第11講 一元二次方程的應(yīng)用（原卷版）

第11講一元二次方程的應(yīng)用2.3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【基礎(chǔ)知識】一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.2.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).要點(diǎn)：列方程解實(shí)際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.平均變化率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)2.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.3.利息問題(1)概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期數(shù)利息稅=利息×稅率本金×(1+利率×期數(shù))=本息和本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)4.利潤(銷售)問題利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：利潤=售價-進(jìn)價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)5.形積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：增長率問題例1．隨著國內(nèi)新冠疫情逐步得到控制，人們的口罩儲備逐漸充足，市場的口罩需求量在逐漸減少，某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到萬只，則該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為（

）A． B． C． D．例2．某農(nóng)機(jī)廠一月份生產(chǎn)零件50萬個，第一季度共生產(chǎn)零件182萬個．設(shè)該廠二、三月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182考點(diǎn)2：數(shù)字型問題例3．有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來的兩位數(shù)就得1855，則原來的兩位數(shù)中較大的數(shù)為（

）A．62 B．44 C．53 D．35考點(diǎn)3：握手問題（握手問題2個算一場）例4．一次會議上，每兩個參加會議的人都互相握了一次手，有人統(tǒng)計一共共握66次手．若設(shè)這次會議到會的人數(shù)為x人，依題意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66B．＝66C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66例5．某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排36場比賽，則八年級班級的個數(shù)為(

)A．6 B．9 C．7 D．8考點(diǎn)4：握手問題衍生題（紅包問題2個算2場，重在理解）例6．今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到90個紅包，則該群一共有A．9人 B．10人 C．11人 D．12人考點(diǎn)5：傳染問題例7．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有225人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)為x人，則可列方程（

）A． B． C． D．考點(diǎn)6：小路問題例8．如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為(

)A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600例9．如圖，在一幅長80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周，鑲一條寬度相等的金色紙邊制成矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積為cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則可列方程（）．A． B．C． D．例10．現(xiàn)要在一個長為，寬為的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草，如圖所示，要使種植花草的面積為，設(shè)小道的寬度為x，可列方程是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)7：日歷（表格）問題例11．日歷中含有豐富的數(shù)學(xué)知識，如在圖1所示的日歷中用陰影圈出9個數(shù)，這9個數(shù)的大小之間存在著某種規(guī)律．小慧在2020年某月的日歷中也按圖1所示方式圈出9個數(shù)（如圖2），發(fā)現(xiàn)這9個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)乘積是297，則這9個數(shù)中，中間的數(shù)是（

）A．17 B．18 C．19 D．20考點(diǎn)8：圍欄問題例12．如圖，一農(nóng)戶要建議個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)于墻垂直的一邊長為xm，則可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80例13．空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法考點(diǎn)9：營銷問題例14．某海鮮市場以每千克10元的進(jìn)價進(jìn)了一批螃蟹，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價為每千克20元時，每天可銷售40千克．售價每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該海鮮市場想平均每天獲利408元，設(shè)這種螃蟹的售價上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)10：復(fù)雜的營銷問題例15．重慶奉節(jié)臍橙，柚子非常出名，奉節(jié)大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)作物．其中果樹種植已經(jīng)具有規(guī)模性了，今年受氣候、雨水等因素的影響，所橙產(chǎn)量較去年有小幅度的減少．而柚子產(chǎn)量有所增加．（1）奉節(jié)某果農(nóng)今年收獲臍橙和柚子共4200千克，其中臍橙的產(chǎn)量不超過柚子產(chǎn)量的6倍，求該果農(nóng)今年收獲柚子至少多少千克？（2）該果農(nóng)把今年收獲的臍橙、柚子兩種水果的一部分運(yùn)往市場銷售．該果農(nóng)去年臍橙的市場銷售量為1000千克，銷售均價為15元千克，今年臍橙的市場銷售量比去年減少了a%銷售均價與去年相同．該果農(nóng)去年柚子的市場銷售量為2000千克，銷售均價為10元/千克，今年柚子的市場銷售量比去年增加了2a%，但銷售均價比去年減少了a%，該果農(nóng)今年運(yùn)往市場銷售的這部分臍橙和柚子的銷售總金額與他去年臍橙和柚子的市場銷售總金額相同，求a的值．考點(diǎn)11：幾何問題例16．如圖所示，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設(shè)，則這個正方形的面積是____________________．例17．如圖，在長方形中，厘米，厘米，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），厘米．將長方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度后，得到長方形，且重疊部分的四邊形是長方形．連接，．（1）若厘米，厘米，則三角形的面積平方厘米；（2）用含有、的代數(shù)式表示三角形的面積；（3）若，求的長度．【真題演練】一、單選題1．（2022·寧夏·中考真題）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地號汽油價格三月底是元/升，五月底是元/升．設(shè)該地號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A． B．C． D．2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．3．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可到方程為（

）A． B． C． D．4．（2020·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題5．（2020·遼寧大連·中考真題）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為_____．6．（2015·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）一個容器盛滿純藥液40L，第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容器里只剩下純藥液10L，則每次倒出的液體是__________L．7．（2015·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）新世紀(jì)百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查，如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應(yīng)降價多少元？設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元，可列方程為__________．三、解答題8．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？9．（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量（桶）與每桶降價（元）（）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實(shí)際售價多少元？10．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項目月利潤達(dá)到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？【過關(guān)檢測】一、單選題1．小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步．”意思是：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長共60步，問它的寬和長各多少步？設(shè)它的寬為x步，則可列方程為（

）A． B．C． D．3．雞瘟是一種傳播速度很快的傳染病，一輪傳染為一天的時間，某養(yǎng)雞場于某日發(fā)現(xiàn)一例雞瘟病例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種?。裘坷‰u傳染健康雞的只數(shù)均相同，則每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為（）A．11只 B．12只 C．13只 D．14只4．在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝05．“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降5元時，日銷售量會增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．6．組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，則x滿足的關(guān)系式為（

）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝287．某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，若設(shè)平均每月的增長率為，根據(jù)題意可列方程（

）A． B．C． D．8．某班同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1056張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（）A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝10569．某商店從廠家以每件18元的價格購進(jìn)一批商品．該商品可以自行定價．據(jù)市場調(diào)查，該商品的售價與銷售量的關(guān)系是：若每件售價a元，則可賣出件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進(jìn)貨價的25%，如果商店計劃要獲利400元．則每件商品的售價應(yīng)定為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元10．《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來解形如x（x+5）＝24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25＝121，邊長為11，故得x（x+5）＝24的正數(shù)解為x＝，小明按此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為10，小正方形的面積為4，則（

）A．m＝2，n＝3 B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝2，n=二、填空題11．在國家政策的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交均價由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，則11、12兩月平均每月降價的百分率是_______%．12．游行隊伍有8行12列，后又增加了69人，要使得隊伍增加的行數(shù)和列數(shù)相同，需要增加___行．13．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了_______人．14．2019年元旦節(jié)期間班上數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)互發(fā)微信祝賀，每兩個同學(xué)都互相發(fā)一次，小明統(tǒng)計全組共互發(fā)了90次微信，那么數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)是多少？設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，則可列方程為____________．15．如圖，小明同學(xué)用一張長11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個底面積為的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計）．設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為______．16．將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元出售時，就能賣出500個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得8000元的利潤，商品售價應(yīng)為________元．17．如圖，有一塊長，寬的長方形鐵皮，如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個底面面積為的無蓋的盒子，則這個盒子的容積為___．18．如圖，在等腰中，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線向點(diǎn)終B以的速度運(yùn)動，于點(diǎn)Q．設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng)_______s時，的面積為．三、解答題19．列方程解應(yīng)用題：口罩是一種衛(wèi)生用品，正確佩戴口罩能阻擋有害氣體、飛沫、病毒等物質(zhì)，對進(jìn)入肺部的空氣有一定的過濾作用．據(jù)調(diào)查，2021年1月份某廠家口罩產(chǎn)量為80萬只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩產(chǎn)量為196萬只．(1)該廠家2月份的口罩產(chǎn)量為______萬只；(2)該廠家2月份到4月份口罩產(chǎn)量的月平均增長率是多少？20．2020年1月份以來，新型冠狀病毒肺炎在我國蔓延，假如有一人感染新型冠狀病毒肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患?。?）求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個健康的人；（2）如果不及時控制，第三輪傳染將又有多少個健康的人患??？21．一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為9，并且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和為45，求這個兩位數(shù).22．全球疫情爆發(fā)時，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？23．有長為30米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10米），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊為米．(1)如果要圍成面積為平方米的花圃，那么的長是多少米？(2)能圍成面積為平方米的花圃嗎？若能，求出的長，若不能，請