函數(shù)的極值與最值（第二課時(shí)）高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，如果f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，如果f(x)在(a,b)內(nèi)為減函數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞增；則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞減.則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；則f′(x)≥0在(a,b)內(nèi)恒成立；則f′(x)≤0在(a,b)內(nèi)恒成立.

蘇軾在《題西林壁》中這樣寫道：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，描述的就是江西廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致。在數(shù)學(xué)上，這種現(xiàn)象如何來(lái)刻畫呢？在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)函數(shù)的極大（小）值如圖觀察，函數(shù)y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f

(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f

(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？xyOabcde如圖觀察，函數(shù)y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f

(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f

(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？xyOabcde我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，

f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，

f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極值點(diǎn)與極值的定義：極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值(extremum).極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值條件f'(x0)=0x0附近左側(cè)f'(x0)>0x0附近右側(cè)f'(x0)<0x0附近左側(cè)f'(x0)<0x0附近右側(cè)f'(x0)>0x0附近f(x)<f(x0)x0附近f(x)>f(x0)圖像極值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)極值定義的理解問(wèn)題3：一個(gè)函數(shù)的極小值一定小于極大值嗎？問(wèn)題1：一個(gè)函數(shù)的極大值或極小值是唯一的嗎？上問(wèn)題4：極值點(diǎn)可能是區(qū)間端點(diǎn)嗎？不一定不一定不可能問(wèn)題2：任何一個(gè)函數(shù)一定有極大值或極小值嗎？上述圖,不一定極值反映了函數(shù)在某點(diǎn)附近的大小，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì).問(wèn)題5：若f'(x0)=0，則x0一定是極值點(diǎn)嗎？不一定練習(xí)1：下圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6練習(xí)2.下圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6例1.解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22

如何判斷f

(x0)是極大值或是極小值？f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點(diǎn)兩側(cè)極小值點(diǎn)兩側(cè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)f′(x)

f(x)

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0極大值減f′(x)<0f′(x)=0增減極小值f′(x)>0左正右負(fù)為極大，左負(fù)右正為極小xf'(x)f(x