平面幾何中的向量的基本性質(zhì)

平面幾何中的向量的基本性質(zhì)CATALOGUE目錄向量基本概念與表示向量運(yùn)算規(guī)則向量共線與平行關(guān)系向量垂直與正交關(guān)系向量模長與夾角計(jì)算向量在平面幾何中應(yīng)用舉例向量基本概念與表示01向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量定義向量具有大小和方向兩個(gè)要素，且滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量性質(zhì)向量定義及性質(zhì)用帶箭頭的線段來表示向量，線段的長度表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用有序數(shù)對(duì)來表示，即向量的坐標(biāo)。向量表示方法坐標(biāo)表示法符號(hào)表示法零向量長度為0的向量稱為零向量，記作0。零向量沒有方向，與任意向量平行。單位向量長度為1的向量稱為單位向量。單位向量可以表示向量的方向，其坐標(biāo)形式為(cosα,sinα)，其中α為向量與x軸正方向的夾角。零向量與單位向量向量運(yùn)算規(guī)則02三角形法則第一個(gè)向量的終點(diǎn)連接第二個(gè)向量的起點(diǎn)，從第一個(gè)向量起點(diǎn)到第二個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是這兩個(gè)向量的和。平行四邊形法則以兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線就代表兩個(gè)向量的和。加法運(yùn)算規(guī)則0102數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則零向量與任何數(shù)相乘都得到零向量。長度變化：向量與正數(shù)相乘，長度變?yōu)樵瓉淼臄?shù)倍，方向不變；向量與負(fù)數(shù)相乘，長度變?yōu)樵瓉淼臄?shù)倍，方向相反。向量減法是向量加法的逆運(yùn)算，把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放到一個(gè)共同起點(diǎn)，由一個(gè)向量終點(diǎn)指向另一個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是兩者之差。定義在減法中，差向量的方向是從被減數(shù)向量指向減數(shù)向量。方向減法運(yùn)算規(guī)則向量共線與平行關(guān)系03若兩個(gè)向量在同一直線上或兩向量所在的直線平行，則稱這兩個(gè)向量共線。定義性質(zhì)幾何意義共線向量滿足數(shù)乘封閉性，即若向量a與向量b共線，則存在實(shí)數(shù)k，使得a=kb。共線向量表示兩個(gè)向量方向相同或相反，大小成比例。030201共線向量定義及性質(zhì)若兩個(gè)向量所在的直線平行且不重合，則稱這兩個(gè)向量為平行向量。定義平行向量具有傳遞性，即若向量a與向量b平行，向量b與向量c平行，則向量a與向量c也平行。性質(zhì)平行向量表示兩個(gè)向量方向相同或相反，但大小不一定成比例。幾何意義平行向量定義及性質(zhì)通過觀察向量的圖形或位置關(guān)系，判斷兩向量是否共線或平行。觀察法在平面直角坐標(biāo)系中，若兩向量的坐標(biāo)成比例，則兩向量共線；若兩向量的橫坐標(biāo)之比等于縱坐標(biāo)之比，則兩向量平行。坐標(biāo)法利用向量的數(shù)乘和加法運(yùn)算，通過計(jì)算判斷兩向量是否共線或平行。例如，若存在實(shí)數(shù)k使得a=kb，則a與b共線；若a與b不共線且存在實(shí)數(shù)m、n使得ma+nb=0，則a與b平行。向量法共線與平行關(guān)系判斷方法向量垂直與正交關(guān)系04垂直向量定義及性質(zhì)若兩向量的點(diǎn)積為零，則稱這兩向量垂直。零向量與任何向量都垂直。若向量a與向量b垂直，則向量a與向量b的線性組合也垂直。若向量a、b、c滿足a⊥b且b⊥c，則a與c不一定垂直。垂直向量定義性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3正交向量定義性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3正交向量定義及性質(zhì)01020304在平面或空間中，若兩向量的點(diǎn)積為零且兩向量非零，則稱這兩向量正交。正交向量一定是線性無關(guān)的。若向量組是正交的，則其任意兩個(gè)向量的線性組合也是正交的。正交向量組可以擴(kuò)充為空間的一組基。判斷方法101利用點(diǎn)積為零判斷兩向量是否垂直或正交。判斷方法202利用向量的坐標(biāo)表示，通過計(jì)算判斷兩向量是否垂直或正交。判斷方法303利用向量的模長和夾角余弦值判斷兩向量是否垂直或正交。當(dāng)兩向量的模長之積等于它們的數(shù)量積時(shí)，兩向量垂直；當(dāng)兩向量的模長之積等于零時(shí)，兩向量正交。垂直與正交關(guān)系判斷方法向量模長與夾角計(jì)算05模長定義及計(jì)算方法向量模長定義向量的模長，也稱為向量的長度或大小，是一個(gè)標(biāo)量值，表示向量在空間中的“大小”。計(jì)算方法對(duì)于二維向量v=(x,y)v=(x,y)v=(x,y)，其模長∣v∣left|vright|∣v∣可以通過勾股定理計(jì)算，即∣v∣=x2+y2left|vright|=sqrt{x^{2}+y^{2}}∣v∣=x2+y2?。對(duì)于三維向量，模長的計(jì)算方法類似。夾角定義及計(jì)算方法兩個(gè)非零向量之間的夾角是它們方向之間的角度。這個(gè)角度的范圍是0到180度，或者說是0到π弧度。夾角定義兩個(gè)向量v1=(x1,y1)v_1=(x_1,y_1)v1?=(x1?,y1?)和v2=(x2,y2)v_2=(x_2,y_2)v2?=(x2?,y2?)之間的夾角θthetaθ可以通過余弦公式計(jì)算，即cos?(θ)=v1?v2∣v1∣∣v2∣cos(theta)=frac{v_1cdotv_2}{left|v_1right|left|v_2right|}cos(θ)=∣v1?∣v2?∣v1??v2??。其中，“·”表示向量的點(diǎn)積。計(jì)算方法長度和距離計(jì)算角度和方向判斷平行和垂直判斷面積和體積計(jì)算模長與夾角在幾何問題中應(yīng)用在平面幾何中，向量的模長常用于計(jì)算線段的長度或兩點(diǎn)之間的距離。通過計(jì)算夾角，可以判斷兩個(gè)向量是否平行（夾角為0度或180度）或垂直（夾角為90度）。向量的夾角可以用于判斷兩條線或兩個(gè)平面之間的角度，以及向量的方向關(guān)系。向量的模長和夾角可以用于計(jì)算三角形、平行四邊形等圖形的面積，以及三維空間中多面體的體積。向量在平面幾何中應(yīng)用舉例06利用向量投影的性質(zhì)，將點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)的向量投影到直線方向向量上，通過計(jì)算投影長度即可得到點(diǎn)到直線的距離。向量投影法構(gòu)造以點(diǎn)為頂點(diǎn)、直線為底的三角形，利用向量外積計(jì)算三角形面積，再結(jié)合底邊長度計(jì)算高，從而得到點(diǎn)到直線的距離。面積法點(diǎn)到直線距離計(jì)算向量夾角公式利用向量夾角的余弦公式，計(jì)算兩直線方向向量的夾角余弦值，再通過反余弦函數(shù)求得夾角大小。向量點(diǎn)積法通過計(jì)算兩直線方向向量的點(diǎn)積，結(jié)合向量模長，利用點(diǎn)積與夾角余弦的關(guān)系求得夾角大小。兩直線間夾角計(jì)算

平面圖形面積計(jì)算三角形面積計(jì)算利用向量外