湖南省長沙市中建五局中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

湖南省長沙市中建五局中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部和虛部分別為A.7，－3i B.－7，3 C.－7，3i D.7，－3參考答案：D【分析】先化簡復(fù)數(shù)z,再確定復(fù)數(shù)z的實部和虛部.【詳解】由題得，所以復(fù)數(shù)z的實部和虛部分別為7和-3.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的實部虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2)注意復(fù)數(shù)的實部是a,虛部是“i”的系數(shù)b，不包含“i”,不能寫成bi.2.不等式組表示的平面區(qū)域繞著原點旋轉(zhuǎn)一周所得到的平面圖形的面積為A．B．C．

D．參考答案：D3.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于,兩點,為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為,的面積為,則的值為(

)

(A)

(B)

(C)

(D) 參考答案：C4.設(shè)集合A=，Z為整數(shù)集，則A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題：，，

的共軛復(fù)數(shù)為，的虛部為.其中的真命題為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C6.

定義一種運算：，已知函數(shù)，那么函數(shù)的大致圖象是（

）參考答案：B7.下列對應(yīng)關(guān)系：①：的平方根②：的倒數(shù)③：④：中的數(shù)平方其中是到的映射的是（

）A．①③

B．②④

C．③④

D．②③參考答案：D略8.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有一個小球，且每個盒子里的小球個數(shù)都不相同，則不同的放法有（

）種A.15 B.18 C.19 D.21參考答案：B略9.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且2f′（x）＞1，當(dāng)x∈[﹣，]時，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集為（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=0，進(jìn)而根據(jù)f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，則g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，則g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故選：D10.《九章算木》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形，該“陽馬”的體積為，若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（

）正視圖側(cè)視圖A.8π B. C.12π D.24π參考答案：D如圖所示，，，由該“陽馬”的體積，，設(shè)該“陽馬”的外接球的半徑為，則該“陽馬”的外接球直徑為，所以，該陽馬的外接球的表面積為.試題立意：本小題主要考查空間幾何體與球的組合體，球與三棱錐的切接問題，三棱錐的體積公式；考查空間想象能力及分析問題解決問題的能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，為單位向量，其中，，且在上的投影為，則與的夾角為

．參考答案：．設(shè)與夾角為，則，解得，所以．故填．【解題探究】本題考查向量的基本運算及單位向量、向量的投影概念的理解．解題關(guān)鍵是對向量投影的理解：若已知向量，，則在上的投影為．12.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：（） [）13.已知函數(shù)．若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是．參考答案：【考點】52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】由題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有二個不同的交點，結(jié)合圖象求出實數(shù)k的取值范圍．【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有二個不同的交點，如圖所示：故實數(shù)k的取值范圍是，故答案為．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．14.用S（）表示自然數(shù)n的數(shù)字和，例如：S（10）=1+0=1，S（909）=9+0+9=18，若對于任何，都有，滿足這個條件的最大的兩位數(shù)的值是

．參考答案：9715.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，則直線和曲線C的公共點有

個．參考答案：116.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,,,則此數(shù)列前項和等于

.參考答案：17.全集求集合.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1，b2，b3，b4的公差為d，且．記（i???1，2，3，4）．

（1）求證：數(shù)列不是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，．若數(shù)列是等比數(shù)列，求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

（3）數(shù)列能否為等比數(shù)列？并說明理由．參考答案：（1）假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，

則，即．

因為是等差數(shù)列，所以．從而．

……2分

又因為是等比數(shù)列，所以．

所以，這與矛盾，從而假設(shè)不成立．

所以數(shù)列不是等差數(shù)列．

……4分

（2）因為，，所以．

因為，所以，即，……6分

由，得，所以且．

又，所以，定義域為．……8分

（3）方法一：

設(shè)c1，c2，c3，c4成等比數(shù)列，其公比為q1，

則

……10分

將①+③－2×②得，

將②+④－2×③得，

……12分

因為，，由⑤得，．

由⑤⑥得，從而．

……14分

代入①得．

再代入②，得，與矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比數(shù)列．

……16分

方法二：

假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則．

……10分

所以，即．

兩邊同時減1得，．

……12分

因為等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，所以．

又，所以，即．

……14分

這與且矛盾，所以假設(shè)不成立．

所以數(shù)列不能為等比數(shù)列．

……16分19.已知函數(shù)f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期為π．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若a，b，c分別為△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊，角A是銳角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）由，又角A是銳角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，從而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是銳角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)在點的切線方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設(shè)，求證：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求證：.參考答案：（Ⅰ）將代入切線方程得，∴，…………２分化簡得.，……………４分，解得：.∴.…………６分

（Ⅱ）由已知得在上恒成立，化簡，即在上恒成立.…………７分設(shè)，，

…………８分∵

∴，即，…………９分∴在上單調(diào)遞增，，∴在上恒成立.…………１０分

（Ⅲ）∵，

∴，由（Ⅱ）知有，……12分整理得，∴當(dāng)時，.…………14分21.

設(shè)數(shù)列{}滿足：a1=5，an+1+4an=5，(nN*)

(I)是否存在實數(shù)t，使{an+t}是等比數(shù)列?

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列bn=|an|，求{bn}的前2013項和S2013．參考答案：解：（I）由得

令，…………2分

得則，

………4分

從而.

又,

是首項為4，公比為的等比數(shù)列,存在這樣的實數(shù)，使是等比數(shù)列.

………6分（II）由（I）得.

………7分

………………8分

…9分

………………10分

……………12分略22.某中學(xué)為豐富教職工生活，在元旦期間舉辦趣味投籃比賽，設(shè)置A，B兩個投籃位置，在A點投中一球得1分，在B點投中一球得2分，規(guī)則是：每人按先A后B的順序各投籃一次（計為投籃兩次），教師甲在A點和B點投中的概率分別為和，且在A，B兩點投中與否相互獨立（1）若教師甲投籃兩次，求教師甲投籃得分0分的概率（2）若教師乙與教師甲在A，B投中的概率相同，兩人按規(guī)則投籃兩次，求甲得分比乙高的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）設(shè)“教師甲投籃得分0分”為事件A，利用對立