2023學(xué)年朝陽(yáng)市建平實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷附答案解析

2023學(xué)年朝陽(yáng)市建平實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷考試時(shí)間：120分鐘總分：150分2024.04一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．在等差數(shù)列中，若，則公差（

）A．1 B．2 C．3 D．42．若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．3．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（

）A．50 B．70 C．90 D．1104．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．5．已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．8096 B．8094 C．4048 D．40476．二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．70 C． D．7．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．226 B．228 C．230 D．2328．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長(zhǎng)，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開(kāi)始超過(guò)萬(wàn)元的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則B．設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位C．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱D．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若，則數(shù)列是等差數(shù)列11．已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，以線段為直徑作圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列正確的判斷有（

）A． B．為鈍角三角形C．點(diǎn)在圓外部 D．直線平分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.13．已知點(diǎn)，且F是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是.14．將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項(xiàng)不同的公益活動(dòng)中，每人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都需要有人參加，其中甲必須參加A活動(dòng)，則不同的分配方法有種．（用數(shù)字作答）四、解答題：本題共5小題，共77分15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，有，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.16．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且是與2的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列中，，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．如圖，在三棱柱中，在底面的射影為的中點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的大小.18．為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.年齡次數(shù)每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過(guò)2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)數(shù)據(jù)回答：是否有的把握認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六?星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步?籃球?羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步?籃球?羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)（為圓心），點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．1．B【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.2．C【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合代入法可以求出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以該?shù)列的周期為，于是有，故選：C3．B【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式計(jì)算即可.【詳解】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.4．A【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，所以，因?yàn)椋?故選：A5．D【分析】根據(jù)題中條件可知，倒序相加求和即可.【詳解】由，得,,,又，所以，所以.故選：D.6．D【分析】由，令得出后代入計(jì)算即可得.【詳解】，令，即，故，即展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D.7．A【分析】將數(shù)列分成偶數(shù)列和奇數(shù)列兩列數(shù)列處理即可.【詳解】由題可知數(shù)列的奇數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，此時(shí)，數(shù)列的偶數(shù)列是1，交替出現(xiàn)的波動(dòng)數(shù)列，此時(shí)，所以.故選：A.8．B【詳解】試題分析：設(shè)從2015年開(kāi)始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，由已知得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，故從2019年開(kāi)始，該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，故選B.【考點(diǎn)】增長(zhǎng)率問(wèn)題，常用對(duì)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問(wèn)題中平均增長(zhǎng)率問(wèn)題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)數(shù)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可求解．9．ABD【分析】由的方差公式可判斷A；x增加1個(gè)單位時(shí)計(jì)算y值與原y值比較可判斷B；由線性相關(guān)系數(shù)|r|的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，，則，所以，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若有一個(gè)回歸方程，變量x增加1個(gè)單位時(shí)，，故y平均減少5個(gè)單位，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，線性相關(guān)系數(shù)|r|越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，由于正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，則，正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算、線性回歸方程的相關(guān)計(jì)算、正態(tài)分布的概率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握有關(guān)概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．CD【分析】利用等比數(shù)列求和公式可判定A，利用累加法求通項(xiàng)可判定B，利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義可判定C、D.【詳解】對(duì)于A，，由，所以，即是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，則，利用累加法可知，顯然符合，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，則，顯然，所以是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則C正確；對(duì)于D，時(shí)，，即是以為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，則D正確.故選：CD11．ABD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)焦半徑公式即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，D，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到，，即可判斷C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】如圖所示：

對(duì)選項(xiàng)A，由拋物線的焦半徑公式可知，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，令直線的方程為，代入得，所以，所以，所以是鈍角三角形，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，D，由可知，又，所以，所以直線平分角，同理可得平分角，所以，即，所以圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：ABD12．【分析】由求出，檢驗(yàn)首項(xiàng)即得參數(shù)值.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因是等比數(shù)列，故時(shí)，，解得,此時(shí)，，符合題意.故答案為：.13．3【分析】由橢圓的定義，求的最小值可化為的最小值，根據(jù)三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】由橢圓可知，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，如圖，

所以，即當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最小值.故答案為：314．【分析】根據(jù)題意，分為三種情況：甲單獨(dú)參加，甲和其中一人和甲和其中兩人參加，結(jié)合排列組合的知識(shí)，即可求解.【詳解】由題意，可分為三種情況：當(dāng)甲單獨(dú)參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中一人參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中兩人參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法，所以不同的分配方法有種不同的安排方法.故答案為：.15．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得知，然后利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證明出.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，有，解得，有，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，有，由，有，故有，由上知.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，在求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，一般要建立首項(xiàng)和公差的方程組，利用方程思想求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16．(1)，(2)【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用與之間的關(guān)系求的通項(xiàng)公式；將代入中可得到公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；(2)利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槭桥c2的等差中項(xiàng)，所以，即，則，當(dāng)時(shí)，，從而，則等比數(shù)列的公比，故；因?yàn)?，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，所以，即等差數(shù)列的公差為2，從而.（2）由，得：...①...②①-②得，，從而.17．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）連接由題意可得平面，即可得，結(jié)合題目條件可得，由線面垂直的判定定理即可得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系后得出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別計(jì)算出平面與平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，連接，由題意得平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面；?）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，由故，，故，因此，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由，即，令，可取，由，即，令，可取，于是，由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角的平面角為.18．(1)有的把握認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān).(2)分布列見(jiàn)解析；期望為(3)【分析】（1）根據(jù)題意，列出的列聯(lián)表，求得卡方值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，可得的列聯(lián)表，如下表所示：青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400可得，所以有的把握認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān).（2）解：由表中的數(shù)據(jù)，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在與的人數(shù)分別為人和人，根據(jù)題意，可得隨機(jī)變量的可能取值為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.（3）解：記小明在某一星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件，星期天選擇跑步為事件，則，，所以,所以小明星期天選擇跑步的概率為.19．(1)(2)是，(3)．【分析】（1）由已知得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，待定系數(shù)法求方程即可；（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積，利用橢圓的參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算，求的面積.（3）求出點(diǎn)的軌跡方程曲線，，分類討論設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理表示，由直線與曲線有交點(diǎn)確定參數(shù)范圍，求面積最大值.【詳解】（1）因?yàn)榫€段的中垂線交線段于點(diǎn)，則，所以，，

由橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，，，所以曲線的方程為（2）設(shè)，，直線：；，到直線的距離，所以另一方面，因?yàn)?，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，，，由，得，為定值.（3）設(shè)，，，代入：得，所以曲線的方程為.由知，同理，，設(shè)，

①當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)：，代入橢圓的方