第14講 獨(dú)立性檢驗(yàn)（五大題型）（解析版）

第14講獨(dú)立性檢驗(yàn)【題型歸納目錄】【知識點(diǎn)梳理】1、分類變量這里所說的變量和值不一定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量，分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．2、2×2列聯(lián)表在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存，我們將這類數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表，2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為合計(jì)abcd合計(jì)3、等高堆積條形圖等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果．4、臨界值統(tǒng)計(jì)量也可以用來作相關(guān)性的度量．越小說明變量之間越獨(dú)立，越大說明變量之間越相關(guān)．忽略的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)，使得成立．我們稱為的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)．5、獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．這種利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)（testofindependence）．下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值0．10．050．010．0050．0012．7063．8416．6357．87910．8286、應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的大致步驟（1）提出零假設(shè)：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較；（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；（4）在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．【典型例題】題型一：用2×2列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系【例1】某機(jī)構(gòu)為研究中老年人堅(jiān)持鍛煉與息糖尿病、高血壓、冠心病、關(guān)節(jié)炎四種慢性疾病之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查部分中老年人，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表1至表4，則這四種慢性疾病可以通過堅(jiān)持鍛煉來預(yù)防的可能性最大的是．（

）表1患糖尿病未患糖尿病堅(jiān)持鍛煉614不堅(jiān)持鍛煉725表2患高血壓未患高血壓堅(jiān)持鍛煉218不堅(jiān)持鍛煉1121表3患冠心病未患冠心病堅(jiān)持鍛煉416不堅(jiān)持鍛煉923表4患關(guān)節(jié)炎未患關(guān)節(jié)炎堅(jiān)持鍛煉713不堅(jiān)持鍛煉626A．糖尿病 B．高血壓 C．冠心病 D．關(guān)節(jié)炎【答案】B

【解析】由表1得：，由表2得：，由表3得：，由表4得：，所以這四種慢性疾病可以通過堅(jiān)持鍛煉來預(yù)防的可能性最大的是高血壓．故選：【變式1-1】假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y的列聯(lián)表如下：總計(jì)a10c30總計(jì)6040100對于同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A

【解析】由題意可知，，所以越大，X與Y有關(guān)系的可能性越大，A、，B、，C、，D、，所以選項(xiàng)A中最大，即A中X與Y有關(guān)系的可能性最大．故選：【變式1-2】某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這四個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到如下4個(gè)列聯(lián)表，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是．（

）A．成績性別成績合計(jì)及格不及格男14620女221032合計(jì)361652B．視力性別視力合計(jì)好差男41620女122032合計(jì)163652C．智商性別智商合計(jì)偏高正常男81220女82432合計(jì)163652D．閱讀量性別閱讀量合計(jì)豐富不豐富男14620女23032合計(jì)163652【答案】D

【解析】表1：；表2：；表3：；表4：，閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大．故答案為題型二：用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系【例2】觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，四個(gè)選項(xiàng)中，即等高的條形圖中，所占比例相差越大，則分類變量x，y關(guān)系越強(qiáng)，故選【變式2-1】某調(diào)查機(jī)構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟(jì)南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中歲以上含35歲的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（

）A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上C．35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多D．35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高【答案】C

【解析】由等高條形圖可得：對于選項(xiàng)A：由左圖知，樣本中男性數(shù)量多于女性數(shù)量，所以男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；對于選項(xiàng)B：由右圖知女性中35歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是35歲以上，從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上，故B正確；對于選項(xiàng)C：由左圖知男性人數(shù)大于女性人數(shù)，由右圖知35歲以下的男性占男性人數(shù)比35歲以上的女性占女性人數(shù)的比例少，所以無法判斷35歲以下的男性人數(shù)與35歲以上的女性人數(shù)的多少，故C不一定正確；對于選項(xiàng)D：由右圖知樣本中35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確．故選：【變式2-2】為考察某種藥物對預(yù)防禽流感的效果，在四個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室取相同的個(gè)體進(jìn)行動物試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)實(shí)驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)該藥物對預(yù)防禽流感有效果的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖知，圖形D中不服藥與服藥時(shí)患禽流感的差異最大，它最能體現(xiàn)該藥物對預(yù)防禽流感有效果．故選：題型三：有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”【例3】為大力提倡“厲行節(jié)約，反對浪費(fèi)”，某大學(xué)通過隨機(jī)詢問100名學(xué)生能否做到“光盤”行動，得到如下列聯(lián)表：單位：人性別“光盤”行動做不到能做到女469男3114經(jīng)計(jì)算：附：參考附表，得到的正確結(jié)論是（

）A．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“該校學(xué)生能否做到‘光盤’行動與性別有關(guān)”B．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“該校學(xué)生能否做到‘光盤’行動與性別有關(guān)”C．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“該校學(xué)生能否做到‘光盤’行動與性別有關(guān)”D．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“該校學(xué)生能否做到‘光盤’行動與性別無關(guān)”【答案】C

【解析】由題意得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“該校學(xué)生能否做到‘光盤’行動與性別有關(guān)”．故選：【變式3-1】某機(jī)構(gòu)為研究學(xué)生玩電腦游戲和對待作業(yè)量態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計(jì)喜歡玩電腦游戲251540不喜歡玩電腦游戲253560合計(jì)5050100參考公式：，其中k得到的正確結(jié)論是

．（

）A．有的把握認(rèn)為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業(yè)量的態(tài)度有關(guān)B．有的把握認(rèn)為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業(yè)量的態(tài)度無關(guān)C．有的把握認(rèn)為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業(yè)量的態(tài)度有關(guān)D．有的把握認(rèn)為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業(yè)量的態(tài)度無關(guān)【答案】A

【解析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可得：，

因?yàn)?，?/p>

故有的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與對待作業(yè)量的態(tài)度有關(guān)．故選：【變式3-2】為了解某地區(qū)居民體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)與性別之間的關(guān)系，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位居民，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到列聯(lián)表如下，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)男30170女20280參考公式及數(shù)據(jù)：，其中kA．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，可以認(rèn)為該地區(qū)居民體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)與性別無關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，可以認(rèn)為該地區(qū)居民體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)與性別無關(guān)C．有的把握認(rèn)為該地區(qū)居民體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)D．有的把握認(rèn)為該地區(qū)居民體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)【答案】C

【解析】因?yàn)椋杂械陌盐照J(rèn)為該地區(qū)居民體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)．故選：題型四：有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”【例4】（2024·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備和改造后的新設(shè)備，為了檢驗(yàn)用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系，該工廠進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查，結(jié)果如下表所示：雜質(zhì)高雜質(zhì)低舊設(shè)備37121新設(shè)備22202試根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造有無關(guān)系．【解析】由已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：雜質(zhì)高雜質(zhì)低合計(jì)舊設(shè)備37121158新設(shè)備22202224合計(jì)59323382則，所以有的把握認(rèn)為含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造有關(guān)．【變式4-1】氣管炎是一種常見的呼吸道疾病．醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進(jìn)行了對比，所得數(shù)據(jù)如表所示．問：它們的療效有無差異?有效無效合計(jì)復(fù)方江剪刀草18461245膽黃片919100合計(jì)27570345【解析】解

：提出假設(shè)

兩種中草藥的治療效果沒有差異，即病人使用這兩種藥物中何種藥物對療效沒有明顯差異．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得

因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，，這里的

，所以我們有的把握認(rèn)為，兩種藥物的療效有差異．本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)獨(dú)立性試驗(yàn)相關(guān)知識求出

即可判斷．題型五：獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【例5】2022年11月21日第22屆世界杯在卡塔爾開幕，是歷史上首次在中東國家舉辦，也是第二次在亞洲國家舉辦的世界杯足球賽．某?！白闱蛏鐖F(tuán)”調(diào)查學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，若被抽查的男生與女生人數(shù)之比為，男生中喜歡足球的人數(shù)占男生的，女生中喜歡足球的人數(shù)占女生的經(jīng)計(jì)算，有的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)，但沒有的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)．請完成下面的列聯(lián)表，并求出k的值；喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生女生合計(jì)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從全校男學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記其中喜歡足球的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中【解析】由已知，完成列聯(lián)表，喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生15k10k25k女生5k10k15k合計(jì)20k20k40k將數(shù)值代入公式可得的觀測值：，根據(jù)條件，可得，解得，因?yàn)?，所以由知，樣本的男生中喜歡足球的頻率為，用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，喜歡足球的概率為，則，，，，，則X的分布列為X0123P

【變式5-1】某校在高一部分學(xué)生中調(diào)查男女同學(xué)對某項(xiàng)體育運(yùn)動的喜好情況，其二維條形圖如圖黑色代表喜歡，白色代表不喜歡，單位：人寫出列聯(lián)表；依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動是否與性別有關(guān)；在這次調(diào)查中，從喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動的一名男生和兩名女生中任選兩人進(jìn)行專業(yè)培訓(xùn)，求恰是一男一女的概率．附表及公式：，其中【解析】觀察題中二維條形圖，可得被調(diào)查的男生總共45人，其中喜歡這項(xiàng)運(yùn)動的有15人，不喜歡的有30人；被調(diào)查的女生總共45人，其中喜歡這項(xiàng)運(yùn)動的有5人，不喜歡的有40人．由此寫出列聯(lián)表如下：單位：人喜歡不喜歡合計(jì)男153045女54045合計(jì)207090零假設(shè)為：喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動與性別無關(guān)．計(jì)算可得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動與性別無關(guān)．設(shè)喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動的一名男生和兩名女生分別為A，B，任選兩人的情況有，選一名男生和一名女生的情況有所以恰是一男一女的概率

【變式5-2】2020年11月15日，習(xí)近平總書記在南京市主持召開全面推動長江經(jīng)濟(jì)帶發(fā)展座談會，要求使長江經(jīng)濟(jì)帶成為我國生態(tài)優(yōu)先綠色發(fā)展主戰(zhàn)場，某研究所從長江上游區(qū)域和長江下游區(qū)域分別任意選取100個(gè)觀測點(diǎn)進(jìn)行水質(zhì)檢測，并將水質(zhì)等級檢測結(jié)果按分組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果水質(zhì)等級達(dá)到7，就認(rèn)為該檢測點(diǎn)水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”，否則就認(rèn)為“不達(dá)標(biāo)”，已知上游區(qū)域被檢測的觀測點(diǎn)中，水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”的有75個(gè)，不達(dá)標(biāo)的有25個(gè)，對下游區(qū)域的檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)得如下頻率分布直方圖，其中a，b，c成等差數(shù)列，且請完成下面的列聯(lián)表，并判斷：能否有的把握認(rèn)為長江水質(zhì)等級是否“達(dá)標(biāo)”與區(qū)域有關(guān)？水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”檢測點(diǎn)數(shù)水質(zhì)“不達(dá)標(biāo)”檢測點(diǎn)數(shù)總計(jì)長江上游區(qū)域7525100長江下游區(qū)域100總計(jì)200為進(jìn)一步調(diào)研長江下游區(qū)域的水質(zhì)情況，若以樣本頻率估計(jì)總體概率，再從整個(gè)長江下游區(qū)域中隨機(jī)抽取3個(gè)觀測點(diǎn)，記其中水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中臨界值表：【解析】由題意可得，，解得，所以長江下游區(qū)域水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”檢測點(diǎn)數(shù)有個(gè)，則水質(zhì)“不達(dá)標(biāo)”檢測點(diǎn)數(shù)有40個(gè)，所以列聯(lián)表如下：

水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”檢測點(diǎn)數(shù)

水質(zhì)“不達(dá)標(biāo)”檢測點(diǎn)數(shù)

總計(jì)

長江上游區(qū)域

75

25

100

長江下游區(qū)域

60

40

100

總計(jì)

135

65200所以，所以有的把握認(rèn)為長江水質(zhì)等級是否“達(dá)標(biāo)”與區(qū)域有關(guān)．由可知長江下游區(qū)域水質(zhì)“達(dá)標(biāo)”的概率為，水質(zhì)“不達(dá)標(biāo)”的概率為，由題意可得可能取0，1，2，3，則，，，，故的分布列為：

0

1

2

3

P

所以

【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計(jì)算得到，下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為夜晚會下雨【答案】D【解析】由列聯(lián)表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；，因此據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D2．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）.A．變量與不獨(dú)立B．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過C．變量與獨(dú)立D．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過【答案】C【解析】由表可知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以分類變量與相互獨(dú)立，因?yàn)?，所以分類變量與相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過，故選：C3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）手機(jī)給人們的生活帶來便捷，但同時(shí)也對中學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)造成了一定的影響．某校幾個(gè)學(xué)生成立研究性學(xué)習(xí)小組，就使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績的影響隨機(jī)抽取了該校100名學(xué)生的期末考試成績并制成如下的表，則下列說法正確的是（

）手機(jī)使用情況成績成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)不用手機(jī)401050使用手機(jī)54550總計(jì)4555100（參考公式：，其中）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績無關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績無關(guān)C．有99%的把握認(rèn)為使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績有影響D．無99%的把握認(rèn)為使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績有影響【答案】C【解析】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績有關(guān)，AB錯(cuò)誤；有99%的把握認(rèn)為使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績有影響，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C4．（2024·高二單元測試）某校團(tuán)委對“喜歡吃水果和學(xué)生性別是否有關(guān)”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡吃水果的人數(shù)占被調(diào)查的男生人數(shù)的，女生喜歡吃水果的人數(shù)占被調(diào)查的女生人數(shù)的，若有99%的把握認(rèn)為喜歡吃水果和學(xué)生性別有關(guān)，則被調(diào)查的男生至少有（

）0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A．12人 B．18人C．24人 D．30人【答案】B【解析】設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為x，被調(diào)查的女生人數(shù)為，則得到2×2列聯(lián)表如下：喜歡吃水果情況總計(jì)喜歡不喜歡學(xué)生性別男生女生總計(jì)則，解得，又因?yàn)槟?、女人?shù)為整數(shù)，所以被調(diào)查的男生至少有18人.故選：B.5．（2024·高二單元測試）冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備和改造后的新設(shè)備，為了檢驗(yàn)用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系，調(diào)查結(jié)果如表所示：設(shè)備雜質(zhì)情況雜質(zhì)高雜質(zhì)低舊設(shè)備37121新設(shè)備22202參考公式：，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是（

）A．含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造有關(guān)B．含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造無關(guān)C．設(shè)備是否改造決定含雜質(zhì)的高低D．以上答案都不對【答案】A【解析】由已知數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：雜質(zhì)高雜質(zhì)低總計(jì)舊設(shè)備37121158新設(shè)備22202224總計(jì)59323382則由于13.11＞6.635，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造是有關(guān)的．故選：A6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如表：性別作業(yè)量合計(jì)大不大男生18927女生81523合計(jì)262450則推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”的概率約為（

）附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828A．99% B．99.5%C．95% D．99.9%【答案】C【解析】由公式得.∴學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)的概率約為95%.故選：C7．（2024·山西朔州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）通過隨機(jī)詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購買食物時(shí)是否看營養(yǎng)說明，得知有的男大學(xué)生“不看”，有的女大學(xué)生“不看”，若有99.9%的把握認(rèn)為性別與是否看營養(yǎng)說明之間有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)至少為（

）附：，其中.0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828A．225人 B．227人 C．228人 D．230人【答案】C【解析】設(shè)男女大學(xué)生各有m人，根據(jù)題意畫出列聯(lián)表，如下圖：看不看合計(jì)男m女m合計(jì)2m所以，因?yàn)橛?9.9%的把握認(rèn)為性別與對產(chǎn)品是否滿意有關(guān)，所以，解得，所以總?cè)藬?shù)至少為228.故選C.8．（2024·全國·高二專題練習(xí)）針對時(shí)下的“航天熱”，某校團(tuán)委對“是否喜歡航天與學(xué)生性別的關(guān)系”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡航天的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡航天的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否喜歡航天與學(xué)生性別有關(guān)，則被調(diào)查的學(xué)生中男生的人數(shù)不可能為（

）A．25 B．45 C．60 D．75【答案】A【解析】依題意，設(shè)男生的人數(shù)為，根據(jù)題意列出列聯(lián)表如下所示：是否喜歡航天性別合計(jì)男生女生喜歡航天不喜歡航天合計(jì)則，∵依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否喜歡航天與學(xué)生性別有關(guān)，∴，即，得，∴，又，∴結(jié)合選項(xiàng)知B、C、D都可以.故選：A.二、多選題9．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）以下四個(gè)命題，其中不正確的是（

）A．在對吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，(參考數(shù)據(jù)：)若的觀測值滿足，那么在100個(gè)吸煙的人中約有99人患有肺病B．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)就越接近于1C．對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，的觀測值越大，判定“兩變量有關(guān)系”的把握越大D．回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A、B：的觀測值越大，判定“兩變量有關(guān)系”的可能性越大，故C正確若的觀測值滿足，則有的可能性認(rèn)為兩者有關(guān)，故A不正確；對于選項(xiàng)B：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1，故B不正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在回歸方程的兩側(cè)，不一定在回歸方程上，故D不正確；故選：ABD.10．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表：總計(jì)2008001000180m總計(jì)380已知，，根據(jù)上面的列聯(lián)表，若依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為這兩個(gè)分類變量A和B沒有關(guān)系，則下列選項(xiàng)中m可能取到的為（

）A．200 B．720 C．100 D．800【答案】BD【解析】由題意得，對于A，當(dāng)時(shí)，，對于B，當(dāng)時(shí)，，對于C，當(dāng)時(shí)，，對于D，當(dāng)時(shí)，，故只有B，D符合題意，可以認(rèn)為這兩個(gè)分類變量A和B沒有關(guān)系，故選：BD11．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某校計(jì)劃在課外活動中新增攀巖項(xiàng)目，為了解學(xué)生喜歡攀巖和性別是否有關(guān)聯(lián)，面向?qū)W生開展了一次隨機(jī)調(diào)查，其中參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生喜歡攀巖的占80%，女生不喜歡攀巖的占70%，則（

）參考公式：.A．參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多B．參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)多C．若參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100，則依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想認(rèn)為喜歡攀巖和性別有關(guān)聯(lián)D．無論參與調(diào)查的男、女生人數(shù)為多少，都可以依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想認(rèn)為喜歡攀巖和性別有關(guān)聯(lián)【答案】AC【解析】由題意設(shè)參加調(diào)查的男、女生人數(shù)均為m，則得到如下2×2列聯(lián)表：喜歡攀巖不喜歡攀巖合計(jì)男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合計(jì)1.1m0.9m2m所以參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多，參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)少，故A正確，B錯(cuò)誤．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝＝，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100時(shí)，依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們有99.9%的把握判斷喜歡攀巖和性別有關(guān)聯(lián)，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC.12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)分類變量X和Y的列聯(lián)表如下：合計(jì)abcd合計(jì)則下列說法不正確的是（

）A．越小，說明X與Y關(guān)系越弱B．越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)C．越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．越接近于0，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)【答案】ABD【解析】越小，即越小，說明X與Y關(guān)系越弱，越大，即越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)，故C正確，ABD錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題13．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用a50未服用50合計(jì)8020100若在本次考察中得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為．（其中且）（參考數(shù)據(jù)：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】46【解析】由題意可得，整理得，所以或，解得或，又因?yàn)榍?，所以，所以a的最小值為46.故答案為：46.14．（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動與性別有關(guān)．【答案】0.01【解析】因?yàn)?.635<7.235<10.828，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動與性別有關(guān)．故答案為：0.01.15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射后14天的結(jié)果如下表所示：電離輻射劑量存活情況死亡存活總計(jì)第一種劑量141125第二種劑量61925總計(jì)203050由表中數(shù)據(jù)算得：χ2＝，說明兩種電離輻射劑量對小白鼠的致死作用．（填“相同”或“不相同”）【答案】5.333不相同【解析】由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為小白鼠的死亡與使用的電離輻射劑量有關(guān)，即兩種電離輻射劑量對小白鼠的致死作用不相同．故答案為：5.333；不相同16．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）為了考查某流感疫苗的效果，某實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)抽取100只健康小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：疫苗使用情況感染情況感染未感染總計(jì)注射104050未注射203050總計(jì)3070100參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過的前提下，可認(rèn)為“注射疫苗”與“感染某流感”有關(guān)系．參考公式：.【答案】0.05【解析】由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，所以在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過0.05的前提下，認(rèn)為“注射疫苗”與“感染某流感”有關(guān)系.故答案為：0.05四、解答題17．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某高?！毒€性代數(shù)》課程的老師隨機(jī)調(diào)查了該課程學(xué)生的專業(yè)情況，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：單位：人數(shù)學(xué)專業(yè)非數(shù)學(xué)專業(yè)總計(jì)男生ef120女生60g80總計(jì)160h200(1)求e，f，g，h的值，并估計(jì)男生中是非數(shù)學(xué)專業(yè)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為選數(shù)學(xué)專業(yè)與性別有關(guān)？附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）由題意可知，，，，，故男生中是非數(shù)學(xué)專業(yè)的概率.（2）由題意可知．又因?yàn)?，而且查表可得，由于，所以沒有90%的把握認(rèn)為選數(shù)學(xué)專業(yè)與性別有關(guān)．18．（2024·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)隨機(jī)抽取了80名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下列聯(lián)表：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生202040女生241640合計(jì)443680(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素會影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)若列聯(lián)表中的所有樣本觀測數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼?0倍，再做第（1）問，得到的結(jié)論還一樣嗎？請說明理由；附：①，其中.②臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假設(shè)為性別與鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即不能認(rèn)為性別因素會影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性.（2）由題意得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，因此可以認(rèn)為性別因素會影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，得到的結(jié)論不一樣.19．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男?女各100人進(jìn)行分析，從而得到如下列聯(lián)表（單位：人）：偶爾或不網(wǎng)購經(jīng)常網(wǎng)購合計(jì)男性4060100女性2080100合計(jì)60140200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為我市市民網(wǎng)購的情況與性別有關(guān)聯(lián)？(2)用分層抽樣的方法，從偶爾或不網(wǎng)購和經(jīng)常網(wǎng)購的市民中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人贈送禮品，設(shè)其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.100.010.0012.7066.63510.828【解析】（1）零假設(shè)為：我市市民網(wǎng)購情況與性別無關(guān).則，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為我市市民網(wǎng)購的情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）按分層抽樣的方法從偶爾或不網(wǎng)購和經(jīng)常網(wǎng)購的市民中隨機(jī)抽取10人，則偶爾或不網(wǎng)購的人數(shù)為3，經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為7，故的所有可能取值為，，故的分布列為0123則.20．（2024·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）李連貴熏肉大餅是吉林省四平市極具傳統(tǒng)特色的美味小吃，有著悠久的歷史，創(chuàng)始于1908年，距今已經(jīng)有著一百多年的歷史了.李連貴熏肉大餅的制作方法十分考究，選用豬肉和面粉為主要原料，將豬肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉?，沙仁等幾十種配料謷煮，最后加入調(diào)料抹在餅內(nèi)，夾肉而食，吃起來外酥里軟，美味可口，是一道集美味和藥膳于一體的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品嘗.某調(diào)查機(jī)構(gòu)從年齡在歲的游客中隨機(jī)抽取100人，對是否有意向購買熏肉大餅進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：年齡/歲抽取人數(shù)有意向購買熏肉大餅的人數(shù)(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為