三角函數(shù)的應(yīng)用 高一數(shù)學(xué)

5.7

三角函數(shù)的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、彈簧振子的運(yùn)動(dòng)模型1.一個(gè)彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng),在完成一次全振動(dòng)的過程中,時(shí)間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的關(guān)系如圖所示.(1)若用函數(shù)y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)來刻畫位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律,你能寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式嗎?(2)函數(shù)y=Asin(ωt+φ)中的參數(shù)A,ω,φ對(duì)其圖象有怎樣的影響?提示:A影響函數(shù)的最值,ω影響函數(shù)的周期,φ決定函數(shù)的具體位置.二、擬合函數(shù)模型我們可以利用收集到的數(shù)據(jù),首先畫出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”并觀察,然后進(jìn)行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型,最后利用這個(gè)函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實(shí)際問題.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)三角函數(shù)模型是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.(√)(2)在研究具體問題時(shí),我們常常利用搜集到的數(shù)據(jù),作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”來獲得相應(yīng)的函數(shù)模型.(√)(3)函數(shù)y=|cosx|的圖象是以2π為周期的波浪形曲線.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用分析:確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中的參數(shù)A,ω,φ的物理意義.【例1】

已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí),規(guī)定向上為正方向,小球離開平衡位置的位移s(單位:cm)隨時(shí)間t(單位:s)的變化規(guī)律為

,t∈[0,+∞).作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖,并回答下列問題.(1)小球在開始振動(dòng)(t=0)時(shí)的位移是多少?(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少?(3)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次?解:列表如下:描點(diǎn)、連線,圖象如圖所示.反思感悟三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中,其中對(duì)彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問題考查最多,解決這類問題時(shí)要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.(1)作出該函數(shù)的圖象;(2)當(dāng)單擺開始擺動(dòng)(t=0)時(shí),離開平衡位置的距離是多少?(3)當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí),離開平衡位置的距離是多少?(4)單擺來回?cái)[動(dòng)一次需多長(zhǎng)時(shí)間?解:(1)利用“五點(diǎn)法”可畫出其圖象,如圖.探究二

數(shù)據(jù)擬合問題【例2】

某港口的水深y(單位:m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),下面是有關(guān)時(shí)間t與水深y的數(shù)據(jù):(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出上表中的點(diǎn).(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),你能選用一個(gè)函數(shù)描述時(shí)間與水深的關(guān)系嗎?并求出選用函數(shù)的解析式.分析:(1)先建立平面直角坐標(biāo)系,再描點(diǎn);(2)根據(jù)散點(diǎn)分布趨勢(shì),尋找函數(shù)關(guān)系.解:(1)以時(shí)間t(單位:h)為橫軸,水深y(單位:m)為縱軸,建立平面直角坐標(biāo)系.在坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖,如圖所示.反思感悟1.本題中沒有明確函數(shù)的類型,可通過畫散點(diǎn)圖來擬合曲線.2.此類問題的一般解法是先由表中數(shù)據(jù)分析求出待定系數(shù),再轉(zhuǎn)化為三角不等式對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行預(yù)測(cè)判斷.因?yàn)閷?shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜,所以要注意認(rèn)真審題,從中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系.【變式訓(xùn)練2】

已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(單位:m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作:y=f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=f(t)的函數(shù)解析式;(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1m時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放,請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)8:00至20:00之間,有多少時(shí)間可供沖浪愛好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?解:(1)由表中數(shù)據(jù)描出各點(diǎn),并把這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(如圖),所以在8:00至20:00之間,有6個(gè)小時(shí)的時(shí)間可供沖浪愛好者運(yùn)動(dòng),即上午9:00至下午15:00.易

錯(cuò)

辨

析不能正確認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過程致錯(cuò)【典例】

彈簧振子以點(diǎn)O為平衡位置,在B,C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),B,C兩點(diǎn)相距20cm,初始時(shí)刻振子處在點(diǎn)B,經(jīng)0.5s振子首先到達(dá)點(diǎn)C.求:(1)振子振動(dòng)的振幅、周期和頻率;(2)振子在5s內(nèi)通過的路程及這時(shí)相對(duì)平衡位置的距離的大小.錯(cuò)解:(1)因?yàn)锽,C兩點(diǎn)相距20cm,所以振幅A=20cm.因?yàn)檎褡訌狞c(diǎn)B經(jīng)0.5s首次達(dá)到點(diǎn)C,所以周期T=0.5s,頻率(2)5s內(nèi)的路程=距離=5A=100(cm).以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)算錯(cuò)了振幅,誤認(rèn)為B,C兩點(diǎn)的距離是振幅,算錯(cuò)了周期,誤認(rèn)為由點(diǎn)B到點(diǎn)C是一個(gè)周期,實(shí)際上是半個(gè)周期;(2)混淆了物理上的路程和位移,導(dǎo)致錯(cuò)解.正解:(1)設(shè)振幅為A,則2A=20cm,即A=10cm.設(shè)周期為T,則

,T=1s,故頻率f=1Hz.(2)振子在1個(gè)周期內(nèi)通過的路程為4A,當(dāng)t=5s時(shí),振子振動(dòng)了5個(gè)周期,故路程s=5×4A=20A=20×10=200(cm)=2(m).因?yàn)?s