中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題03 折疊存在性及最值大全(填空壓軸)（含答案與解析全國(guó)通用）

第第頁(yè)專項(xiàng)03折疊存在性及最值大全(填空壓軸)1．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把沿折疊，得到，當(dāng)與菱形的邊垂直時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或【分析】存在兩種情況①當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，由題意得出AE的長(zhǎng)，在中可求出AG的長(zhǎng)，由根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知在中，可求出GF的長(zhǎng)，即可得出AF的長(zhǎng)．②當(dāng)點(diǎn)F在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，由得出由中，求出由得出即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作于G，∵四邊形是菱形，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)F在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)H，∵四邊形是菱形，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，又故答案為：或【我思故我在】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，區(qū)分點(diǎn)F的位置在線段AB上和在線段AB的延長(zhǎng)線上是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，菱形的邊長(zhǎng)，M是邊上一點(diǎn)，，N是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形沿直線折疊，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】14【分析】作于H，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得，，在中，利用勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最小，然后證明即可．【詳解】解：作于H，如圖，∵菱形的邊，∴，，∴，，∵，∴，，在中，，∵梯形沿直線折疊，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最小，由折疊的性質(zhì)得，而，∴，∴，∴．故答案為：14．【我思故我在】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)在上時(shí)，的值最?。?．如圖，在四邊形紙片ABCD中，ADBC，AB＝10，∠B＝60°，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF，若∠BFE＝45°，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)知，，再由∠BFE＝45°得到，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，在中求出的長(zhǎng)度，再證明四邊形是矩形，從而得出，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)知，，，，在中，，，，，四邊形是矩形，，，故答案為：．【我思故我在】本題考查折疊的性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知角度和折疊的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到邊距離的最小值是________.【答案】1.2【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)PD與FG重合時(shí)PD最小，利用相似求解即可．【詳解】∵，，，∴AB=10，∵，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴CF=PF=2，AF=AC-CF=6-2=4，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)PD與FG重合時(shí)PD最小，∵∠A=∠A，∠AGF=∠ACB，∴△AGF∽△ACB，∴，∴，∴FG=3.2，∴PD=FG-PF=3.2-2=1.2，故答案為：1.2．【我思故我在】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，三角形相似，垂線段最短，準(zhǔn)確找到最短位置，并利用相似求解是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將△沿折疊，使得點(diǎn)落在處，當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】或【分析】根據(jù)題意分，，三種情況討論，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴，∵將△沿折疊，使得點(diǎn)落在處，∴，，設(shè)，則①當(dāng)時(shí)，如圖過(guò)點(diǎn)作，則四邊形為矩形，在中在中即解得②當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，設(shè)垂直平分在中即在中，即聯(lián)立，解得③當(dāng)時(shí)，如圖，又垂直平分垂直平分此時(shí)重合，不符合題意綜上所述，或故答案為：或【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形中，，對(duì)角線，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．當(dāng)點(diǎn)落在折線上，且時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2或【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】解：，，，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，將沿直線折疊，，，，；當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，將沿直線折疊，，，，，綜上所述：的長(zhǎng)為2或．【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．7．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小美將矩形ABCD紙片先對(duì)折，展開(kāi)后折痕是EF，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，過(guò)點(diǎn)M作交CD于點(diǎn)N．將沿MN翻折，點(diǎn)C恰好落在線段EF上，已知矩形ABCD中，，那么BM的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】4或【分析】設(shè)BM=x，則CM=BC-BM=6-x，根據(jù)三角函數(shù)可得tan∠CMN=tan∠BAM=，tan∠CMN=，F(xiàn)N=CF-CN=，由折疊可知∶C"N=CN=，tan=tan∠CMN=，由tan=，可求，在Rt△中，由勾股定理，，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：矩形ABCD中，AB=DC=4，BC=6，∠B=∠BCD=90°∴∠BAM+∠AMB=90°，∵M(jìn)N⊥AM，∴∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠CMN=∠BAM，∵小美將矩形ABCD紙片先對(duì)折，展開(kāi)后折痕是EF，∴CF=DC=2，設(shè)BM=x，則CM=BC-BM=6-x，在Rt△ABM中，tan∠BAM∴tan∠CMN=tan∠BAM=在Rt△CMN中，∴tan∠CMN=CN=∴FN=CF-CN=2-由折疊可知∶C"N=CN=連接，如圖∶由折疊知∶MN垂直平分，∴+∠CMN=90°，而=90°，∴=∠CMN，∴tan=tan∠CMN=在Rt△CFC'中，tan=∴在Rt△中，由勾股定理，得，即∴整理，得，解得∴BM的長(zhǎng)為4或故答案為：4或．【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)，運(yùn)用三角函數(shù)將邊長(zhǎng)表示出來(lái)，借助勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，DF，當(dāng)線段DF被CE垂直平分時(shí)，AF則線的長(zhǎng)為_(kāi)______．【分析】連接AF交PE于O，連接DF,先由矩形的性質(zhì)可得BC=AD=6、CD=AB=4，再由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得AF=2OA，AE=ED=EF=3；設(shè)AP=x，則PF=AP=x,BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，運(yùn)用勾股定理可求得x，然后再運(yùn)用勾股定理求得PE的長(zhǎng)，再運(yùn)用等面積法求得AO的長(zhǎng)，最后根據(jù)AF=2AO解答即可．【詳解】解：連接AF交PE于O，連接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵線段DF被CE垂直平分時(shí)，∴CF=CD=4,ED=EF，∵將△APE沿PE折疊得到△FPE，∴PE是線段AF的垂直平分線，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，∴AE=ED=EF=3，設(shè)AP=x，則PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62∴x=，∵PE=，∴，即，解得：AO=，∴AF=2AO=．故答案為．【我思故我在】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)D重合），連接EF，把△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′總落在DC邊上．若△A′EC是以A′E為腰的等腰三角形，則A′D的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或【分析】分兩種情形分別畫(huà)出圖形，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)EA′＝CE時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠B＝90°，設(shè)AE＝EA′＝EC＝x，則BE＝2﹣x，在Rt△EBC中，則有x2＝12+（2﹣x）2，解得x＝，∴EB＝2﹣x＝，∵∠B＝∠BCH＝∠CHE＝90°，∴四邊形CBEH是矩形，∴CH＝BE＝，∵EC＝EA′，EH⊥CA′，∴HA′＝CH＝，∴DA′＝CD﹣CA′＝2﹣＝．如圖2中，當(dāng)A′E＝A′C時(shí)，設(shè)AE＝EA′＝CA′＝y(tǒng)．則CH＝EB＝2﹣y，A′H＝CA′﹣CH＝y(tǒng)﹣（2﹣y）＝2y﹣2，在Rt△A′EH中，則有y2＝12+（2y﹣2）2，解得y＝或1（舍棄），∴CA′＝，∴DA′＝2﹣＝，∴DA′為或，故答案為或．【我思故我在】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，則________【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，三點(diǎn)共線，根據(jù)可求得，再由勾股定理可得，進(jìn)而可計(jì)算，在中，由勾股定理計(jì)算的值；②當(dāng)點(diǎn)E在射線CD上時(shí)，設(shè)，則，，由勾股定理可解得，進(jìn)而可計(jì)算，在中，由勾股定理計(jì)算的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，，，將沿AE折疊得到，則，，，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，∵，∴三點(diǎn)共線，∵，∴，∵，∴；∴在中，；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在射線CD上時(shí)，∵，，，∴，設(shè)，則，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．綜上所述，AE的值為或．故答案為：或．【我思故我在】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．11．如圖，已知中，，點(diǎn)、分別在線段、上，將沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，折痕的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】或【分析】由為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：分別依據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕的長(zhǎng)．【詳解】解：分兩種情況：如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，在中，，，由折疊可得，，，，，，，，，；如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，由題可得，，，，又，，過(guò)作于，則，，由折疊可得，，是等腰直角三角形，，．故答案為：或．【我思故我在】本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．12．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且，將沿對(duì)折，若點(diǎn)恰好落到了的外部，則折痕的長(zhǎng)度范圍是______．【答案】【分析】把沿對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，證明，同理可得，于是可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，由正切的定義可得和的長(zhǎng)，計(jì)算的長(zhǎng)，再計(jì)算當(dāng)與重合時(shí)的長(zhǎng)，從而得結(jié)論．【詳解】解：把沿對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，如圖1，，，，，，而，，，同理可得，，，在中，，，，，，在中，，即，，在中，，即，，；如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，，即，，，折痕的長(zhǎng)度范圍是：．故答案為：．【我思故我在】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)．13．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．則AF長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，F(xiàn)M=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折疊的性質(zhì)可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得GN=±7（負(fù)值舍去），∴GN=7，設(shè)MF=BH=x,則GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF長(zhǎng)度為．故答案為：．【我思故我在】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．14．如圖，矩形中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，得到，則當(dāng)最小時(shí)，折痕長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出：當(dāng)最小時(shí)的圖形，利用勾股定理列出方程，求出的長(zhǎng)度，進(jìn)行解答即可．【詳解】連接AC，依題意可知：，如圖，當(dāng)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，在矩形中，，，,∴，由折疊可知：,設(shè)，∴,，在中，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【我思故我在】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，掌握勾股定理進(jìn)行求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，E是CD上一點(diǎn)，且DE＝2，F(xiàn)是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，若將△DEF沿EF翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為_(kāi)_____．【答案】8【分析】連接、，當(dāng)B、、E三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短，根據(jù)DE求出CE，再利用勾股定理求出BE，即可求解．【詳解】如圖，連接、，當(dāng)B、、E三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短，在正方形ABCD中，AB=8，E是CD上一點(diǎn)，且DE=2，∴CE=CD-DE=8-2=6，BC=AB=8，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)有，∵B、、E三點(diǎn)共線∴，即點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短為8，故答案為：8．【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)，找到B、、E三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖，已知在矩形紙片中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折，得到，連接，，則當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)是_______________．【答案】1或【分析】存在三種情況：當(dāng)時(shí)，連接ED，利用勾股定理可以求得ED的長(zhǎng)，可判斷三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理即可求解；當(dāng)時(shí)，可以證得四邊形是正方形，即可求解；當(dāng)時(shí)，連接EC，F(xiàn)C，證明三點(diǎn)共線，再用勾股定理，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，連接ED，如圖，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，四邊形是矩形，∴，由勾股定理可得，，∵將沿所在直線翻折，得到，∴，∵，∴，∴三點(diǎn)共線，∵，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，解得，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上，∴點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是AB的垂直平分線，∴，∵將沿所在直線翻折，得到，∴，∴四邊形是正方形，∴；綜上所述，AF的長(zhǎng)為1或．故答案為：1或．【我思故我在】本題考查矩形中的翻折問(wèn)題，涉及矩形的性質(zhì)