江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)2023年數學九年級第一學期期末考試試題含解析

江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)2023年數學九年級第一學期期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．解方程最適當的方法是（）A．直接開平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法2．函數在同一直角坐標系內的圖象大致是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，位似比為：，將縮小，若點坐標，，則點對應點坐標為（）A．， B． C．或， D．，或，4．下列各數：-2，，，，，，0.3010010001…，其中無理數的個數是（）個．A．4 B．3 C．2 D．15．如圖，⊙O的弦CD與直徑AB交于點P，PB＝1cm，AP＝5cm，∠APC＝30°，則弦CD的長為（）A．4cm B．5cm C．cm D．cm6．由于受豬瘟的影響，今年9月份豬肉的價格兩次大幅上漲，瘦肉價格由原來每千克元，連續(xù)兩次上漲后，售價上升到每千克元，則下列方程中正確的是（）A． B．C． D．7．一個菱形的邊長為，面積為，則該菱形的兩條對角線的長度之和為()A． B． C． D．8．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，則sinA的值為（）．A． B．C． D．9．要使根式有意義，x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠1 C． D．10．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數y＝ax+c在同一坐標系中的圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在半徑為5的中，弦，，垂足為點，則的長為__________．12．如圖，一塊含30°的直角三角板ABC（∠BAC＝30°）的斜邊AB與量角器的直徑重合，與點D對應的刻度讀數是54°，則∠BCD的度數為_____度．13．一只小狗自由自在地在如圖所示的某個正方形場地跑動，然后隨意停在圖中陰影部分的概率是__．14．不透明袋子中有2個紅球和4個藍球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出1個球是紅球的概率是______________.15．如圖，P（m，m）是反比例函數在第一象限內的圖象上一點，以P為頂點作等邊△PAB，使AB落在x軸上，則△POB的面積為_____．16．計算：＝______．17．在中，，，，則____________18．設m,n分別為一元二次方程x2+2x-2020=0的兩個實數根,則m2+3m+n=______.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿線段AB方向勻速運動，到達點B停止．連接DP交AC于點E，以DP為直徑作⊙O交AC于點F，連接DF、PF．（1）求證：△DPF為等腰直角三角形；（2）若點P的運動時間t秒．①當t為何值時，點E恰好為AC的一個三等分點；②將△EFP沿PF翻折，得到△QFP，當點Q恰好落在BC上時，求t的值．20．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點E，DB與CE相交于點O，（1）求證：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．21．（6分）為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區(qū)，經考察，勁松公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇．（1）勁松公司2015年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，經過連續(xù)兩年降價，2017年每套售價為1.6萬元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2017年市政府經過招標，決定年內采購并安裝勁松公司A，B兩種型號的健身器材共80套，采購專項經費總計不超過112萬元，采購合同規(guī)定：每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套B型健身器材售價為1.5（1﹣n）萬元．①A型健身器材最多可購買多少套？②安裝完成后，若每套A型和B型健身器材一年的養(yǎng)護費分別是購買價的5%和15%，市政府計劃支出10萬元進行養(yǎng)護，問該計劃支出能否滿足一年的養(yǎng)護需要？22．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，過點作軸于點，，，點的坐標為．（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）求的面積；（3）是軸上一點，且是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點坐標．23．（8分）小明開著汽車在平坦的公路上行駛，前放出現兩座建筑物A、B（如圖），在（1）處小穎能看到B建筑物的一部分，（如圖），此時，小明的視角為30°，已知A建筑物高25米．（1）請問汽車行駛到什么位置時，小明剛好看不到建筑物B？請在圖中標出這點．（2）若小明剛好看不到B建筑物時，他的視線與公路的夾角為45°，請問他向前行駛了多少米？（精確到0.1）24．（8分）如圖，C是直徑AB延長線上的一點，CD為⊙O的切線，若∠C＝20°，求∠A的度數．25．（10分）在“慈善一日捐”活動中，為了解某校學生的捐款情況，抽樣調查了該校部分學生的捐款數（單位：元），并繪制成下面的統(tǒng)計圖．（1）本次調查的樣本容量是________，這組數據的眾數為________元；（2）求這組數據的平均數；（3）該校共有學生參與捐款，請你估計該校學生的捐款總數．26．（10分）為加快城鄉(xiāng)對接，建設美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建，如圖，A，B兩地之間有一座山．汽車原來從A地到B地需途經C地沿折線ACB行駛，現開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．(1)開通隧道前，汽車從A地到B地要走多少千米？(2)開通隧道后，汽車從A地到B地可以少走多少千米？(結果保留根號)

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據解一元二次方程的方法進行判斷．【詳解】解：先移項得到，然后利用因式分解法解方程．故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．2、C【分析】根據a、b的符號，針對二次函數、一次函數的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除．【詳解】當a＞0時，二次函數的圖象開口向上，一次函數的圖象經過一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正確；由B、C中二次函數的圖象可知，對稱軸x=-＞0，且a＞0，則b＜0，但B中，一次函數a＞0，b＞0，排除B．故選C．3、C【分析】若位似比是k，則原圖形上的點，經過位似變化得到的對應點的坐標是或．【詳解】∵以原點O為位似中心，位似比為1:2，將縮小，∴點對應點的坐標為：或．

故選：C．【點睛】本題考查了位似圖形與坐標的關系．此題比較簡單，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標比等于．4、B【分析】無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比.若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環(huán)，也就是說它是無限不循環(huán)小數.常見的無理數有大部分的平方根、π等.【詳解】根據無理數的定義，下列各數：-2，，，，，，0.3010010001…，其中無理數是：，，0.3010010001…故選：B【點睛】考核知識點：無理數.理解無理數的定義是關鍵.5、D【分析】作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，先計算出OB＝3，OP＝2，再在Rt△OPH中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OH＝1，則可根據勾股定理計算出CH，然后根據垂徑定理得到CH＝DH，從而得到CD的長．【詳解】解：作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，∵PB＝1，AP＝5，∴OB＝3，OP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OCH中，CH＝，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝，∴CD＝2CH＝．故選：D．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質、勾股定理以及垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?、A【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），先表示出第一次提價后商品的售價，再根據題意表示第二次提價后的售價，然后根據已知條件得到關于a%的方程．【詳解】解：當豬肉第一次提價時，其售價為；當豬肉第二次提價后，其售價為故選：.【點睛】本題考查了求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b．7、C【分析】如圖，根據菱形的性質可得，，，再根據菱形的面積為，可得①，由邊長結合勾股定理可得②，由①②兩式利用完全平方公式的變形可求得，進行求得，即可求得答案.【詳解】如圖所示：四邊形是菱形，，，，面積為，①菱形的邊長為，②，由①②兩式可得：，，，即該菱形的兩條對角線的長度之和為，故選C．【點睛】本題考查了菱形的性質，菱形的面積，勾股定理等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.8、C【分析】根據勾股定理求出AB，并根據正弦公式：sinA=求解即可.【詳解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴∴故選C.【點睛】本題主要是正弦函數與勾股定理的簡單應用，正確理解正弦求值公式即可.9、D【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于或等于0，可知當x-1≥0時，二次根式有意義．【詳解】要使有意義，只需x-1≥0，解得x≥1．故選D．【點睛】本題考查二次根式定義中被開方數的取值范圍．二次根式定義中要求被開方數是非負數，經常出現的問題是有的同學誤認為是被開方數中的x是非負數，如中x的取值范圍寫為x≥0，因此學習二次根式時需特別注意．10、D【分析】先根據一次函數的圖象判斷a、c的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：A、由一次函數y=ax+c的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向上，錯誤；

B、由一次函數y=ax+c的圖象可得：a＞0，c＞0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向上，交于y軸的正半軸，錯誤；

C、由一次函數y=ax+c的圖象可得：a＜0，c＞0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向下，錯誤．

D、由一次函數y=ax+c的圖象可得：a＜0，c＞0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向下，與一次函數的圖象交于同一點，正確；

故選：D．【點睛】本題考查二次函數的圖象，一次函數的圖象，解題的關鍵是熟記一次函數y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．二、填空題(每小題3分,共24分)11、4【分析】連接OA，根據垂徑定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．【詳解】連接OA，∵AB⊥OP，∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，∴OP＝＝＝4，故答案為：4.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關鍵．12、1．【分析】先利用圓周角定理的推論判斷點C、D在同一個圓上，再根據圓周角定理得到∠ACD=27°，然后利用互余計算∠BCD的度數.【詳解】解：∵∠C＝90°，∴點C在量角器所在的圓上∵點D對應的刻度讀數是54°，即∠AOD＝54°，∴∠ACD＝∠AOD＝27°，∴∠BCD＝90°﹣27°＝1°．故答案為1．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.13、.【分析】根據概率公式求概率即可.【詳解】圖上共有16個方格，黑色方格為7個，小狗最終停在黑色方格上的概率是．故答案為：．【點睛】此題考查的是求概率問題，掌握概率公式是解決此題的關鍵.14、【分析】直接利用概率公式求解．【詳解】解：從袋子中隨機取出1個球是紅球的概率，故答案為：【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數．15、．【解析】如圖，過點P作PH⊥OB于點H，∵點P（m，m）是反比例函數y=在第一象限內的圖象上的一個點，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△PAB是等邊三角形，∴∠PAH=60°.∴根據銳角三角函數，得AH=.∴OB=3+∴S△POB=OB?PH=.16、-1．【分析】由題意根據負整數指數冪和零指數冪的定義求解即可．【詳解】解：＝1﹣2＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查負整數指數冪和零指數冪的定義，熟練掌握實數的運算法則以及負整數指數冪和零指數冪的運算方法是解題的關鍵．17、【分析】根據題意利用三角函數的定義可以求得AC，再利用勾股定理可求得AB．【詳解】解：由題意作圖如下：∵∠C=90°，，，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數的定義及勾股定理，熟練掌握三角函數的定義以及勾股定理是解題的關鍵.18、2018.【解析】根據題意得.m2+3m+n=2020+m+n，再根據m，n分別為一元二次方程x2+2x-2020=0的兩個實數根，得m+n=-2，帶入m2+3m+n計算即可.【詳解】解：∵m為一元二次方程x2+2x-2020=0的實數根，∴m2+2m-2020=0，即m2=-2m+2020，∴m2+3m+n=-2m+2020+3m+n=2020+m+n，∵m，n分別為一元二次方程x2+2x-2020=0的兩個實數根，∴m+n=-2，∴m2+3m+n=2020-2=2018.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟練的掌握一元二次方程的應用.三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（2）①1；②﹣1．【分析】（1）要證明三角形△DPF為等腰直角三角形，只要證明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根據直徑所對的圓周角是90°和同弧所對的圓周角相等，可以證明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，從而可以證明結論成立；（2）①根據題意，可知分兩種情況，然后利用分類討論的方法，分別計算出相應的t的值即可，注意點P從A出發(fā)到B停止，t≤4÷2＝2；②根據題意，畫出相應的圖形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠DAC＝45°，∵在⊙O中，所對的圓周角是∠DAF和∠DPF，∴∠DAF＝∠DPF，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直徑，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①當AE：EC＝1：2時，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴，∴，解得，t＝1；當AE：EC＝2：1時，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴，∴，解得，t＝4，∵點P從點A到B，t的最大值是4÷2＝2，∴當t＝4時不合題意，舍去；由上可得，當t為1時，點E恰好為AC的一個三等分點；②如右圖所示，∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，∴∠OPF＝90°，∴∠DPA+∠QPB＝90°，∵∠DPA+∠PDA＝90°，∴∠PDA＝∠QPB，∵點Q落在BC上，∴∠DAP＝∠B＝90°，∴△DAP∽△PBQ，∴，∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，設PQ＝a，則PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，∵△AEP∽△CED，∴，即，解得，a＝，∴PQ＝，∴，解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，即t的值是﹣1．【點睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關鍵是熟知正方形的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質.20、（1）證明見解析（1）【解析】試題分析：（1）欲證明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠1=∠3得到：BC=BE；（1）通過相似三角形△COD∽△EOB的對應邊成比例得到，然后利用分式的性質可以求得.解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠1=∠1．∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠3，∴BC=BE，∴△EBC是等腰三角形；（1）∵∠1=∠1，∠4=∠5，∴△COD∽△EOB，∴=．∵平行四邊形ABCD，∴CD=AB=2．∵BE=BC=5，∴==，∴=．點睛：本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用三角形相似的性質時主要利用相似比計算相應線段的長．21、（1）20%；（2）①10；②不能．【解析】試題分析：（1）該每套A型健身器材年平均下降率n，則第一次降價后的單價是原價的（1﹣x），第二次降價后的單價是原價的（1﹣x）2，根據題意列方程解答即可．（2）①設A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，根據采購專項經費總計不超過112萬元列出不等式并解答；②設總的養(yǎng)護費用是y元，則根據題意列出函數y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）=﹣0.1m+11.1．結合函數圖象的性質進行解答即可．試題解析：（1）依題意得：2.5（1﹣n）2=1.6，則（1﹣n）2=0.61，所以1﹣n=±0.8，所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合題意，舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率n為20%；（2）①設A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，依題意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，整理，得1.6m+96﹣1.2m≤1.2，解得m≤10，即A型健身器材最多可購買10套；②設總的養(yǎng)護費用是y元，則y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m），∴y=﹣0.1m+11.1．∵﹣0.1＜0，∴y隨m的增大而減小，∴m=10時，y最?。適=10時，y最小值=﹣01×10+11.1=10.1（萬元）．又∵10萬元＜10.1萬元，∴該計劃支出不能滿足養(yǎng)護的需要．考點：1.一次函數的應用；2.一元一次不等式的應用；3.一元二次方程的應用．22、（1），；（2）9；（3）點坐標為（0，5）或（0，-5）或（0，8）或【分析】（1）先根據勾股定理求出OD=3，AD=4，得出點A（3，4），進而求出反比例函數解析式，再求出點B坐標，最后用待定系數法求出直線AB解析式；（2）求出直線AB與y軸的交點坐標，再根據解答即可；（3）設出點P坐標，進而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的兩邊相等建立方程求解即可得出結論．【詳解】（1）∵，∴設，則，，∴，∴，，∴點的坐標為（3，4），∵過點，∴，∴，當時，，∴點坐標為（-6，-2），∵直線過，∴解得∴直線解析式為．（2）如圖，記直線與軸交于點，對于，當時，，∴點坐標為（0，2），∴．（3）設點P（0，m），∵A（3，4），O（0，0），∴OA=5，OP=|m|，AP=，∵△AOP是等腰三角形，∴①當OA=OP時，∴|m|=5，∴m=±5，∴P（0，5）或（0，-5），②當OA=AP時，∴5=，∴m=0（舍）或m=8，∴P（0，8），③OP=AP時，∴|m|=，∴m=，∴P（0，），即：當P點坐標為（0，8），（0，5），（0，-5）或（0，）時，△AOP是等腰三角形．【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了勾股定理，待定系數法，等腰三角形的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．23、（1）汽車行駛到E點位置時，小明剛好看不到建筑物B；（2）他向前行駛了18.3米．【解析】1）連接FC并延長到BA上一點E，即為所求答案；

（2）利用解Rt△AEC求AE，解Rt△ACM，求AM，利用ME=AM-AE求出他行駛的距離．【詳解】解：（1）如圖所示：汽車行駛到E點位置時，小明剛好看不到建筑物B；（2）∵小明的視角為30°，A建筑物高25米，∴AC＝25，tan30°＝ACAM＝3∴AM＝253，∵∠AEC＝45°，∴AE＝AC＝25m，∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3m．則他向前行駛了18.3米．【點睛】本題考查解直角三角形的基本方法，先分別在兩個直角三角形中求相關的線段，再求差是解題關鍵．