專題14 圖形的相似（講義）（解析版）

專題14圖形的相似核心知識點精講1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題．3.掌握圖形相似的概念，能用相似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮小．【知識網(wǎng)絡(luò)】考點一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB≈0.618AB.考點二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點詮釋】結(jié)合兩個圖形相似，得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長.對于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.【題型1：比例線段】【典例1】下列四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，∴四條線段不成比例；B、，∴四條線段不成比例；C、，∴四條線段成比例；D、，∴四條線段不成比例．故選：C．1．若是成比例的線段，其中，，，則線段d的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題主要考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例線段的性質(zhì)列出比例式，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：∵是成比例的線段，∴，∴，即，解得：．故選：D．2．已知成比例的四條線段的長度分別為，，，，且的三邊長分別為，，，則是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．無法判定【答案】C【分析】本題考查了成比例線段和勾股定理的逆定理，掌握成比例線段定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出的值；然后再根據(jù)勾股定理的逆定理，確定三角形的形狀即可．【詳解】解：四條線段成比例，解得：；的三邊長分別為，，，，是直角三角形，故選：C．3．在比例尺為的某市旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路的實際長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例線段，熟練掌握利用比例尺靈活計算實際問題，掌握單位的換算，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)比例尺圖上距離實際距離，依題意設(shè)這條道路的實際長度為，則，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)：這條道路的實際長度為，則，解得：，故選：．【題型2：黃金分割點】【典例2】小穎同學(xué)是校園藝術(shù)節(jié)的主持人，學(xué)完黃金分割后她想，主持節(jié)目時如果站在舞臺長的黃金分割點的位置，會讓臺下的同學(xué)們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段，量得米，若點是線段的黃金分割點，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查黃金分割定理，解題關(guān)鍵是理解黃金分割的概念，熟悉黃金比的值．把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（）叫做黃金比，由此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：線段，點是黃金分割點，，．故選．1．如圖，冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，它泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點處，若玩偶身高，則玩偶嘴巴到腳的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行列式計算即可解答．【詳解】解：由題意得玩偶嘴巴到腳的距離為：故選：A．2．如圖，C是線段的黃金分割點，，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義得出，即可得到答案．【詳解】解：C是線段的黃金分割點，，，故選D．3．黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，是因為它符合人們的視覺習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例”的鸚鵡螺，點是線段的黃金分割點，，若，那么的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了黃金分割的有關(guān)計算，根據(jù)黃金分割的定義得到，把代入計算即可得到答案．【詳解】解：點是線段的黃金分割點，，，，故選：C．4．已知線段的長度為，點是線段的黃金分割點，則的長度為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了黃金分割點的定義，根據(jù)黃金分割點的定義分兩種情況求解，熟記黃金分割點的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時，∵點是線段的黃金分割點，∴，即，解得，（不合，舍去），∴；當(dāng)時，∵點是線段的黃金分割點，∴，即，解得，，∵，∴不合，舍去，∴；綜上，或，故選：．【題型3：相似四邊形】【典例3】如圖，把一張矩形紙片ABCD沿著AD和BC邊的中點連線EF對折，對折后所得的矩形正好與原來的矩形相似，則原矩形紙片長與寬的比為（

）A．4：1 B． C． D．2：1【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來矩形的長，就可得到一個方程，解方程即可求得．【詳解】根據(jù)條件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，∴，∵E為AD中點∴∴，∴，∴，∴原矩形紙片長與寬的比為故選B【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對應(yīng)邊的比相等，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題，正確分清對應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵．1．如圖，取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊a、b應(yīng)滿足的條件是（

）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝4b【答案】B【分析】根據(jù)對折表示出小長方形的長和寬，再根據(jù)相似多邊形的判定，對應(yīng)邊成比例列式計算即可．【詳解】解：對折兩次后的小長方形的長為b，寬為，要使小長方形與原長方形相似，只要滿足即可，∴．故選：B．【點睛】本題考查了相似多邊形的判定，準(zhǔn)確表示出小長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．2．裝裱一幅寬長的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的上下的寬都為，若裝裱上去的左右部分的寬都為，則．【答案】10【分析】根據(jù)相似圖形對應(yīng)邊成比例即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，∴，解得：．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握形似的圖形對應(yīng)邊成比例．3．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．點E在矩形ABCD的邊BC上，連結(jié)AE，將矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的點B落在邊AD上的點F處，得到矩形CDFE．若矩形CDFE與原矩形ABCD相似，則AD的長為．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，故答案為：．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．4．如圖，正方形ABCD中，點E是對角線BD上的一點，BE=BC，過點E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為點F，G，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比為．【答案】【分析】設(shè)BG=x，則BE=x，即BC=x，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.【詳解】設(shè)BG=x，則BE=x，∵BE=BC，∴BC=x，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，圖形相似的的性質(zhì).解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相關(guān)邊長的比.【題型4：相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用】【典例4】如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點處與地面的距離為1.6米，且滿足，若盲區(qū)的長度是6米，則車寬的長度為（

）米．A． B． C． D．2【答案】B【詳解】解∶如圖，過點P作于點Q，交于點M，設(shè)米，∵，∴米，根據(jù)題意得：四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，解得：，∴米，即車寬的長度為米．故選：B．1．如圖，在中，點是的重心，過點作分別交邊、于點，聯(lián)結(jié)，那么．【答案】/【分析】聯(lián)結(jié)并延長交于，根據(jù)重心的概念得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：先證明：重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍；由點為的重心，聯(lián)結(jié)，，并延長交，，于，，，則由三角形中線性質(zhì)可得：，，，，，則，，∴，則，即：，即：重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍；聯(lián)結(jié)并延長交于，∵為的重心，∴，則，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴與的高相等，則，故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．2．如圖，G是的重心，延長交于點D，延長交于點E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．【答案】1【分析】連接，延長交于F點，連接，由G是的重心，可證是的中位線，從而可求出的長．利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到，，再證明得到即可．【詳解】解：連接，延長交于F點，連接，如圖，

∵G是的重心，∴D、E分別是的中點，∴是的中位線，∴．∵P點是的重心，∴F點為的中點，，∵Q點是的重心，∴點Q在中線上，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．3．如圖，某水平地面上建筑物的高度為，在點和點處分別豎立高是的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿相隔，并且建筑物、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到點處，在處測得建筑物頂端和標(biāo)桿頂端在同一條直線上；從標(biāo)桿后退到點處，在處測得建筑物頂端和標(biāo)桿頂端在同一直線上，則建筑物的高是

【答案】54【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得出，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，解得：，解得：，即建筑物的高是．故答案為：54．4．如圖，數(shù)學(xué)興趣小組下午測得一根長為的竹竿影長是，同一時刻測量樹高時發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上，測得留在墻壁上的影高，地面上的影長為．請你幫算一下，樹高是．【答案】【分析】此題考查了平行投影，相似三角形的應(yīng)用；在同一時刻任何物體的高與其影子的比值是相同的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同，利用這個結(jié)論可以求出樹高．【詳解】解：如圖，設(shè)是在地面的影子，樹高為，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得，則，解得：，樹在地面的實際影子長是，竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得：，解得：，樹高是．故答案為：．1．長春軌道交通6號線預(yù)計于2024年開通運營，在比例尺為的地圖上，量得全線長約為，則軌道交通6號線的實際距離約為．【答案】30【分析】本題考查了比例尺，關(guān)鍵是理解比例尺的概念，掌握計算方法，但要注意單位的轉(zhuǎn)換．根據(jù)比例尺圖上距離：實際距離，按題目要求解答即可．【詳解】解：根據(jù)比例尺圖上距離：實際距離，得：軌道交通6號線的實際距離約為：，．故答案為：30．2．已知線段b是線段a，c的比例中項，，，那么cm．【答案】【分析】本題考查線段的比例中項，根據(jù)線段比例中項定義得到是解答的關(guān)鍵．根據(jù)線段的比例中項定義求解即可．【詳解】解：∵線段b是線段a，c的比例中項，∴，又，，∴．故答案為：．3．“黃金分割”給人以美感，它不僅在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在大自然中處處有美的痕跡，一片小小的樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是cm．【答案】【分析】本題考查了黃金分割，難度較小，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義，可得，然后進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵P為的黃金分割點，的長度為，∴，故答案為．4．如圖，樂器上的一根弦的長度為，兩個端點A、B固定在樂器板面上，支撐點C是弦靠近點B的黃金分割點，則線段的長度為cm．（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：黃金分割數(shù)：）

【答案】【分析】本題考查黃金分割點的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義．根據(jù)黃金分割的定義直接求解即可．【詳解】解：∵C是弦靠近點B的黃金分割點，，∴，故答案為：．一、選擇題1．如圖，點為的重心，，，連接并延長交于點，作于點，過點作交于點，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出．設(shè)，則．再根據(jù)重心的定義與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出，，然后利用平行線分線段成比例定理得出，進(jìn)而求出．本題考查了三角形重心的定義與性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，也考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，難度適中．【詳解】解：∵，，∴．設(shè)，則．∵點為的重心，，連接并延長交于點，∴，，∵，∴，∴，∴．故選：B．2．如圖，點為的重心，若，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形重心的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)推出【詳解】連接并延長交于,過作于M，過作于,

∴，，∴，∵是的重心，，，，，，，，故選:C.3．如圖，在中，點在邊上，連接交于點，若，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，利用平行線判定，結(jié)合計算選擇即可．【詳解】．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．4．如圖，，相似比為2，已知的長為2，則的長為（）A．8 B． C．6 D．4【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，相似比為2，∴∵的長為2，∴，，故選：A5．如圖，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，則稱點P為△ABC的布洛卡點．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ＝1，則EQ+FQ＝（）A．5 B．4 C．3+ D．2+【答案】D【分析】根據(jù)新定義得∠2=∠3,△DQF∽△FQE,運用對應(yīng)邊成比例即可解題.【詳解】解：如下圖,在等腰直角三角形DEF中,∠EDF＝90°，DE=DF,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°,∴∠QEF=∠DFQ,∵∠2=∠3∴△DQF∽△FQE,∴===,∵DQ＝1，∴FQ=,EQ=2,∴EQ+FQ＝2+故選D.【點睛】本題考查了新定義和三角形的相似,屬于簡單題,通過新定義證明三角形的相似是解題關(guān)鍵.6．《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端觀察井水水岸，視線與井口的直徑交于點，通過測量，，的長度，可以推算出水面以上部分的高度，這種測量原理，就是我們所學(xué)的（

）A．圖形的平移 B．圖形的旋轉(zhuǎn) C．圖形的軸對稱 D．圖形的相似【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用的知識點，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)；善于從實際問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，，，，∴根據(jù)測量，，的長度可以求出的長度，∴這種測量原理利用的是圖形的相似．故選：D．7．如圖，周末小新一家來到河北石家莊正定古城游元，一座古塔塔高為，小新在距離古塔的位置觀看古塔時，與觀看到的手中的景點地圖的古塔縮略圖感覺相同（），若縮略圖中的古塔高為，則縮略圖距離眼睛的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解是關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗符合題意；故選A8．如圖1，一長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣．圖2是此時的示意圖，若，，水面離桌面的高度為，則此時點C離桌面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點C作桌面的垂線，垂足為點M，交于點N；過點B作桌面的垂線，垂足為點P；根據(jù)題意易得，通過證明，求出，再根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過點C作桌面的垂線，垂足為點M，交于點N；過點B作桌面的垂線，垂足為點P，∵水面離桌面的高度為，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，根據(jù)勾股定理可得：，∴，即此時點C離桌面的高度為．故選：C．二、解答題9．如圖，在中，點分別在上，，，，與交于點.（1）求證：；（2）連接，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件先證明DG∥AC，EF∥AB，可得∠HGF=∠C，∠HFG=∠B，即可證明△HFG∽△ABC，從而可得結(jié)論；（2）連接DF，EG，DE，證明四邊形DFGE和ADHE是平行四邊形，即可證得結(jié)論.【詳解】∵AB=3AD，BF=FG=CG，∴BD=2AD，BG=2CG，∴,∴DG∥AC,同理可得，EF∥AB，∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，∴△HFG∽△ABC，∴，即；（2）連接，DE,如圖所示，∵EF∥AB，∴,∵GF=FB∴=1，∴GH=HD，同理可證，F(xiàn)H=EH，∴四邊形DFGE是平行四邊形，∴DF∥EG，∴∠FDG=∠EGD，∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，∵∠DHE=∠FHG，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=，由EF∥AB，DG∥AC,得四邊形ADHE是平行四邊形，∴∠A=∠DHE，∴【點睛】此題主要考查了平行線分線段成比例的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相減的判定與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.10．如圖1，是的高，點E，F(xiàn)分別在邊和上，且．由“相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比”可以得到以下結(jié)論：．

(1)如圖2，在中，，邊上的高為8，在內(nèi)放一個正方形，使其一邊在上，點M，N分別在，上，則正方形的邊長＝______；(2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm，底邊長為120cm的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用平行于底邊的隔板，每間隔10cm分隔出一層，再將每一層盡可能多的分隔成若干個開口為正方形的長方體格子，要求每個格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒，平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊的長度看作是第0層隔板的長度；①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隔板厚度忽略不計時，每層平行于底邊的隔板長度（單位：cm）隨著層數(shù)（單位：層）的變化而變化．請完成下表：層數(shù)/層0123…隔板長度/cm120__________________…②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？【答案】(1)；(2)①105，90，75；②最多可以擺放40瓶葡萄酒.【分析】（1）過A點作于D，交于E，設(shè)正方形的邊長為x，根據(jù)即可求出x的長，即正方形的邊長.（2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得cm，由勾股定理可求得cm.設(shè)第1層、第2層、第3層的隔板長度分別為、、，由閱讀理解的結(jié)論可分別列方程求解.②設(shè)第n層隔板的長度為，列出比例式，求出與n的關(guān)系式，則可求出最多可擺多少層，每層隔板的長度及每層擺多少瓶，最后求出一共可擺多少瓶即可.【詳解】（1）

如圖，作于D，交于E，由閱讀理解的結(jié)論得，設(shè)正方形的邊長為x，則，解得.故答案為：（2）

如圖，作于D，

①設(shè)第1層，第2層，第3層隔板的長度的分別為，則，解得.，解得.，解得故答案為：105，90，75.②第n層隔板的長度的分別為，則，得，因此得，∴最多可擺7層，第1層可擺（瓶），第2層可擺（瓶），第3層可擺（瓶），第4層可擺（瓶），

第5層可擺（瓶），第6層可擺（瓶），第7層可擺（瓶），

共（瓶），∴該展臺最多可擺40瓶葡萄酒.【點睛】本題主要考查了“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”，根據(jù)此比例式找出y與x之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.一、單選題1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別交于點D，E，交于點F，，，則的長為（）

A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】先證得四邊形是平行四邊形，得到，再利用平行線截線段成比例列式求出即可．【詳解】∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．【詳解】解：∵中，，∴，∵∴，故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例”．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當(dāng)點E為的中點時，如圖，

∴，②當(dāng)點E為的四等分點時，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點為邊的中點，連接，過點作于點，連接交于點，平分交于點．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時，A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】①根據(jù)題意可得，則，即，又,即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，即可判斷②；過點分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)②的結(jié)論求得，勾股定理求得，即可判斷③．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設(shè)正方形的邊長為，∵點為邊的中點，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，

又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設(shè)，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得求解即可．【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴

∴，即該雕像的下部設(shè)計高度約是1.24m，故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=，再