新教材蘇教版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè) 同步試題 3

3.1橢圓

一、單選題

22

1.已知命題?方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則使命題。成立的充分不必要條件是（）

5-mm-1

A.3<m<5B.4<m<5C.1<m<5D.m>1

【答案】B

22

【解析】若方程上二+—=i表示焦點(diǎn)在v軸上的橢圓，

5—mm-1

貝ij加一1>5—冽>0,解得：3<m<5.

所以。成立的充要條件是：3<%<5.

結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知：〃成立的充分不必要條件是4<小<5,

故選：B.

2.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率萬(wàn)

等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)內(nèi)、耳在了軸上，橢圓。的面積為

2曷,且離心率為:，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.—+^=1B.—+y23=lC.—+^=1D.—+^-=1

4312-34163

【答案】C

【解析】由題意可知，橢圓。的面積為7rHj=26乃，且。、b>。均為正數(shù),

ab=2^/3(n-7

Cl一乙

即<上=]，解得<b=6,

a2

2L2,2C=1

a=b+cI

22

因?yàn)闄E圓。的焦點(diǎn)在V軸上，所以。的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.故選：C.

34

fp2----------------4

3.橢圓E：?+方=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、耳，E上存在兩點(diǎn)A、8滿足與4=2鳥8,

則E的離心率為（）

A.@B.1C.—D.1

【答案】A

【解析】作點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C，連接84、CR、C耳、BC,

則。為BC、4片的中點(diǎn)，故四邊形%C8為平行四邊形，故巾〃8耳且|。周=怛閶，則比=月瓦

所以，耳1=2百，故A、耳、C三點(diǎn)共線,

由橢圓定義，以用+M閭=2。，有以百|(zhì)=+,所以|CR=(則|/C|=。,

再由橢圓定義|國(guó)+朋卜如，有|血音，

因?yàn)閨C工『=|/。2+|/月「，所以/。￡=90。，

在△/￡￡中，山聞2="『+M「即4c2=*,所以，離心率e=g.

故選：A.

2235

4.已知廠是橢圓C:土+匕=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)N2,*在C上，直線/尸與V軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)尸為。上的

m15I2J

動(dòng)點(diǎn)，則莎?麗的最小值為()

51151315

A.-B.—C.——D.——

4444

【答案】C

【解析】由題可得22{Tj，

m15

m=16,即橢圓C:」一+匕=1,

1615

..?尸(1,0),直線N尸方程為y=竽卜-1),

設(shè)〃(/，%)，則^7+^~=1，P4=2—Xo，^y0,PB=f-x0,-yJ,

1615I2)\2)

2c245

=%o_2%+%-

2cy15245

=兀-2x0+15--x0--

1949

二77(X()T6)--—,X-4<x0<4,

lo4

13

當(dāng)尤。=4時(shí)，西.而有最小值為-

故選：C.

5.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。,頂點(diǎn)分別是4,4出，鳥，焦點(diǎn)分別為耳心，延長(zhǎng)8區(qū)與44交于尸點(diǎn)，

若為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為()

【答案】D

【解析】解：由題意，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為。，b,c,則瓦五=Q-6),電=(-c,-b),

因?yàn)?呂尸4就是瓦Z與耳瓦的夾角，所以瓦石與耳瓦的夾角為鈍角，

所以易其■內(nèi)耳<0；W-ac+b1<0,又以=02-c2,

所以/-ac-c?<0,兩邊同時(shí)除以1,得1-e-e？vO,即J+e-l>。，

解得e<±苴或e>士正，又0<e<l,

22

所以二1土好<e<l,

2

所以橢圓離心率的取值范圍為，

故選：D.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若M8C的頂點(diǎn)/(0,-2)和C(0,2),頂點(diǎn)8在橢圓4+:=1上，則理4±吧￡

12Xsin5

的值是()

A.V3B.2C.273D.4

【答案】A

【解析】由題設(shè)知：4c為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，而8在橢圓上，

所以|/3|+|C5|=2a=4G,\AC\^2c=4,

人丁令…%sin/+sinC\AB\+\CB\/-

由正弦定理邊角關(guān)系知：:—B=?Ary=J3.

故選：A

7.已知點(diǎn)”(4,0)和B(2,2),M是橢圓二+片=1上的動(dòng)點(diǎn)，貝l]|1+||最大值是()

259

A.10+2V10B.10-2710C.8+V10D.8-V10

【答案】A

22

【解析】解：橢圓二+匕=1,所以A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為廠(-4,0),

259

則由橢圓定義+13^=2。=10,

當(dāng)州不在直線8F與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，“、尸、8三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是|"BH肱7K8尸|,

而當(dāng)M在直線B尸與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有|MBH"F1=T3用，

在第三象限交點(diǎn)時(shí)有1m3-1〃^=18尸|.

顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)|加圖+1"例有最大值，其最大值為

lA?I+IAffi^lO+IAffil-IA/F|=10+15^|=10+7(2+4)2+(2-0)2=10+2710.

故選：A.

?2,,2

8.已知橢圓U-y+^Oa%〉。),工，生為。的左、右焦點(diǎn)，尸(九")(僅>0,”0)為C上一點(diǎn)，且△尸與心的內(nèi)

心/（s,l）,若△尸片工的面積為26,則〃的值為（)

【答案】C

【解析】由題意可得，△尸耳外的內(nèi)心/GJ）到x軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.又點(diǎn)P在橢圓C上，

e

|尸耳|十|P7^|+㈤6|=2Q+2c,:.SZg=；（2Q+2c）xl=a+c=2b.又c=ea,:.b=〃；）,

?二〃2=62+q2e」=Q2,即（1+。2+4e?=4,.?.5e2+2e—3=0,解得e=1或一1（舍），:.c=^a,b=^a.

]338

又s4M=^\FiF^n=cn,:.-a+a=-an,解得

故選：C.

二、多選題

9.（多選）設(shè)定點(diǎn)￡（0,-3）,&（0,3）,動(dòng)點(diǎn)尸滿足忸凰+忸司=。+，（。＞0）,則點(diǎn)尸的軌跡可能是（）

A.圓B.線段C.橢圓D.直線

【答案】BC

【解析】由題意知，定點(diǎn)片（0廠3）,乙（0,3）,可得比囚=6,

因?yàn)?0,可得|尸片|+歸閭=.+222/119=6,

9

當(dāng)且僅當(dāng)。=—,即。=3時(shí)等號(hào)成立.

a

當(dāng)0+：=6時(shí)，可得的|/狎+|尸典=|百用，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是線段耳巴；

當(dāng).+三＞6時(shí)，可得『狎+|尸圖＞閨閭，此時(shí)點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

a

故選：BC.

22

10.已知橢圓鼻+與=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳，F(xiàn)],P是橢圓上一點(diǎn)，若歸團(tuán)=2|尸匕則橢圓

ab

的離心率可以是（）

1112

A.—B.—C.-D.—

5433

【答案】CD

【解析】由橢圓的定義，可得史周+P用=0.

47

又附|=2熙所以附卜=鏟,\PF2\=-a.

①當(dāng)點(diǎn)P與耳，耳不共線時(shí)，在△咫工中，戶周-歸周〈國(guó)周，

2c1

即*a〈2c,所以e=±＞上.

3a3

②當(dāng)點(diǎn)尸與耳，鳥共線時(shí)，分析知|夕周二〃+。，

1

所以。+c=2（〃一。），即”=3c,所以？=—=—.

a3

綜上，橢圓的離心率的取值范圍是!」），

故選：CD.

11.某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心廠為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)A（離

地面最近的點(diǎn)）距地面〃?千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)3（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面九千米，并且R48三點(diǎn)在同一直

線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圈的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a、26、2c,則

A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=個(gè)（m+R）（n+R）

【答案】ABD

【解析】因?yàn)榈厍虻闹行氖菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，

[m=a-c-R

并且根據(jù)圖象可得口，行）

[n=a+c-R

:.a-c=m+R,故A正確；

a+c=n+R,故B正確；

（*）兩式相力口加+〃=2。一27?,可得2。=加+〃+27?,故C不正確；

由（*）可得《〃+R_a+c，兩式相乘可得（〃2+火）（"+尺）=。一。

Va2-c2=b2，

:.b2=（m+R）（n+R）nb=個(gè)（jn+R）/+尺）,故D正確.

故選ABD

22

12.已知橢圓C:二+匕=1上有一點(diǎn)尸，耳、心分別為其左右焦點(diǎn)，有睡=9,△片尸匕的面積為S,則

169

下列說法正確的是（）

A.若。=60。，則S=3。；B.若S=3,則滿足題意的點(diǎn)尸有4個(gè)；

C.若△片尸工是鈍角三角形，則Se0,D.橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最小值為12.

【答案】ABC

【解析】由橢圓C:工+貴=1可得。=4,6=3,則0=新,

169

m+n=2a7A2

對(duì)于A,設(shè)歸用=加,|尸聞=〃/耳尸工=8,則…22、“，由此可得""?=，所以

4c=m+n-2冽〃cos〃1+cos0

△片的面積為5=工加幾sin9=------sin0=62-S^n=b2tan—

221+cos01+cos02

所以S=62tan'=9xtan30°=3g,所以A正確，

2

對(duì)于B,因?yàn)镾=；|片居|/=；X2V7〃=3,則“=手＜6=3,所以由橢圓的對(duì)稱性可知滿足題意的點(diǎn)尸有4

個(gè)，所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)椤鞫氢g角三角形，所以△耳尸區(qū)中有一個(gè)角大于90。，當(dāng)/尸鳥￡=90。時(shí)，設(shè)

戶公|=%|尸用=〃，則加2="+4。2=,『+28,因?yàn)榧?〃=2。=8,所以解得門=；,所以

S=；|單寸尸居|=gx2j7x；=字，所以△平”是鈍角三角形時(shí)，有Se,苧，所以C正確,

x=4cos。(JI\

對(duì)于D，令。.A，0,-,則橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為

=3sin6I2)

4(3sin0+4cos0)=16cos夕+12sin0=2O^-|sin0+yCOS0^=20sin(6+0)(其中0e且滿足

sin^^1,cos=|),由得0+夕+(),所以橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的范圍為

20sin[夕+]J,20sin%|,即（12,20],所以D錯(cuò)誤,

2J

故選：ABC

三、填空題

13.已知凡是橢圓,+/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓上，尸鳥，x軸，則人尸大片的面積為.

【答案】1##:世

22

【解析】由題意不妨設(shè)￡(-⑺，0),月(6，0),

:「鳥Lc軸,:.Pg，±7).

；AP片工的面積=；/耳||耳月尸;x；x2百=1,

2222

故答案為：2.

的面積等于4.則實(shí)數(shù)b的值為.

【答案】2

【解析】由題設(shè)，，2小|力|=可力=4,且(-c-Xp,-%)-(c-Xp,-%)=0,可得/入？-",

又c：￥+*=￡^zL+去=1,貝U|力|=Q,

ababc

綜上，〃=4,又6〉0,貝！Jb=2.

故答案為：2

22

15.已知橢圓氏上+匕=1的一個(gè)頂點(diǎn)為“(2,0),對(duì)于x軸上的點(diǎn)P&0),橢圓E上存在點(diǎn)使得

43

MPLMH,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

【答案】(-2,-1)

22

【解析】設(shè)2</<2),則乎年=1,①

A/P=(看一%0，-％),MH=(2-x0,-j^0),

由■可得話.礪=0，即（"Xo）（2-Xo）+y；=0,②

由①②消去外,整理得《2-%）=-/；+2%-3,

13

因?yàn)橛瘢?2,所以，=工/一］，

因?yàn)橐?</<2,所以_2</<_1,

所以實(shí)數(shù)f的取值范圍為（-2,-1）.

故答案為：（-2,-1）.

16.已知橢圓。的焦點(diǎn)片卜2逝,0）,工（2&,0）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線V=x+2交橢圓。于A,8兩點(diǎn)，則線

段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】［-|4）

【解析】由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在工軸上，其中c=2也，。=3,從而6=1,

...其標(biāo)準(zhǔn)方程是：y+/=l,

2

X21

----FV=1

聯(lián)立方程組｛2?,消去了得，10.，+36&+27=0.

y=x+2

設(shè)/（“乂）、8（%力），線段的中點(diǎn)為M（x。，%）,則%+%=-g,玉,=土產(chǎn)=_|,

191

???%=/+2=不，即線段45中點(diǎn)坐標(biāo)為（一《,1）.

,,Q1

故答案為：（--，—）

四、解答題

17.已知△ZBC底邊兩端點(diǎn)5（0,6）、C（0,-6）,若這個(gè)三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為-:，求點(diǎn)/

的軌跡方程.

【解析】設(shè)/（》4）且xwo,則的/"=匕心?匕2==亞=-+，

xxx9

22

整理得：/的軌跡方程二+匕=l（xw0）.

8136'7

18.已知圓C滿足:圓心在直線x+y=0上，且過圓/+產(chǎn)2工+10y-24=0與圓/+產(chǎn)+2了+2/-8=0的交點(diǎn)/,B.

（1）求弦所在直線的方程；

（2）求圓。的方程.

x2+y2-2x+l0y-24=0

【解析】（1）由得x—2y+4=0

x?+j;2+2x+2y-8-0

故弦AB所在直線的方程為x-2》+4=0

x=-4x=0

(2)由解得尸。或

>=2

故，(一4,0),8(0,2)

設(shè)圓心C(a,—。),由(a+4)2+.2=/+(°+2)2,解得a=—3,即C(—3,3)

r2=a2+(?+2)2=9+l=10,故圓C的方程為(x+3)?+3-3)?=10

19.已知直線/：mx-y+2-m=0,。。的方程為*+/-2x-4y=0.

⑴求證：/與。C相交；

（2）若/與。C的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，求的面積最大值.（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

【解析】⑴

由直線/：mx-y+2-m=0,得加（無(wú)一l）+2-y=0,

（%—1=0Ix=1

由2-尸0可得y=2'所以直線/過定點(diǎn)尸（L2），

由圓C：x2+j^2-2x-4y=0KTW(^-l)-+(y-2)-=5,

可得圓心坐標(biāo)C（l,2）,從而可得直線/過圓心，貝I"與。C相交;

（2）

因?yàn)橹本€/過圓C的圓心，所以|/同=2退,

因?yàn)镺點(diǎn)在圓。上，則C到直線距離的最大值為|。。=店,

所以的面積最大值為《x2V^xV^=5.

2

x2,y2

20.已知點(diǎn)P是橢圓=l(a>b>0)上一動(dòng)點(diǎn),4（-亞0）,￡（80）分別為橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),

/與尸片的最大值為90。，圓。〃+/=2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓。上任意一點(diǎn)。作圓的的切線交橢圓。于點(diǎn)M,N,求證：以MN為直徑的圓過點(diǎn)。.

【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)處時(shí)，4尸巴最大,而NFFB的最大值為90。，則有b=C=百，/=〃+°2=6,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為t+F=l;

63

（2）過點(diǎn)0的圓。的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=-近或x=&，由橢圓及圓的對(duì)稱性，不妨令切線

為x=V2,

由⑴可得”（亞,VI）,N（亞，-&）,OM=（V2,V2）,ON=（V2,-72）,于是得的.麗=0，即（W_LON,

ImIrr

過點(diǎn)。的圓O的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為i=丘+"，則有樂再收’即m2=2k2+2，

y=kx+m

消去y得:（2k2+l）x2+4kmx+2m2-6=0,

x2+2y2=6

顯然圓O在橢圓。內(nèi)，則圓。的每一條切線都與橢圓。交于兩點(diǎn)，設(shè)“區(qū),必），N（x2,y2）f

4km2毋—6—-/、7VA7/X

玉+%=-—2—再％2=21，而=（占,乂），ON=（x2,y2）,

2左+12K+1

22

于是得OMON=x1x2+yxy2=xxx2+（何+m）（kx2+加）=（k+1）再X2+km（%+x2）+m

2（左2+1）（2加2—6）—4左2加2+加2Q左2+1）

2m-64k2m22

十加

2k2+12k2+12r+1

3加之—6左—63（2左2+2）—6左2—6?

=------------------------------=（J

2k2+12F+1

則有OM_LON,

綜上，過圓。上任意一點(diǎn)。作圓的的切線交橢圓C于點(diǎn)M,N,都有（WLCW,

所以，以九W為直徑的圓過點(diǎn)O.

Y2V21_

21.己知橢圓。:二+,=1（。>6>0）的離心率為5，左、右焦點(diǎn)分別為片，乙，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)?在橢圓

C上，且有P41=4,NRPF2=6Q°.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知過點(diǎn)（2,0）的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)。（8,0）,求證：ZMQO=ZNQO.

【解析】（1）在△耳尸E中，\PF2\=2a-4,-=^,4c2=16+（2"4『-4（2"-4）,

解得“=4,c=2,所以Z?=i2,則橢圓C的方程為：—+^=1.

1612

（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，易知NMQO=NN0。成立，

當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線/方程為x=fy+2,必）,N（%,%）

x=ty+2

'巨+且=1，消去X有