8.2冪的乘方與積的乘方(講+練)（原卷版）

8.2冪的乘方與積的乘方冪的乘方(am)n=amn(m，n是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘積的乘方(ab)n=anbn(n為正整數(shù))積的乘方，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘題型1：冪的乘方法則1．（x2）2的計(jì)算結(jié)果是x4．【分析】利用冪的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【解答】解：（x2）2＝x4，故答案為：x4．【變式1-1】若am＝2，則a3m的值為8．【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：∵a3m＝（am）3，∵am＝2，∴a3m＝23＝8．故答案為：8．【變式1-2】已知10x＝20，100y＝50，則x+2y＝3．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：∵10x＝20，100y＝50，∴102y＝50，∴10x?102y＝20×50＝1000，∴10x+2y＝103，∴x+2y＝3．故答案為：3．【變式1-3】已知：2x+3y+3＝0，計(jì)算：4x?8y的值＝18【分析】根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法的計(jì)算公式即可得結(jié)果．【解答】解：∵2x+3y+3＝0，∴2x+3y＝﹣3，4x?8y＝22x?23y＝2（2x+3y）＝2﹣3=1故答案為：18題型2：積的乘方法則2.計(jì)算（﹣3ab3）2＝9a2b6．【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則可得答案．【解答】解：（﹣3ab3）2＝9a2b6．故答案為：9a2b6．【變式2-1】計(jì)算：（﹣0.25）2021×42020＝﹣0.25．【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：（﹣0.25）2021×42020＝（﹣0.25）2020×42020×（﹣0.25）＝（﹣0.25×4）2020×（﹣0.25）＝1×（﹣0.25）＝﹣0.25．故答案為：﹣0.25．【變式2-2】若x3n＝3，則（2x3n）3+（﹣3x2n）3＝﹣27．【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則，把（2x3n）3與（﹣3x2n）3化為還有x3n的形式，再把x3n＝3代入計(jì)算即可．【解答】解：∵x3n＝3，∴（2x3n）3+（﹣3x2n）3＝8（x3n）3﹣27（x3n）2＝8×33﹣27×32＝8×27﹣27×9＝（8﹣9）×27＝﹣27．故答案為：﹣27．題型3：高次冪比較大小3.比較2100與375的大?。痉治觥堪褍蓚€(gè)數(shù)化成指數(shù)相同底數(shù)不同的數(shù)，通過(guò)比較底數(shù)比較大?。窘獯稹拷猓?100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，∵1625＜2725，∴2100＜375．【變式3-1】比較大小：2100與375【分析】根據(jù)冪的乘方，可化成指數(shù)相同的冪，根據(jù)指數(shù)相同，底數(shù)越大，冪越大，可得答案．【解答】解：2100＜375，理由：2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，27＞16，2725＞1625，∴2100＜375．【變式3-2】用冪的運(yùn)算知識(shí)，你能比較出3555與4444和5333的大小嗎？請(qǐng)給出科學(xué)詳細(xì)的證明過(guò)程．【分析】此題根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，把3555、4444和5333變形為指數(shù)相同的三個(gè)數(shù)，再比較它們的底數(shù)即可求出答案．【解答】解：因?yàn)樗鼈兊闹笖?shù)為555，444，333，具有公因式111，所以3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，5333＝（53）111＝125111，而256111＞243111＞125111，所以4444＞3555＞5333題型4：綜合運(yùn)用4.若x＝2m，y＝3+4m，用含x的代數(shù)式表示y，則y＝3+x2．【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則表示出y與x之間的關(guān)系即可．【解答】解：∵x＝2m，∴y＝3+4m＝3+22m＝3+（2m）2＝3+x2．故答案為：3+x2．【變式4-1】（1）若x＝2m+1，y＝3+4m．請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y；如果x＝4，求此時(shí)y的值；（2）已知2a＝5b＝10，判斷a+b和ab的大?。痉治觥浚?）利用冪的乘方的法則進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可；（2）利用積的乘方的法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1，∴y＝3+4m．＝3+（22）m＝3+（2m）2＝3+（x﹣1）2＝3+x2﹣2x+1＝x2﹣2x+4，即y＝x2﹣2x+4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝42﹣2×4+4＝12；（2）∵2a＝5b＝10，∴2a×5b＝10×10，2a×5b＝102，則當(dāng)a＝b＝2時(shí)，式子成立．∴ab＝4，a+b＝4．即a+b＝ab．【變式4-2】規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：①（4，16）＝2，（﹣3，81）＝4；②若（x，116）＝﹣4，則x＝±2（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．試解決下列問(wèn)題：．①計(jì)算（9，100）﹣（81，10000）②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，請(qǐng)?zhí)剿鱝，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)所給的新定義進(jìn)行運(yùn)算即可；②根據(jù)所給的新定義進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）①結(jié)合所給的特征進(jìn)行求解即可；②結(jié)合所給的特征進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）①∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵（﹣3）4＝81，∴（﹣3，81）＝4，故答案為：2，4；②由題意得：x-4∴1x∴x＝±2，故答案為：±2；（2）①（9，100）﹣（81，10000）＝（32，102）﹣（34，104）＝（3，10）﹣（3，10）＝0；②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，∵4c＝3×7＝4a×4b，∴c＝a+b．一．選擇題（共7小題）1．下列結(jié)果正確的是（）A．（﹣2x）3＝2x3 B．（﹣2x）3＝﹣2x3 C．（﹣2x）2＝4x2 D．（﹣2x）2＝﹣4x2【分析】利用積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、（﹣2x）3＝﹣8x3，故A不符合題意；B、（﹣2x）3＝﹣8x3，故B不符合題意；C、（﹣2x）2＝4x2，故C符合題意；D、（﹣2x）2＝4x2，故D不符合題意；故選：C．2．下列計(jì)算正確的是（）A．（xy2）2＝xy4 B．（3xy）3＝9x3y C．（﹣2a2）2＝﹣4a4 D．（﹣3ab2）2＝9a2b4【分析】利用冪的乘方運(yùn)算與積的乘方運(yùn)算計(jì)算并判斷．【解答】解：（xy2）2＝x2y4，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；（3xy）3＝27x3y3，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；（﹣2a2）2＝4a4，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；（﹣3ab2）2＝9a2b4，D選項(xiàng)正確．故選：D．3．已知am＝2，an＝3，則am+2n的值是（）A．6 B．18 C．36 D．72【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：當(dāng)am＝2，an＝3時(shí)，am+2n＝am×a2n＝am×（an）2＝2×32＝2×9＝18．故選：B．4．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（2xy）2＝2xy2 C．（ab3）2＝a2b6 D．5a﹣3a＝2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、合并同類(lèi)項(xiàng)、積的乘方進(jìn)行判斷．【解答】解：A、a2?a3＝a5，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、（2xy）2＝4x2y2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、（ab3）2＝a2b6，故選項(xiàng)正確，符合題意；D、5a﹣3a＝2a，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．5．已知2x＝6，4y＝5，那么2x+2y的值是（）A．11 B．30 C．150 D．15【分析】先逆用同底數(shù)冪的乘法法則，再逆用冪的乘方法則，把代數(shù)式變形后代入求值．【解答】解：2x+2y＝2x×22y＝2x×4y＝6×5＝30．故選：B．6．若（﹣ab）2019＞0，則下列正確的是（）A．ba＜0 B．ba＞0 C．a(chǎn)＞0，b＜0 D．a(chǎn)【分析】根據(jù)（﹣ab）2019＞0，可得﹣ab＞0，所以a與b異號(hào)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：∵（﹣ab）2019＞0，∴﹣ab＞0，∴ab＜0，∴ba＜故選：A．7．若A為一數(shù)，且A＝25×76×114，則下列選項(xiàng)中所表示的數(shù)，何者是A的因子？（）A．24×5 B．77×113 C．24×74×114 D．26×76×116【分析】直接將原式提取因式進(jìn)而得出A的因子．【解答】解：∵A＝25×76×114＝24×74×114（2×72），∴24×74×114，是原式的因子．故選：C．二．填空題（共6小題）8．已知2m＝a，16n＝b，m、n為正整數(shù)，則24m+8n＝a4b2．【分析】對(duì)已知條件進(jìn)行整理，再把所求的式子進(jìn)行整理，代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：∵2m＝a，16n＝b，∴24n＝b，∴24m+8n＝（2m）4?28n＝（2m）4?（24n）2＝a4b2．故答案為：a4b2．9．若單項(xiàng)式﹣3（x2）my6與單項(xiàng)式xy2n是同類(lèi)項(xiàng)，則mn的值是18【分析】根據(jù)冪的乘方以及同類(lèi)項(xiàng)的定義求出m、n的值，代入求解即可；【解答】解：﹣3（x2）my6＝﹣3x2my6，∵單項(xiàng)式﹣3（x2）my6與單項(xiàng)式xy2n是同類(lèi)項(xiàng)，∴2m＝1，2n＝6，解得：m=12，n＝∴mn故答案為：110．若（a+3）2+（3b﹣1）2＝0，則a2020×b2021＝13【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零，可求得a與b的值，把a(bǔ)與b的值代入代數(shù)式中即可求得結(jié)果．【解答】解：∵（a+3）2≥0，（3b﹣1）2≥0，且（a+3）2+（3b﹣1）2＝0，∴（a+3）2＝0，（3b﹣1）2＝0，即a+3＝0，3b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b=1當(dāng)a＝﹣3，b=1∴a2020b2021＝（﹣3）2020（13）＝（﹣3）2020（13）2020?=1故答案為：1311．下列幾個(gè)數(shù)字244、333、422中數(shù)值最大的一個(gè)是333．【分析】把各數(shù)的指數(shù)轉(zhuǎn)為相同，再比較底數(shù)即可．【解答】解：∵244＝（24）11＝1611；333＝（33）11＝2711；422＝（42）11＝1611；27＞16，∴最大的是2711，即333．故答案為：333．12．若k為正整數(shù)，則(k+k+?+k︸k個(gè)k)【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：(k+k+?+k︸k個(gè)k)k=（k故答案為：k2k．13．已知3x＝m，3y＝n，用m、n表示33x+4y﹣5×81x+2y為m3?n4﹣5m4n8．【分析】逆向運(yùn)算同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：∵3x＝m，3y＝n，∴33x+4y﹣5×81x+2y＝33x?34y﹣5×（34）x+2y＝（3x）3?（3y）4﹣5×34x+8y＝（3x）3?（3y）4﹣5×（3x）4×（3y）8＝m3n4﹣5m4n8．故答案為：m3n4﹣5m4n8．三．解答題（共6小題）14．計(jì)算：（1）-(（2）a5?（﹣a）3+（﹣2a2）4．【分析】（1）逆用積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，進(jìn)行計(jì)算；（2）先算同底數(shù)冪的乘法和積的乘方運(yùn)算，再合并同類(lèi)型即可．【解答】解：（1）原式=＝﹣（1）6×（﹣1）5×0.25＝﹣1×（﹣1）×0.25＝0.25；（2）原式＝﹣a8+24a8＝15a8．15．已知：am＝3，an＝5，求：（1）am+n的值．（2）a3m+2n的值．【分析】（1）逆用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算即可；（2）逆用同底數(shù)冪和冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝am?an＝3×5＝15．（2）原式＝a3m?a2n＝（am）3?（an）2＝33×52＝675．16．若am＝an（a＞0且a≠l，m、n是正整數(shù)），則m＝n．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：（1）如果8x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則把8x化為底數(shù)為2的冪，解答即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把2x+2+2x+1＝24變形為2x（22+2）＝24即可解答；（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則解答即可．【解答】解：（1）8x＝（23）x＝23x＝25，∴3x＝5，解得x=5（2）∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．17．定義一種冪的新運(yùn)算：xa⊕xb＝xab+xa+b，請(qǐng)利用這種運(yùn)算規(guī)則解決下列問(wèn)題：（1）求22⊕23的值；（2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p⊕2q的值；（3）若運(yùn)算9⊕32t的結(jié)果為810，則t的值是多少？【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算，把相應(yīng)的值代入運(yùn)算即可；（2）結(jié)合冪的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（3）根據(jù)新定義的運(yùn)算，結(jié)合冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（1）22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝64+32＝96；（2）當(dāng)2p＝3，2q＝5，3q＝7時(shí)，2p⊕2q＝2pq+2p+q＝（2p）q+2p×2q＝3q+3×5＝7+15＝22；（3）9⊕32t＝810，9⊕9t＝810，9t+91+t＝810，9t+9×9t＝810，10×9t＝10×81，9t＝81，9t＝92，則t＝2．18．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算記作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝4，±16※36＝﹣2（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明；設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問(wèn)題：①證明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]（結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）．【分析】（1）利用新定義