2023-2024學年高二數(shù)學2019選擇性試題9.1.2線性回歸方程

線性回歸方程一、單選題1．下列說法錯誤的是（

）A．線性回歸直線一定過樣本點中心B．在回歸分析中，為0.91的模型比為0.88的模型擬合的效果好C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在線性回歸分析中，相關系數(shù)r的值越大，變量間的相關性越強【答案】D【分析】根據(jù)回歸方程相關知識逐項判斷即可.【解析】回歸直線必過樣本點中心，故A正確；擬合系數(shù)越大擬合效果越好，故B正確；殘差點分布區(qū)域越窄，擬合精度越高，故C正確；相關系數(shù)越接近于1，相關性越強，故當時，r的值越大，變量間的相關性越弱，故D錯誤.故選：D2．下列說法錯誤的是（

）A．相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性越強B．若，且，則C．相關指數(shù)，表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率為64%D．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高【答案】A【分析】根據(jù)相關系數(shù)的概念，可判定A不正確；C、D正確，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可判定B正確.【解析】對于A中，根據(jù)相關系數(shù)的定義知：相關系數(shù)越大且，兩個變量的線性相關性越強，所以A不正確；對于B中，若，且，可得，所以B正確；對于C中，根據(jù)相關系數(shù)的概念，當相關指數(shù)，表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率為，所以C正確；對于D中，根據(jù)數(shù)據(jù)的殘差的定義，在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，所以D正確.故選：A.3．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后，獲得了如下圖所示的散點圖，對于其相關系數(shù)的比較，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正相關、負相關以及線性相關關系的強弱可得出結果.【解析】由題意可知，第一、四組數(shù)據(jù)正相關，第二、三組負相關，當相關系數(shù)的絕對值越大，數(shù)據(jù)的線性相關性越強，且第一組數(shù)據(jù)的線性相關性較第四組強，則，第二組數(shù)據(jù)的線性相關性較第三組強，則且，，則.因此，.故選：C.4．據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，求得經(jīng)驗回歸方程為，且．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點和誤差較大，去除后重新求得的經(jīng)驗回歸直線的斜率為1.1，則（

）A．去除兩個誤差較大的樣本點后，的估計值增加速度變快B．去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程對應直線一定過點C．去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程為D．去除兩個誤差較大的樣本點后，相應于樣本點的殘差為0.1【答案】C【分析】根據(jù)直線的斜率大小判斷A；求出判斷B；再求出經(jīng)驗回歸方程判斷C；計算殘差判斷D作答.【解析】對于A，因為去除兩個誤差較大的樣本點后，經(jīng)驗回歸直線的斜率變小，則的估計值增加速度變慢，A錯誤；對于B，由及得：，因為去除的兩個樣本點和，并且，因此去除兩個樣本點后，樣本的中心點仍為，因此重新求得的回歸方程對應直線一定過點，B錯誤；對于C，設去除后重新求得的經(jīng)驗回歸直線的方程為，由選項B知，，解得，所以重新求得的回歸方程為，C正確；對于D，由選項C知，，當時，，則，因此去除兩個誤差較大的樣本點后，相應于樣本點的殘差為，D錯誤.故選：C5．相關變量x，y的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關系數(shù)為．則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相關系數(shù)的意義：其絕對值越接近1，說明兩個變量越具有線性相關，以及負相關的意義作判斷即可.【解析】由散點圖可知這兩個變量為負相關，所以．因為剔除點后，剩下點的數(shù)據(jù)更具有線性相關性，更接近1，所以．故選：D．6．下表提供了某廠進行技術改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（單位：）與相應的生產(chǎn)能耗（單位：標準煤）的幾組對應數(shù)據(jù)：3456標準煤34已知該廠技術改造前產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為標準煤，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出的線性回歸方程，預測該廠技術改造后產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低了（

）附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值.A．標準煤 B．標準煤C．標準煤 D．標準煤【答案】A【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)和回歸方程公式，代入求解得回歸方程，并利用方程對數(shù)據(jù)進行估計即可.【解析】，，，，所以線性回歸方程為，當，，.故選：A.二、多選題7．對經(jīng)驗回歸方程，下列正確的有（

）A．決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越好B．經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體C．不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值D．殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】BCD【分析】利用相關系數(shù)與模型的擬合效果可判斷A選項；利用經(jīng)驗回歸方程的特點可判斷BC選項；利用殘差平方和與模型的擬合效果可判斷D選項.【解析】對于A選項，決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差，A錯；對于B選項，經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體，B對；對于C選項，經(jīng)驗回歸方程得到的是響應變量的預報值，不是響應變量的精確值，C對；對于D選項，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D對.故選：BCD.8．已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到經(jīng)驗回歸方程為，且，去除兩個樣本點和后，得到新的經(jīng)驗回歸方程為．在余下的8個樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗回歸方程中（

）．A．相關變量x，y具有正相關關系B．新的經(jīng)驗回歸方程為C．隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D．樣本的殘差為【答案】ABD【分析】根據(jù)線性回歸方程的求法、意義可判斷ABC，再由殘差的概念判斷D.【解析】，x新平均數(shù)，．y新平均數(shù)，∴，∴．新的線性回歸方程，x，y具有正相關關系，A對．新的線性回歸方程：，B對．由線性回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度恒定，C錯；，，，D對．故選：ABD．9．某中學課外活動小組為了研究經(jīng)濟走勢，根據(jù)該市1999—2021年的GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）數(shù)據(jù)繪制出下面的散點圖：該小組選擇了如下2個模型來擬合GDP值隨年份的變化情況，模型一：；模型二：，下列說法正確的有（

）A．變量與正相關B．根據(jù)散點圖的特征，模型一能更好地擬合GDP值隨年份的變化情況C．若選擇模型二，的圖象一定經(jīng)過點D．當時，通過模型計算得GDP值為70，實際GDP值為71，則殘差為1【答案】AD【分析】根據(jù)散點圖和變量關系依次判斷即可.【解析】對A，根據(jù)散點圖易得變量與正相關，故A正確；對B，由散點圖可得與的變化趨向于一條曲線，所以模型二能更好地擬合GDP值隨年份的變化情況，故B錯誤；對C，若選擇模型二，，令，則圖象經(jīng)過點，故C錯誤；對D，當時，通過模型計算得GDP值為70，實際GDP值為71，則殘差為1，故D正確.故選：AD.10．已知關于變量x，y的4組數(shù)據(jù)如表所示：x681012ya1064根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到x，y之間的線性回歸方程為，x，y之間的相關系數(shù)為r（參考公式：），則（

）A． B．變量x，y正相關 C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)回歸直線必過點解得，所以選項A正確；由回歸方程和表格可知選項B錯誤；利用相關系數(shù)求出，所以選項C正確，選項D錯誤.【解析】回歸直線必過點，，，解得，所以選項A正確；由回歸方程和表格可知，變量x，y負相關，所以選項B錯誤；，所以選項C正確，選項D錯誤.故選：AC三、填空題11．以下兩個變量成負相關的是_____．①學生的學籍號與學生的數(shù)學成績；②堅持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)；③氣溫與冷飲銷售量；④電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量．【答案】②【分析】根據(jù)相關關系的知識確定正確答案.【解析】①無相關關系；②負相關；③④正相關.故答案為：②12．已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間具有線性相關關系，利用下表中的五組數(shù)據(jù)可求得回歸直線方程為，根據(jù)該回歸方程，預測當時，，則___________.廣告費支出x（萬元）23456銷售額y（萬元）2537505664【答案】9.6【分析】根據(jù)預測值以及樣本中心點求得.【解析】，所以，解得.故答案為：13．某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”.某種機械設備的使用年限x（單位：年）與失效費y（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限x（單位：年）1234567失效費y（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90由上表數(shù)據(jù)可知，y與x的相關系數(shù)為______.（精確到0.01，參考公式和數(shù)據(jù)：，，，）【答案】0.99【分析】分別求出，，，再利用參考公式和數(shù)據(jù)計算即可.【解析】由題意，知，，.所以.所以y與x的相關系數(shù)近似為0.99.故答案為：0.99.四、解答題14．已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22℃之間，一農(nóng)學實驗室研究人員為研究溫度（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)（顆）之間的關系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進行實驗，得到如下散點圖：(1)由折線統(tǒng)計圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立關于的回歸方程，并預測在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關系數(shù)，回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)答案見解析；(2)44.【分析】（1）直接套公式求出系數(shù)r，即可判斷；（2）套公式求出回歸方程，把代入，即可求解.【解析】（1）由題意可知：..又，所以相關系數(shù).因為相關系數(shù)，所以與的線性相關性較高，可以利用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由（1）知，，，.所以,所以.所以與的回歸直線為.當時，.即在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù)為44.15．某醫(yī)療機構承擔了某城鎮(zhèn)的新冠疫苗接種任務，現(xiàn)統(tǒng)計了前8天每天（用表示）的接種人數(shù)y（單位：百人）的相關數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的散點圖．(1)由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，求y關于t的線性回歸方程；（系數(shù)用分數(shù)表示）(2)預測哪一天的接種人數(shù)會首次突破2500人．（結果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．【答案】(1)(2)第13天【分析】（1）根據(jù)已知條件及參考數(shù)據(jù)，求出，進而即可求出回歸方程；（2）利用（1）的回歸方程及已知條件，結合不等式的解法即可求解.【解析】（1）∵，，∴，又，，∴，∴y關于t的線性回歸方程為．（2）令，得，∴預測第13天的接種人數(shù)會首次突破2500人．16．秋天的第一杯奶茶是一個網(wǎng)絡詞匯，最早出自四川達州一位當?shù)孛窬冢窬谩扒锾斓牡谝槐滩琛表樌认乱幻?，由此而火爆全網(wǎng).后來很多人開始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代碼1234567杯數(shù)4152226293132(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點圖，并根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作為y關于x的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)建立y關于x的回歸方程（結果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的回歸方程，試預測要到哪一天售出的奶茶才能超過35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機變量X表示盈利的天數(shù)，求隨機變量X的分布列.參考公式和數(shù)據(jù)：其中回歸直線方程中，22.71.2759235.113.28.2【答案】(1)圖