2023-2024學年江西省宜春市九年級第一學期期中數(shù)學試卷
一、選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
1.觀察如圖所示的月餅圖案，下列說法正確的是（）
A.它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
B.它是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形
C.它是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形
D.它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
2.下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（）
A.尸（尤-1）2B-y=\^2X2-1
C.y—3x2+2x-1D.y=(x+1)2-x2
3.拋物線產(chǎn)，鼠-7尸+5的頂點坐標是(
)
A.(7,-5)B.(-7,-5)C.(7,5)D.(-7,5)
4.如圖，正方形ABC。和正方形所GO的邊長都是2,正方形EFG。繞點。旋轉(zhuǎn)時，兩個
正方形重疊部分的面積是（）
A.1B.2C.3D.4
5.已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）N-4x-1=0有兩個實數(shù)根，則a的取值范圍是（）
A.心-4B.a>-3C.心-3且D.a>-3且"1
6.如圖，在△ABC中，ZBAC=l20°,AB+AC=4,將8c繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到
CD,則線段的長度的最小值是（）
A.473B.3百c.2V3D.M
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
7.一種紀念品經(jīng)過兩次漲價，從原來每個76.8元漲至現(xiàn)在的120元，則平均每次漲價的百
分率是%.
8.已知XI,尤2是關(guān)于X的一元二次方程N+3x+7"=。的兩個實數(shù)根，且+1=1,則機
X1x2
的值為.
9.已知點A(a,1)與點8(-3,-1)關(guān)于原點對稱，則a=.
10.已知點A(4,yi),B(近,>2),C(-2,券)都在二次函數(shù)y=(x-2)2-1的圖
象上，則yi、>2、/的大小關(guān)系是.
11.對于實數(shù)a,6定義運算“※”如下：a^b=ab2+2ab,例如1X2=1X22+2X1X2=8,
則方程供%=-1的解為.
12.已知矩形ABC。中，AD=5,AB=3,現(xiàn)將邊繞它的一個端點旋轉(zhuǎn)，當另一端點恰
好落在邊BC所在直線的點E處時，線段DE的長度為.
三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)
13.選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>
(1)(尤-2)2=4；
(2)x2-3x+l=0.
14.如圖，將Rt^ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到B'C,連接A4',AC
=4.
(1)求A'A的長；
(2)若Nl=15°,求NW的度數(shù).
A
15.已知拋物線與x軸的交點是A（-1,0）,B（3,0）,經(jīng)過點C（0,3）.
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式;
（2）設該拋物線的頂點為求的面積.
16.杭州亞運會期間，某商店銷售一批亞運會吉祥物掛件，每個進價13元，規(guī)定銷售單價
不低于20元.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為20元時，每月可售出200個，銷售單
價每上漲1元，每天銷售量減少10個，現(xiàn)商店決定提價銷售.
（1）漲價多少時，利潤為1620元；
（2）將亞運會吉祥物掛件銷售單價定為多少元時，商店每天銷售亞運會吉祥物掛件獲得
的利潤y最大？最大利潤是多少元？
17.如圖1四邊形ABC。是正方形；如圖2四邊形ABCD是矩形，△AM。是等腰三角形.請
只用無刻度的直尺按要求畫圖.
（1）在圖1中，畫出正方形ABCD的對稱中心。；
（2）在圖2中，畫出線段BC的中點N；
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18.已知函數(shù)〉=（m+3）x（N+M-Z）是關(guān)于x的二次函數(shù).
（1）求機的值；
（2）當相為何值時，該函數(shù)圖象的開口向下？
（3）當機為何值時，該函數(shù)有最小值？
19.如圖，△ABC中，AB=AC=1,/A4c=45°，斯是由△ABC繞點A按順時針方
向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點。.
(1)求證：BE=CF；
(2)當四邊形ACDE為菱形時，求8。的長.
E
20.二次函數(shù)y=a/+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)直接寫出不等式辦2+bx+c>0的解集；
(3)若方程依2+桁+°=%有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范圍是
五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.已知關(guān)于x的一元二次方程N-2日+部+%+1=0有兩個實數(shù)根.
(1)試求k的取值范圍；
(2)若x：+x；=10，求左的值；
(3)若此方程的兩個實數(shù)根為xi,及，且滿足|刈+|及|=2,試求4的值.
22.閱讀以下材料，并解決相應問題：
小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y=〃iN+0ix+ci(mWO,a\,
b\,Cl是常數(shù))與(〃2W0,42,歷，C2是常數(shù))滿足〃1+〃2=0,b\=bi,
ci+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)y=2N-3x+l的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，
小明是這樣思考的，由函數(shù)y=2N-3x+l可知，41=2,b\=-3,ci=l,根據(jù)〃1+。2=0,
b{=bl,Cl+C2=0,求出〃2,岳，。2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
請思考小明的方法解決下面問題：
(1)寫出函數(shù)y=N-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
(2)若函數(shù)>=5爐+(777+1)x+〃與y=-5N-"x-3互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求(m+n)2023
的值；
(3)已知函數(shù)y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側(cè)),
與>軸交于點C,點A,B,C關(guān)于原點的對稱點分別是4,Bi,CI,試證明：經(jīng)過點4,
Bi,G的二次函數(shù)與y=2(x-1)(尤+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
六、解答題(本大題共12分)
23.如圖，在△A5C中，ZABC=90°,BA=BC.將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到
線段A。，E是邊BC上的一動點，連接。E交AC于點R連接
(1)求證：FB=FD；
(2)點”在邊8c上，且BH=CE,連接AH交8產(chǎn)于點N.
①判斷A8與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②連接CM若A8=2,請直接寫出線段CN長度的最小值.
3
參考答案
一、選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
1.觀察如圖所示的月餅圖案，下列說法正確的是（）
A.它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
B.它是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形
C.它是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形
D.它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那
么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.如果一個圖形沿一條直線折疊,
直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.據(jù)此判斷即可.
解：該圖是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.
故選：C.
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形和軸對稱
圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.
2.下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（）
2
A.尸（X-1）2B.y=&x-l
C.y—3x2+2x-1D.y=（x+1）2-x2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可.
解：A.y=（x-1）2是二次函數(shù)，不符合題意；
B.y=&x2-l是二次函數(shù)，不符合題意；
C.y=3尤2+2x-1是二次函數(shù)，不符合題意；
D.y=（x+1）2-X2=2X+I是一次函數(shù)，符合題意;
故選：D.
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的定義："形如y=〃N+Zzx+c(oWO),y=a(x-/z)2+k
(〃W0),y=a(x-h)2(tzv￡O)的函數(shù)是二次函數(shù).
3.拋物線丫4(乂-7產(chǎn)+5的頂點坐標是()
O
A.(7,-5)B.(-7,-5)C.(7,5)D.(-7,5)
【分析】直接由拋物線解析式可求得答案.
解：：拋物線尸工(x-7)2+5,
3
拋物線的頂點坐標是：(7,5),
故選：C.
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y
=a(x-/z)2+左中，頂點坐標為(h,k),對稱軸為x=〃.
4.如圖，正方形ABC。和正方形跖GO的邊長都是2,正方形ETGO繞點。旋轉(zhuǎn)時，兩個
正方形重疊部分的面積是()
AD
A.1B.2C.3D.4
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OB=OC,ZOBA=ZOCB=45°,ZBOC=ZEOG=
90°,推出N50N=NM0C,證出△03N之△OCM,即可求解.
解：如圖，設AB與OE交點N,3C與OG交點
F
???四邊形ABCD和四邊形EFGO都是正方形，
：.OB=OC,ZOBA=ZOCB=45°,ZBOC=ZEOG=90°,
工ZBON=ZMOC.
在△OBN與△OCM中，
，ZOBN=ZOCH
，OB=OC，
ZBON=ZCOM
:AOBN名AOCM(ASA),
??SLOBN=S&OCM,
S四邊形OMBN=SAOBCES正方形ABCDh^X2X2=1-
故選：A.
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，正
確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.
5.已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)N-4x-1=0有兩個實數(shù)根,則a的取值范圍是()
A.-4B.a>-3C.a》-3且aWlD.a>-3J!La^l
【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到a-1W0且A=(-4)2-4(a
-1)X(-1)20,然后求出兩不等式的公共部分即可.
解：根據(jù)題意得a-1W0且A=(-4)2-4(a-1)X(-1)20,
解得0》-3且aWl.
故選：C.
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程辦2+以+0=0(aWO)的根與4=62-4ac
有如下關(guān)系：當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的
實數(shù)根；當△<()時，方程無實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.
6.如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,AB+AC=4,將8C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到
CD,則線段的長度的最小值是()
A.4^3B.373C,273D.M
【分析】在AC的上方作/ACM=120。，且使CM^CA,連接AM,DM.設48=尤，
則AC=4-x=CM,根據(jù)ASA證明△BACgADMC得出DM=BA=x,ZCMD=ABAC
=120°,得出NAM￡)=90°,即可推出結(jié)論.
解：如圖，在AC的上方作NACM=120。，且使CM=CA,連接AM,DM.
設AB=x,則AC=4-x=CM,
?1-AM=V3AC=V3(4-x)-
:將BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到CD,
：.ZBCA^ZACD=120,
又???NACD+NOCM=NACM=120°,
???ZACB=ZDCM,
：.ABAC^ADMC(ASA),
：.DM^BA=x,ZCMD=ZBAC=120°.
ZAMD=90°,
：.AD2=AM2+DM2=3(4-x)2+x2=4(x-3)2+12^12,
V0<x<4,
???A0的最小值為KjQ.
故選：c.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的
關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
7.一種紀念品經(jīng)過兩次漲價，從原來每個76.8元漲至現(xiàn)在的120元，則平均每次漲價的百
分率是25%.
【分析】設平均每次漲價的百分率是x,根據(jù)增長率問題建立方程求出其解可以得出答案.
解：設平均每次漲價的百分率是x,由題意，得，
76.8(1+x)2=120,
解得：xi=0.25,xi=-2.25(不符合題意，舍去)，
...x=0.25=25%,
故答案為：25.
【點評】本題考查了增長率問題在實際問題中的運用及列一元二次方程解實際問題的能
力.
8.已知xi,尤2是關(guān)于x的一元二次方程N+3x+機=0的兩個實數(shù)根，且+1=1,則機
X1x2
的值為-3.
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到打+及=-3,xi-X2=m,結(jié)合
11x1+x
-_9-=1，即可求解.
X1x2xlx2
解：,.,尤1,X2是關(guān)于X的一元二次方程x2+3x+%=0的兩個實數(shù)根，
xi+x2=~3,x^xi=m,
..11xl+x21
----4----=-------=1>
XiX2X[X2
解得：m=-3,經(jīng)檢驗符合題意；
故答案為：-3.
【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解
答本題的關(guān)鍵.
9.已知點A(a,1)與點2(-3,T)關(guān)于原點對稱，則a=3.
【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出”的值，進而得出答案.
解：?.,點A(a,1)與點8(-3,-1)關(guān)于原點對稱，
.".a—3.
故答案為：3.
【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)是解
題關(guān)鍵.
10.己知點A(4,yi),B(a，>2),C(-2,”)都在二次函數(shù)y=(x-2)2-1的圖
象上，則yi、>2、丫3的大小關(guān)系是y3>yi>y2.
【分析】分別計算出自變量為4,迎和-2時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值得大小即可.
解：把A(4,yi),B(A/2-”)，C(-2,2)分別代入>=(x-2)2-1得：
yi—(x-2)2-1=3,,2=(x-2)2-1=5-4y/=(尤-2)2-1=15,
V5-4/2<3<15,
所以
故答案為y3>yi>y2.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：明確二次函數(shù)圖象
上點的坐標滿足其解析式.
11.對于實數(shù)。，6定義運算“※”如下：a^b=ab2+2ab,例如1X2=1X22+2X1X2=8,
則方程-1的解為-1.
【分析】此題主要考查了定義新運算，以及實數(shù)的運算，根據(jù)〃※6=。按+2",由1※1
=-1,可得：x2+2x=-1,據(jù)此求出x的值為多少即可.
解：:〃※6=ab2+2ab,
由1※%=-1,得：x2+2x=-1,即N+2X+1=0,
（X+1）2=0,
解得：x=-19
故答案為：-1.
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，掌握新定義的運算法則是解題的關(guān)鍵.
12.已知矩形A3C。中，AD=5,AB=3,現(xiàn)將邊A。繞它的一個端點旋轉(zhuǎn)，當另一端點恰
好落在邊2C所在直線的點E處時，線段。E的長度為\/~行或3\府或5.
【分析】分兩種情形：繞A旋轉(zhuǎn)或繞D旋轉(zhuǎn)，利用勾股定理求解即可.
解:如圖，
：.AB=CD=3,AD=BC=5,/ABC=/DCB=9Q°,
當AD繞A旋轉(zhuǎn),A￡)=AEI=AE2=5時，3昂=2瓦=
：.CEi=l,CE2=9,
22D￡22
?'-DEI=^CD+CE,=Vio-2=-JCD+CE2=3VIo>
當A。繞。旋轉(zhuǎn)時，DE3=DEA=5,
綜上所述，滿足條件的。E的值為J記或3J記或5,
故答案為：百5或30[或5.
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題
的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.
三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)
13.選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>
(1)(x-2)2=4；
(2)x2-3x+l=0.
【分析】(1)利用直接開方法解方程即可；
(2)利用配方法解方程即可.
解：(1)(x-2)2=4,
x-2=±2,
解得：?=4,X2=0；
(2)x2-3x+l=0,
Q2Q2
X2-3X+(y)=(y)-1，
(第)2①
3.V5
v--=+---，
2-2
解得.后-3一史一
用午用.X]-0>X2-口?
【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接開方法.
14.如圖，將Rt^ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到B'C,連接A4',AC
=4.
(1)求A'A的長；
(2)若/1=15°,求/W的度數(shù).
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=CA'=4,ZACA'=90°,利用勾股定理即可
求出A'A；
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△CAA'是等腰直角三角形，且/1=15°,求出/CB'A',
ZCB'A'=ZCAB,即可解決問題.
解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=CA'=4,ZACA'=90°,
?'-A7A=7AC2+AZC2=4^;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC^CA'=4,ZACA1=90°,
：.ZCA'A=45°,
VZ1=15",
：.ZCA'B'=45°-15°=30°,
：.ZCAB=ZCA'B1=30°,
/.ZA'AB=45a+30°=75°.
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌
握相關(guān)知識的靈活運算.
15.己知拋物線與x軸的交點是A(-1,0),B(3,0),經(jīng)過點C(0,3).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；
(2)設該拋物線的頂點為求的面積.
【分析】(1)由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可設交點式y(tǒng)=a(x+1)(x-3),
然后把C點坐標代入求出a的值即可；
(2)把(1)中的解析式配成頂點式得到〃點的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式
的面積.
解：(1)設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),
把。(0,3)代入得：(-1)X3〃=3,
解得a=-1.
???拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3；
(2)-N+2%+3=-(x-1)2+4,
：.M(1,4),
VAB=4,
?1'S/kABM^X4X4=8.
【點評】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運用
待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，函數(shù)圖象的對稱性是解題關(guān)鍵.
16.杭州亞運會期間，某商店銷售一批亞運會吉祥物掛件，每個進價13元，規(guī)定銷售單價
不低于20元.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為20元時，每月可售出200個，銷售單
價每上漲1元，每天銷售量減少10個，現(xiàn)商店決定提價銷售.
（1）漲價多少時，利潤為1620元；
（2）將亞運會吉祥物掛件銷售單價定為多少元時，商店每天銷售亞運會吉祥物掛件獲得
的利潤y最大？最大利潤是多少元？
【分析】（1）設上漲x元，則每個紀念品利潤為（20+x-13）元，銷售量為（200-10x）
個，根據(jù)“總利潤=每個紀念品利潤X銷售量”列出關(guān)于尤的方程，解之可得；
（2）依據(jù)（1）中的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，配方成頂點式，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)
求解可得.
解：（1）設上漲x元，則每個紀念品利潤為（20+尤-13）元，銷售量為（200-10%）個,
由題意得：（20+X-13）（200-10x）=1620,
整理得：N-13x+22=0,即（x-2）（%-11）=0,
解得：尤1=11,無2=2,
答：漲價11元或2元時，利潤為1620元；
（2）由（1）知當上漲x元，則每個紀念品利潤為（20+x-13）元，銷售量為（200-10、）
個，
貝I]y=（20+x-13）（200-10無）,gp-10x2+130x+1400,
2
'**y=-10x^+130x+1400=-10（x—
?,?當x=~與時,y有最大值,最大值為，’6：°,
；2。喏號
售單價定為:元時，商店每天銷售亞運會吉祥物掛件獲得的利潤最大，最大利潤是
3645元
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意
思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式再求解.
17.如圖1四邊形A8C。是正方形；如圖2四邊形ABC。是矩形，是等腰三角形.請
只用無刻度的直尺按要求畫圖.
（1）在圖1中，畫出正方形A8CD的對稱中心O；
（2）在圖2中，畫出線段BC的中點N；
【分析】（1）依據(jù)正方形的對稱中心為對角線的交點進行作圖；
（2）利用矩形的對稱中心為對角線的交點，等腰三角形的軸對稱圖形，即可得到點N.
解：（1）如圖所示，連接AC,交于點。即為所求；
（2）如圖所示，連接AC,8。交于點O,連接并延長交BC于點N即為所求.
【點評】此題主要考查了作圖與應用作圖，關(guān)鍵是掌握正方形、矩形的性質(zhì)和中心對稱
圖形的性質(zhì).首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性
質(zhì)和基本作圖的方法作圖.
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18.已知函數(shù)、=（m+3）x（m2+'-2）是關(guān)于x的二次函數(shù).
（1）求"Z的值；
（2）當機為何值時，該函數(shù)圖象的開口向下？
（3）當機為何值時，該函數(shù)有最小值？
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義求出機的值即可解決問題.
（2）運用當二次項系數(shù)小于0時，拋物線開口向下；
（3）運用當二次項系數(shù)大于。時，拋物線開口向上，圖象有最低點，函數(shù)有最小值.
解：（1）,函數(shù)y=（〃z+3）x（m2+3m-2）是關(guān)于尤的二次函數(shù)，
m2+3m-2=2,m+37^0,
解得：mi=-4,m2=1；
（2）,??函數(shù)圖象的開口向下，
m+3<0,
.,.m<-3,
工當用=-4時，該函數(shù)圖象的開口向下；
（3）??,當加+3>0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值，
.*.m>-3,
又,：m=-4或1,
???當相=1時，y=4N有最小值，最小值為0.
【點評】該題主要考查了二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)的應用問題；牢固掌握定義及其性質(zhì)
是解題的關(guān)鍵.
19.如圖，AABCA8=AC=1,ZBAC=45°，跖是由△ABC繞點A按順時針方
向旋轉(zhuǎn)得到的，連接5E、。尸相交于點。.
（1）求證：BE=CF；
（2）當四邊形AC0E為菱形時，求3。的長.
E
【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AF=AC,ZEAF=ZBAC,貝尸+/BA尸
^ZBAC+ZBAF,即利用AB=AC可得AE=AE于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，
△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CF；
（2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1,AC〃DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/
AEB=NABE,根據(jù)平行線得性質(zhì)得/ABE=/8AC=45°,所以/AEB=/A8E=45°,
于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以3E=J5AC=&，于是利用
求解.
【解答】（1）證明：:△AEP是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，
：.AE=AB,AF=AC,ZEAF=ABAC,
：.ZEAF+ZBAF^ZBAC+ZBAF,即/EAB=ZFAC,
?：AB=AC,
：.AE^AF,
：.△AEB可由LAFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,
：.BE=CF；
（2）解：：四邊形ACOE為菱形，AB=AC=1,
.,.OE=AE=AC=AB=1,AC//DE,
：.ZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,
：.ZAEB=ZABE=45°,
AABE為等腰直角三角形，
:.BE=?AC=M，
：.BD=BE-DE=yf2-
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所
連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了菱形的性質(zhì).
20.二次函數(shù)y=aN+6尤+cQW0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出不等式以2+bx+c>0的解集x<l或x>3；
（3）若方程0+6x+c=上有兩個不相等的實數(shù)根，則左的取值范圍是-2.
【分析】（1）把拋物線解析式設為頂點式求解即可；
（2）根據(jù)不等式的解集即為二次函數(shù)圖象在x軸上方時自變量的取值范圍求解即可；
（3）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根即二次函數(shù)>=狽2+法+。（“HO）與直線y=上有兩
個不同的交點進行求解即可.
解：（1）由題意得，二次函數(shù)與x軸的交點坐標為（1,0）,（3,0）,頂點坐標為（2,
-2),
???可設二次函數(shù)解析式為(x-2)2-2,
把(1,0)代入解析式得：0=〃(1-2)2-2,
解得。=2,
.??二次函數(shù)解析式為y=2(x-2)2-2=2x2-8x+6；
(2)由函數(shù)圖象可知不等式QN+Z?X+C>0的解集為xVl或x〉3,
故答案為：x<l或x>3；
(3)由函數(shù)圖象可知方程a^bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，即為二次函數(shù)y=
a^+bx+c(〃W0)與直線>=上有兩個不同的交點，
：.k>-2,
故答案為：k>-2.
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圖象法解一元二次不等式，一
元二次方程與二次函數(shù)綜合等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.已知關(guān)于x的一元二次方程N-2日+R+左+1=0有兩個實數(shù)根.
(1)試求左的取值范圍；
(2)若x；+x；=10，求左的值；
(3)若此方程的兩個實數(shù)根為XI,X2,且滿足|刈+|尤2|=2,試求4的值.
【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式A20,即可得出關(guān)于上的一元一次不等
式，解之即可得出左的取值范圍；
=
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得出XI+X2=2左，x?X2k^+k+l>結(jié)合xj+x，=10可得出關(guān)
于左的方程，解之即可得出上的值；
=2
(3)由(2)可知：x\+x2=2k,xjx2k+k+l>根據(jù)k^+k+h(k,)*〉0，可
得xiX2>0,即由|刈+|刈=2,可得x；+2lx/?|+xg=4，進而可得X；+2X[X2+X；=4,
則有(Xi+X2)2=4,即(2k)2=4,問題得解.
解：(1)???關(guān)于x的一元二次方程N-2fcv+R+Z+l=0有兩個實數(shù)根，
A=/?2-4ac=(-2k)2-4X1X(N+Z+l)20,
解得：k&-1；
(2))?方程]2-2"+R+好1=0的兩個實數(shù)根為XI,%2,
2
：.X\+X2=2k,X!X2=k+k+b
,**x?+xg=10，
「?x；+xg=(xi+乂2)2-2X]乂2二10，
???(2k)2-2(N+%+1)=10,
整理得：F-k-6=0,
解得：k=3或者k=-2,
;根據(jù)(1)有kW-1,
即k=-2；
(3)由(2)可知：xi+x2=2k,x?x2=k^+k+l>
7k2+k+l=(k+^-)4>0'
/.XlX2>0,
V|XI|+|X2|=2,
???(Ixi|+|x2I)2二4,
「?x；+2[x]乂2I+x：=4，
VxiX2>0,
.2+2=
***X]+2xjx2X24，
?1?(xj+x2)2=4，
(2k)2=4,
k—±1,
:根據(jù)(1)有％W-1,
即k=-1.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌
握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運用完全平方公式的變形是解題的
關(guān)鍵.
22.閱讀以下材料，并解決相應問題：
小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y=aix2+bix+ci(aiWO,ai,
bl,Cl是常數(shù))與丁=〃”2+歷計02(zWO,ai,歷，C2是常數(shù))滿足〃1+〃2=0,bl=b2,
C1+C2=O,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)>=2%2-3%+1的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，
小明是這樣思考的，由函數(shù)y=2N-3x+l可知，〃i=2,歷=-3,ci=l,根據(jù)m+〃2=0,
bl=bl,Cl+C2=0,求出〃2,岳，C2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
請思考小明的方法解決下面問題：
(1)寫出函數(shù)y=N-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
(2)若函數(shù)y=5N+(m+1)x+n與y=-5x2-nx-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求(m+n)2023
的值；
(3)已知函數(shù)y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點5的右側(cè))，
與y軸交于點C點A,B,。關(guān)于原點的對稱點分別是4,Bi,Ci,試證明：經(jīng)過點4,
Bi,G的二次函數(shù)與y=2(x-1)G+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
【分析】(1)由二次函數(shù)的解析式可得出“1,切，C1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可
求出〃2,求。2的值，此問得解；
(2)由函數(shù)y=5N+(徵+1)%+〃與y=-5N-九％-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出相，n
的值，將其代入(m+n)2。23即可求出結(jié)論；
(3)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A,B,C的坐標，結(jié)合對稱的性質(zhì)可
求出點4,Bi,。的坐標，由點4,Bi,G的坐標，利用交點式可求出過點4,Bi,
C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出bl.Cl,〃2,fc,C2的值，再由41+42
=0,b\=bi,ci+c2=0,可證出經(jīng)過點4,Bi,G的二次函數(shù)與函數(shù)y=2(x-1)(x+3)
互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
【解答】(1)解：由函數(shù)y=N-4x+3知，QI=1,bi=-4,ci=3,
V<71+(22=0,bi=bz,C1+C2—0,
?\a2=-1,bi=-4,C2=-3,
函數(shù)y=%2-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是y=-x2-4x-3；
(2)解：根據(jù)題意得：jm+1=-n,
ln
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