切平面和法線

關(guān)于切平面和法線第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天從而曲面在點(diǎn)的切平面方程為由于的任意性，可見曲面上過的任一條曲線在該點(diǎn)的切線都與正交，因此這些切線應(yīng)在同一平面上，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)的切平面，而就是切平面的法向量。在點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)）有第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天過點(diǎn)與切平面垂直的直線，稱為曲面在點(diǎn)的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天綜上所述若曲面方程為則該曲面在點(diǎn)的切平面方程為過點(diǎn)的法線方程為第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天設(shè)分別為曲面在點(diǎn)的法線與軸正向之間的夾角，那末在點(diǎn)的法線方向余弦為第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天若曲面方程為容易把它化成剛才討論過的情形：于是曲面在（這里）點(diǎn)的切平面方程為法線方程為第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個(gè)函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問題化為剛才已經(jīng)討論過的情形。代入方程，得因此需分別計(jì)算對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天將分別對(duì)求導(dǎo)，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有解方程組，得第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天法線方程于是曲面在點(diǎn)的切平面方程為第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1求球面在點(diǎn)的切平面及法線方程.解設(shè)則所以在點(diǎn)處球面的切平面方程為法線方程第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天曲面的夾角兩個(gè)曲面在交線上某點(diǎn)處的兩個(gè)法線的夾角稱為這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角。如果兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角等于90度，則稱這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)正交。若兩曲面在交線的每一點(diǎn)都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例2證明對(duì)任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點(diǎn)處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解切平面方程為法線方程為第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解令切平面方程法線方程第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第21