∣j期

A.這8天里，每天圖書借出數(shù)的極差大于50

B.這8天里，每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)大于105

C.這8天里，每天圖書借出數(shù)的中位數(shù)大于IOl

D.前4天圖書借出數(shù)的方差小于后4天圖書借出數(shù)的方差

【分析】利用折線圖求出極差、平均數(shù)、中位數(shù)判斷A、8、C；應用方差的求法分別求

出前4天、后4天圖書借出數(shù)方差判斷。.

【解答】解：人每天圖書借出數(shù)的極差為130-80=50,錯；

B：每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)86+108+80+130+103+97+101+121=413<錯；

841Ut）

C：由數(shù)據(jù)從小到大排序為80,86,97,101,103,108,121,130,則中位數(shù)為

101+103=102>101,對；

D：前4天平均數(shù)86+lO8+8O+13O=]0],則方差為工E（x.-IQi）?9-

44i=ι1

8

后4天平均數(shù)103+97+101+121=105.5,則方差為;￡（Xi-IO5.5）2=84.75，

44i=5?

所以前4天圖書借出數(shù)的方差大于后4天圖書借出數(shù)的方差，錯.

故選：C.

【點評】本題主要考查統(tǒng)計的知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.

7.（5分）在正四棱錐S-ABC。中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為VE的等腰三

角形，則正四棱錐S-ABCZ）的外接球的體積為（）

A.空LB.9πC.更LD.18π

22

【分析】設外接球的球心為O,半徑為R,底面中心為E,連接SE,BO,BE,在Rt△

ABC中，由爐=0￡2+8￡2求解

【解答】解：設外接球的球心為。，半徑為R,底面中心為E,連接SE,BO,BE,

因為在正四棱錐S-ABC。中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為&的等腰三角

形，

所以BE=√^,SE=√SB2-BE2=2'

在RtAABC中，R2=o修+B號,即R2=（2-R）2+（加）2,

解得R=所以外接球的體積為Vq兀區(qū)3卷兀.

故選：C.

S

【點評】本題考查了多面體的外接球問題，屬于中檔題.

8.（5分）如圖，在平面四邊形ABCf）中，ABlBC,ADkCD,ZBAD=120°,AB=AD

=1.若點E為邊CD上的動點，則贏?稀的最小值為（）

A.2LB.3C.3D.2

1624

【分析】建立平面直角坐標系，求出相關點坐標，求得證，質(zhì)的坐標，根據(jù)數(shù)量積的

坐標表示結(jié)合二次函數(shù)知識，即可求得答案.

【解答】解：由于A8?L8C,ADlCD,

如圖，以。為坐標原點，以De為X,y軸建立直角坐標系，

連接AC,由于AB=AO=I,W∣J?ΛDC^ΔABC,

而NBAO=I20°,故NCA。=NCAB=60°,則NBAX=60°,

則D(0,0),A(l,0),B(∣,除)，C(0,√3)?

設E(o,y).0<y<√3,則箴=(1,-y).EB=(-∣,喙-y),

故育而號+y2-率廣卬《產(chǎn)嚕,

當y=號■時，威?而有最小值得，

416

故選：A.

【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于中檔題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多個正確選項，全部選對得5

分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

(多選)9.(5分)甲乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床的正品率是0.8,

乙機床的正品率為0.9,分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則()

A.兩件都是次品的概率為0.02

B.事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件

C.恰有一件正品的概率為0.26

D.事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件

【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式判斷A：利用互斥事件定義判斷B；利用相互獨

立事件概率乘法公式判斷C；利用對立事件判斷D.

【解答】解：甲乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床的正品率是0.8,乙

機床的正品率為0.9,

分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，

對于A,若取出的兩件都是次品，其概率P=(1-0.8)X(1-0.9)=0.2X0.1=0.02,

故A正確；

對于B,事件“至多有一件正品”包含有兩件次品、一件正品和一件次品，

“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品，

：.B中兩個事件不是互斥事件，故B錯誤；

對于C,恰有一件正品，其概率P=0.8X(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.l8=0.26,

故C正確；

對于。，事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件，故O正確；

故選：ACD.

【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件、對立事件等基礎知識，考查

運算求解能力，是基礎題.

(多選)10.(5分)已知復數(shù)Z滿足(2+Z)z=l+3i,貝IJ()

A.∣z∣=&

B.Z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限

C.Z4=4

D.z滿足方程Z2-2Z+2=0

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算及其幾何意義，逐個選項判斷即可.

【解答】解：對于A：Z考M=l+i，∣z∣=√5,故A正確；

對于B：W=l-i在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，故B錯誤；

對于C：Z4=(l+z)4=[(i+i)2肝=⑵)2=_4,故C錯誤；

對于。：Z2-2Z+2=(l+z)2-2(1+/)+2=2/-2+2/+2=0,故。正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，以及幾何意義，屬于基礎題.

(多選)11.(5分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,則下列結(jié)論正確

的是()

A.若J+C2-ZJ2>0,則aABC為銳角三角形

B.若A>8,則SinA>sinB

C.若b=3,a=4,B??,則此三角形有2解

6

D.若sin2A=sin2B,則AABC為等腰三角形

【分析】運用余弦定理可判斷A項，運用大邊對大角及正弦定理可判斷B項，作圖可判

斷C項，解三角函數(shù)方程可判斷0項.

222

【解答】解：對于A項，因為d+c2-戶>0,所以COSB=a+c-b>°,

2ac

所以8為銳角，但aABC不一定是銳角三角形，故A項不成立；

對于8項，因為A>3≠*α>Z?,所以由正弦定理可知，sinA>sin3,故5項正確；

對于。項，如圖所示，

因為as?nB<b<a,

所以此三角形有2解，故。項正確;

對于。項，因為sin2A=sin2B,O<A<π,0<B<π,

所以2A=2B或2A+2B=τr,即：A=B或A+B=衛(wèi)，

所以AABC為等腰三角形或直角三角形，故。項不成立.

故選：BC.

【點評】本題主要考查三角形形狀的判斷，正余弦定理的應用，考查邏輯推理能力，屬

于中檔題.

（多選）12.（5分）已知正四棱柱ABC。-AIBICIDI的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,點M

為側(cè)棱CCl上的動點（包括端點），AML平面α.下列說法正確的有（）

A.異面直線AM與BlC可能垂直

B.直線BC與平面a可能垂直

C.AB與平面a所成角的正弦值的范圍為哼，喙］

D.若Mea且CM=MC則平面a截正四棱柱所得截面多邊形的周長為3&

【分析】根據(jù)空間直線和平面垂直的位置關系以及線面角的定義分別進行求解證明即可.

【解答】解：在平面BCCIBl內(nèi)作BMj_CBi,交CCl于點例

在正四棱柱ABCO-4B∣CιDi中，

因為AB，平面BCCIBI,BlCUC平面BCCM

所以ABLBiC,

又BMU平面ABM,ABc5PjSlABM,BMCAB=B,

所以BiCj_平面AB又AMU平面ABM,

所以BIC_LA故A說法正確；

B.AM,BC不可能平行，故BC與a不可能垂直，故B說法錯誤;

C.如圖:

連接AC,AC∣,等同于AB與AM所成角。的余弦值的范圍，

在直角三角形ABM中，cosθ=cosZΛ∕AB=-=-l-∈[2??2-,工2],

AMAM62

當點M由C點向CI移動時，AM逐漸增大，

在直角三角形ABC中，ACrAB2+BC2=']2+]2=&,

在直角三角形中，2222

4CGAC1=y∣ACCC1=√(√2)+2=√θ)

Λ√2≤^≤V6>

則J-H運?

AM62

則cos。日遮，近],故C錯誤，

62

D.如圖：

由題意知AfO為CCI的中點，連接8M,DM,AM,MBι,MD?,D?B?,

在直角三角形BCM中，BM=QBC2KM=YF+]2=M,

同理BlM=√5,由題意知281=2,所以8M2+8IM2=BB3

所以BM

在正四棱柱4BCf>-48ICl。中，因為AB_L平面8CCι8∣,BIMU平面BCCiBi,

所以A8_L81M,

又BMu平面48M,ABU平面ABM,BMHAB=B,

所以BiM_L平面A8M,

又AMU平面ABM,

所以B?M±AM,

同理。M_LAM,

又BlMU平面MZ)IBi,￡>iMU平面MDlBi,BiMHDiM=M,

所以AMI.平面MDlB1，

所以平面MDlBl即平面α,

三角形MDlBl即平面α截正四棱柱所得截面的多邊形，

其周長為BiM+￡>iM+B|￡>i=&偵偵=3亞，故。正確，

故選：AD.

【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間位置關系的判斷，空間角的計算，綜

合性較強，運算量較大，是個難題.

Ξ>填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)己知向量Z=(3,-1)，b=(2,k)，且Z與E共線，則ZE=_型_.

【分析】利用向量共線，求解從然后求解向量的數(shù)量積即可.

【解答】解：向量Z=(3,-1)，b=(2,k)，且之與E共線，

可得3%=-2,所以Z=-2,

3

則：二=3X2+(-1)X(-2)=毀.

aD33

故答案為：20.

3

【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎題.

14.(5分)在AABC中，AB=2√5,AC=√5>∕B4C=90°,則aABC繞BC所在直線旋

轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為_6y[ζfττ_.

【分析】由題意知該幾何體是兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，計算底面圓的半徑，

再求它的表面積.

【解答】解：如圖所示，

△ABC中，AB=2√5-AC=√5>NBAC=90°,

則4A8C繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,

其中若母線長為48=2遙，AC=√5,

又BC=d(N^)2+(m)2=5,OC=^-=∣=L

DC0

所以底面圓的半徑為R=dAC2-OC2=5/5-1=2；

該組合體的表面積為S=nR(AB+AC)=π×2X(2√5+√5>=6√5π.

故答案為：6√5π.

【點評】本題考查了圓錐體的表面積計算問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

15.(5分)如圖所示，摩天輪的直徑為IlOzn,最高點距離地面的高度為120m,摩天輪按

逆時針方向做勻速轉(zhuǎn)動，且每30就〃轉(zhuǎn)一圈.若游客甲在最低點坐上摩天輪座艙，則在

開始轉(zhuǎn)動5∞?〃后距離地面的高度為37.5m.

【分析】由題意可知，距離地面的高度h與時間f所滿足的關系式為A=Asin(ωr+φ)+k,

然后根據(jù)條件求出解析式可得答案.

【解答】解：由題意可知，距離地面的高度/i與時間f所滿足的關系式為〃=ASin(3∕+φ)

+k,

因為摩天輪的直徑為110∕n,最高點距離地面的高度為120〃?,

所以［A+k=120,解得A=55,k=65,

l-A+k=10

因為每30〃〃7?轉(zhuǎn)一圈，所以=30，ω??,

當f=0時，∕z=10,所以sinφ=-l,所以可取￠=-

所以h=55sin(-ττ-t~~~)+65,

IbN

TΓ

所以當f=5時，h=55sin(=)+65=37.5?

6

故答案為：37.5.

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.(5分)?ΛSCΦ,AB=I,AC=4,∕A=60°,4。是8C邊上的中線，E,P分別為

線段AB,AC上的動點，EF交AD于點G.若AAEF面積為aABC面積的一半，則記?EF

的最小值為2.

【分析】利用平面向量的共線定理結(jié)合基底表示數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可.

,AG=λAD

【解答】解：設，標=而，由向量共線的充要條件不妨設M=X菽4y∕(χ+y=ι),

AF=nAC

則AG=xAE+yAF=λAD(AB+AC)=XinAB+ynAC=Xm=Yn=卷，

spA√L=1,

2m2n

-∣?×sin60°*AE?AF

又△河尸面積為△7!BC面積的一半可得：-y-----------------------=y=>Inn嚓

∣×sin60°-AB-AC22

n

所以JL+πιλ=l=λ-?.

2m2m2+1

AG?EF=?-(AB+AC)(nAC-mAB)=9λn-?51=^-+-?一，

2224I√+2

2

易知：nC(0，l]∕.m∈[?.1]≠4m+2∈[3,6]

當機=1時，即E,B重合時取得最小值∕??4λ=2?

26

故答案為：2.

【點評】本題考查向量的線性運算，向量數(shù)量枳的最值的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思

想，屬中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動，某場比賽中，甲、乙、丙

三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是反，

4

甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是工，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是』.若各

124

家庭回答是否正確互不影響.

（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率：

（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.

【分析】（1）設事件A表示“甲家庭回答正確這道題”，事件B表示“乙家庭回答正確這

道題”，事件C表示“丙家庭回答正確這道題”，利用相互獨立事件概率乘法公式列出方

程組，能求出結(jié)果.

（2）利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答

正確這道題的概率.

【解答】解：（1）設事件A表示“甲家庭回答正確這道題”，事件B表示“乙家庭回答正

確這道題”，

事件C表示“丙家庭回答正確這道題”,

P(A)A

由題意得：，El-P(A)][1-P(C)]=-j^?,

P(B)P(C)=∣

解得乙家庭回答正確這道題的概率尸（B）=旦,

8

丙家庭回答正確這道題的概率P（O=2.

3

（2）甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率為:

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABe)+p(ABe)

=3乂3乂2+1y.3y2+3乂5乂2+3乂3乂1

4×^8×34×7×34×7XI4×7×I

32-

【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式列等基礎知識，考查運

算求解能力，是基礎題.

18.（12分）如圖，已知等腰AABC中，48=AC=3,BC=4,點尸是邊BC上的動點.

（1）若點尸是線段BC上靠近3的三等分點，試用向量藤，菽表示向量Q：

⑵求瓦?（而+正）的值?

【分析】（1）由平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量基本定理求解即可；

（2）由平面向量數(shù)量積的運算求解即可.

【解答】解：（1）已知等腰aABC中，A8=4C=3,8C=4,點尸是邊BC上的動點，

又點P是線段BC上靠近B的三等分點，

則AP=AB+BP=AB÷j-BC=AB育（AC-AB）=-∣AB亭?

（2）取BC的中點。，連接A。，

則ADLBC,

則Q?（AB+AC）~2AP?AD-2IADIIAPIeOSNPAD=2∣??12~2×-呂加）

=2X（9-4）=10.

【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬基礎

題.

19.（12分）如圖①，在正方體ABCf>-48ιCιO中，E,F,G分別為AB,BC,8助的中

點.

（1）求證：平面EFG_L平面BBlQl￡>；

（2）將該正方體截去八個與四面體B-EFG相同的四面體得到一個多面體（如圖②），

若該多面體的體積是儂，求該正方體的棱長.

3

【分析】（1）由已知得BB1_L平面ABCD,W∣JBBjEF,再由已知可得EF//AC,得到

EFA.BD,由直線與平面垂直的判定可得EFL平面BBiDD從而得到平面EFGL平面

BB?D?D;

（2）設正方體的棱長為小結(jié)合（1）求得四面體8-EFG的體積，得到多面體的體積,

由此列關于“的方程求解.

【解答】（1）證明：在正方體A8CZ）-4BIejz）I中，BBilWABCD,

又?.?EFu平面ABCD,.".BBiLEF,

連接AC,在AABC中，E,F分別是A8,8C的中點，J.EF//AC,

在正方形48Cf）中，'CACΛ-BD,,,.EF1.BD,

又,；BBiCBD=B,3。U平面BBIz）IO,BBiu平面82ιf>ιO,

二￡7」平面

而EFU平面EFG,；.平面E尸Gl?平面BBlDlD；

（2）解：設正方體的棱長為α,由（1）知，四面體B-E尸G的體積為：

?e?.RG=A×JLBE?BF?BG=?1,

3'ABEFg3248

3

所得多面體的體積為23-8×≡-=lθθ,解得a=4.

aδ483

即該正方體的棱長為4.

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了多面

體體積的求法，是中檔題.

20.（12分）某校高一舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取

了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為IOO）作為樣本（樣本容量為〃）進行統(tǒng)計,

按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,①0]的分組作出頻率分布直方圖,

已知得分在[50,60）,[90,100]的頻數(shù)分別為8,2.

（1）求樣本容量"和頻率分布直方圖中的x,y的值；

（2）估計本次競賽學生成績的中位數(shù)；

（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生,

求所抽取的2名學生中至少有一人得分在［90,100］內(nèi)的概率.

頻率

0.016

0.010

506070SO90100成績（分）

【分析】（1）由題意先求出樣本容量，由此能求出”和頻率分布直方圖中的X,y的值.

（2）設本次競賽學生成績的中位數(shù)為〃?，由頻率分布直方圖列出方程，能求出本次競賽

學生成績的中位數(shù).

（3）由題意可知，分數(shù)在［80,90）內(nèi)的學生有5人，分數(shù)在［90,100］內(nèi)的學生有2人,

由此利用列舉法能求出所抽取的2名學生中至少有一人得分在［90,100］內(nèi)的概率.

【解答】（本小題滿分12分）

解：（1）由題意可知，樣本容量〃=■——≡——?=50,…（2分）

O.016×10

2

y=----------=Q∩∩4,

y50×10

x=0.I00-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.…（4分）

（2）設本次競賽學生成績的中位數(shù)為相，

則［0.016+0.03］X10+Cm-70）×0.040=0.5,

解得m=71,

.?.本次競賽學生成績的中位數(shù)為71.…（8分）

（3）由題意可知，分數(shù)在［80,90）內(nèi)的學生有5人，

記這5人分別為m，42，"3，"4，?5>

分數(shù)在［90,100］內(nèi)的學生有2人，記這2人分別為加，?2.

抽取的2名學生的所有情況有21種，分別為：

（?1,42），（。1，。3），（。1，。4），（。1，。5），（〃1，b?）,（ɑ∣>歷），（。2，43），

（42,?4），（42,。5），（。2,bl）,（。2，歷），（43，。4）,（。3,。5）,（。3,bl）,

（Q3，62），（。4，。5），（gb?）,（04,82），（。5,〃1），（。5，62），（人1，歷）.

（10分）

其中2名同學的分數(shù)都不在［90,100］內(nèi)的情況有10種,分別為:

。2），（。1，。3），（〃1，。4），（〃1，〃5），（。2，。3），

（。2，。4），（。2，。5），（〃3，〃4），（〃3，。5），（如