數(shù)學(xué)探究：楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

數(shù)學(xué)探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)體會(huì)研究數(shù)陣的方法、體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷程利用楊輝三角的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題鞏固二項(xiàng)式系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)問(wèn)題1：按照確定的順序排列的一列數(shù)是數(shù)列，如果研究的內(nèi)容從一維拓展到二維，那么將數(shù)字按照一定順序組合成的圖形就是數(shù)陣，你之前接觸過(guò)數(shù)陣嗎？賈憲開(kāi)方作法本源圖11世紀(jì)13世紀(jì)17世紀(jì)楊輝帕斯卡研究概率問(wèn)題“帕斯卡三角”<<從楊輝三角談起>>華羅庚20世紀(jì)問(wèn)題2：你知道楊輝三角的歷史由來(lái)嗎？一、認(rèn)識(shí)“楊輝三角”11121133114641151010511615201561

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1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行一、認(rèn)識(shí)“楊輝三角”問(wèn)題3：楊輝三角是按照怎樣的規(guī)則構(gòu)成的？問(wèn)題4：你認(rèn)為可從哪些方面探究楊輝三角？研究?jī)?nèi)容性質(zhì)應(yīng)用研究方法觀察歸納猜想證明研究方向局部整體楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)楊輝三角與數(shù)列楊輝三角的“形”11121133114641151010511615201561

1我們?cè)撊绾翁骄織钶x三角的性質(zhì)？如何觀察？二、“楊輝三角”的探究方向11121133114641151010511615201561

1橫看斜看橫看，斜看，豎看，連續(xù)看，隔行看等；采取畫(huà)一畫(huà)，連一連，算一算，進(jìn)行歸納和猜想.橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.二、“楊輝三角”的探究方向?qū)ΨQ(chēng)性：11121133114641151010511615201561

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1第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行遞推性：探究1：“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)11121133114641151010511615201561

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816324求和11121133114641151010511615201561

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20706求和第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行

聯(lián)想結(jié)構(gòu)，如何證明？探究1：“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)思考1：換個(gè)角度觀察楊輝三角，觀察由這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)思考2：第r斜列的通項(xiàng)為？

思考3：第r斜列通項(xiàng)對(duì)應(yīng)

的組合數(shù)為？······探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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172135352171第1行 11第0行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)

思考4：從每一斜列的和，你能提出哪些猜想？在第r+1條斜線(xiàn)上(從右上到左下)前n個(gè)數(shù)字的和，等于第r+2條斜線(xiàn)上的第n個(gè)數(shù).

文字語(yǔ)言：數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：楊輝三角簡(jiǎn)單應(yīng)用應(yīng)用1:楊輝《詳解九章算法》有一個(gè)這樣的問(wèn)題：三角垛，下廣，一面十二個(gè)，上尖，問(wèn)計(jì)幾何.應(yīng)用2:試底層是每邊堆n個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)，頂層是1個(gè)，求總數(shù).

探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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1615201561第7行

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14641第8行18285670562881······112358132134還可以用何種角度觀察？思考5：斜線(xiàn)上各行數(shù)字之和有什

么規(guī)律?試給出推理證明.

斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)文化拓展視野中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算術(shù)之法》中提出：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡．問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？

1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．

斐波那契數(shù)列與“兔子繁殖問(wèn)題”斐波那契探究3：“楊輝三角”的形第5行 15101051第6行 1615201561第7行172135352171第1行 11第0行 1第2行 121第3行 1331第4行 14641如果把相鄰的偶數(shù)與奇數(shù)分別標(biāo)出，會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？謝爾賓斯基三角形

類(lèi)比楊輝三角，你能得出哪些結(jié)論？三、類(lèi)比猜想主題升華四、小結(jié)與收獲知識(shí)鞏固了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；學(xué)習(xí)了楊輝三角的相關(guān)性質(zhì)利用楊輝三角的知識(shí)解決部分簡(jiǎn)單