上海昂立中學生教育(同濟校區(qū))2022年高二數學理測試題含解析

上海昂立中學生教育(同濟校區(qū))2022年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率，則和分別為（

）A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75參考答案：A【分析】先由隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p＝0.5，作出X的概率分布，然后再求E（X）和D（X）．【詳解】∵X服從兩點分布，∴X的概率分布為∴E（X）＝0×0.5+1×0.5＝0.5，D（X）＝0.52×0.5+（1﹣0.5）2×0.5＝0.25．故選：A．【點睛】本題考查離散型隨機變量的概率分布，解題時要注意兩點分布的性質和應用．2.在空間中，給出下列說法：①平行于同一個平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面；③若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則；④過平面的一條斜線，有且只有一個平面與平面垂直.其中正確的是（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③參考答案：B【分析】說法①：可以根據線面平行的判定理判斷出本說法是否正確；說法②：根據線面垂直的性質和面面平行的判定定理可以判斷出本說法是否正確；說法③：當與相交時，是否在平面內有不共線的三點到平面的距離相等，進行判斷；說法④：可以通過反證法進行判斷.【詳解】①平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【點睛】本題考查了線線位置關系、面面位置關系的判斷，分類討論是解題的關鍵，反證法是經常用到的方程.3.設兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（）A．， B．， C．， D．，參考答案：A【考點】兩條平行直線間的距離．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的關系，求出平行線之間的距離表達式，然后求解距離的最值．【解答】解：因為a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，所以a+b=﹣1，ab=c，兩條直線之間的距離d=，d2==，因為0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是，．故選：A．4.過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，若，則

A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：D5.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由離心率和abc的關系可得b2=4a2，而漸近線方程為y=±x，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線C：（a＞0，b＞0），則離心率e===，即4b2=a2，故漸近線方程為y=±x=x，故選：D．6.24名同學報名參加數學、物理、化學競賽，若每人限報一項，則不同的報名方法種數是(

)A.34

B.43

C.

D.參考答案：A略7.已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（）A.

2

B.

3

C.

4

D.

1參考答案：A8.已知正方形所在平面，，點到平面的距離為，點到平面的距離為，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略9.已知函數f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】利用導數研究函數的單調性．【專題】計算題．【分析】由f（x）的解析式求出導函數，導函數為開口向下的拋物線，因為函數在R上為單調函數，所以導函數與x軸沒有交點，即△小于等于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因為函數在（﹣∞，+∞）上是單調函數，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，則△=，所以實數a的取值范圍是：[﹣，]．故選B【點評】此題考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區(qū)間，掌握函數恒成立時所取的條件，是一道綜合題．10.如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，=900，

AA1=2，AC=BC=1則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是

A

B

C

D參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復數為實數(為虛數單位)，則實數=

▲

．參考答案：略12.設數列的前項和為（），關于數列有下列三個命題：①若，則既是等差數列又是等比數列；②若，則是等差數列；③若，則是等比數列。這些命題中，真命題的序號是

參考答案：②③13.已知圓與圓，在下列說法中：①對于任意的，圓與圓始終有四條公切線；②對于任意的，圓與圓始終相切；③分別為圓與圓上的動點，則的最大值為4．其中正確命題的序號為___________.參考答案：②③。14.已知等差數列共有項，其中奇數項和為290，偶數項和為261，則參考答案：29略15.i是虛數單位，復數＝______________。參考答案：16.某校高一年級有400人，高二年級有600人，高三年級有500人，現要采取分層抽樣的方法從全校學生中選出100名學生進行問卷調查，那么抽出的樣本中高二年級的學生人數為

．參考答案：4017.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），點F1，F2是橢圓的左右焦點，點A是橢圓上的點，△AF1F2的內切圓的圓心為M，若+2+2=0，則橢圓的離心率為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設點D是AF1的中點，由+2+2=0?若=﹣2（+）=﹣4，即三點F1、M、D三點共線，且點M是靠近D的5等分點，△AF1F2與△AMF2的面積比為5：1；如圖，有，由+2+2=0，得2，?AM：MH=3：2，?△AF1F2與△AMF1F2的面積比為5：2【解答】解：設點D是AF1的中點，∵+2+2=0?若=﹣2（+）=﹣4，∴三點F1、M、D三點共線，且點M是靠近D的5等分點，△AF1F2與△AMF2的面積比為5：1；如圖，有，由+2+2=0，得2，?AM：MH=3：2，∴△AF1F2與△AMF1F2的面積比為5：2又∵△AMF2與△AMF1F2的面積比為AF2：F1F2=1：2，AF2：F1F2：AF1=1：2：2，∴2a=3c，橢圓的離心率為．故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.甲組有人，乙組有人，其中組長各人.

（Ⅰ）這人站成一排照相，根據下列要求，各有多少種排法？①同組人員相鄰；

②乙組人員不相鄰.

（Ⅱ）現選派人去參加比賽，根據下列要求，各有多少種選派方法？①甲組人，乙組人；

②

組長中至少有人參加.參考答案：（Ⅰ）34560,604800;（Ⅱ）120,196（Ⅰ）1

；

……………2分2

.

……………4分（Ⅱ）①

；

……………6分②

法一（直接法）：；……………8分法二（間接法）：.

……………8分

19.（本小題滿分16分）已知等差數列中，，令，數列的前項和為。 （1）求數列的通項公式；（2）求證：； （3）是否存在正整數，且，使得，，成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。參考答案：（1）設數列的公差為，由，。 解得，，∴。（4分） （2）∵，，∴ ∴ ∴。（8分） （3）由（2）知，，∴，，， ∵，，成等比數列，∴，即 當時，，，符合題意； 當時，，無正整數解； 當時，，無正整數解； 當時，，無正整數解； 當時，，無正整數解； 當時，，則，而， 所以，此時不存在正整數，且，使得，，成等比數列。 綜上，存在正整數，且，使得，，成等比數列。（16分）20.給定橢圓（），稱圓為橢圓的“伴隨圓”．已知橢圓中，離心率為．（I）求橢圓的方程；（II）若直線與橢圓交于兩點，與其“伴隨圓”交于兩點，當時，求弦長的最大值．參考答案：1）2),令，當時21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.如圖，點為斜三棱柱的側棱上一點，交于點，交于點．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少．下面請觀察平面勾股定理的條件和結論特征，試著將勾股定理推廣到空間去．勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結論AB2+AC2=BC2？請在答題紙上完成上表中的類比結論，并給出證明．參考答案：（1）證：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，?，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，則有

（14分）證法一：作OD⊥AB，垂足為D，連結CD

（18分）證法二：作OH⊥平面ABC，垂足為H，易得H為△ABC的垂心。連結CH并延長交AB于E，連結OE，則有OE⊥AB。在△OAB中，在Rt△EOC中，同理，，于是

（18分）22.（1）把6本不同的書分給4位學生，每人至少一本，有多少種方法？（2）由0,1,2,3,4,5這6個數字組成沒有重復數字的四位偶數由多少個？（3）某旅行社有導游9人，其中3人只會英語，4人只會日語，其余2人既會英語，也會日語，現從中選6人，其中3人進行英語導游，另外3人進行日語導游，則不同的選擇方法有多少種？參考答案：（1）1560；（2）156；（3）92.【分析】（1）分為和兩類分別計算，加和得到結果；（2）分為個位是和個位不是兩類分別計算，加和得到結果；（3）分為只會英語的人中選了人作英語導游、選了人作英語導游和選了人作英語導游三類分別計算，加和得到結果.【詳解】（1）把本不同的書分給位學生，每人至少一本，有和兩類分配方式為時，共有：種分法分配方式為